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Mécanique des fluides



  1. #1
    SebMC12

    Mécanique des fluides


    ------

    Bonsoir,

    J'ai eu un exercice de colle que j'ai eu beaucoup de mal à résoudre (je n'y suis pas arrivé d'ailleurs).
    Le sujet est le suivant:
    Sur un plan horizontal, on dispose une cloche ayant donc la forme d'une demi-sphère. Sur son sommet, on perce un trou et on rempli la cloche d'eau. La question est, à partir de quelle hauteur, la cloche va t-elle se soulever ?
    J'ai mis en annexe un schéma de la situation.

    Je vais vous dire ce que j'ai eu l'intention de faire (pck j'ai pas eu le temps de finir en fait). Si l'on considère un plan de coupe de la cloche, puisque les arcs de gauche et de droite sont symétriques, pour chaque point de la surface, la somme des dF sera une résultante sur un axe vertical au milieu de la cloche. Donc on exprime les dF en fonction de la pression de l'eau, de la pression de l'air et de . Ensuite pour avoir F, on intègre tous les dF de 0 à H. Puis, puisqu'il faut que la cloche se soulève, j'aurais posé l'inégalité suivante: F>P et j'aurais isolé en H.

    Est-ce que cela est juste déjà ?
    Ensuite, là j'aurais fait sur une surface, mais il s'agit là d'une demi-sphère. Comment donc mettre le résultat trouvé pour ce "plan" à l'échelle du volume ?
    Merci d'avance de votre attention.

    -----
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    Allez l'OM !!!!!!

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  3. #2
    mc222

    Re : Mécanique des fluides

    salut, je n'ai pas le temps de lire tout ton topic, dsl, mais je pense que c'est l'air qui en se comprimant fourni la force nessecaire.

    En considérant l'air comme un gaz parfait, tu peu écrir:

    P=nrT/V
    la pression se projette sur la surface, qui diminue avec la hauteur d'eau et engendre une force qui quand elle dépassera le poids, soulèvera la demie sphère.

  4. #3
    SebMC12

    Re : Mécanique des fluides

    Citation Envoyé par mc222 Voir le message
    salut, je n'ai pas le temps de lire tout ton topic, dsl, mais je pense que c'est l'air qui en se comprimant fourni la force nessecaire.

    En considérant l'air comme un gaz parfait, tu peu écrir:

    P=nrT/V
    la pression se projette sur la surface, qui diminue avec la hauteur d'eau et engendre une force qui quand elle dépassera le poids, soulèvera la demie sphère.
    Merci de ta réponse, je suis d'accord avec toi.
    Mais, ne faut-il pas aussi considérer la pression de l'eau qui varie lorsque son niveau augmente ? Mon colleur m'a dit aussi que les dS n'étaient pas les mêmes en tout point de la surface de la cloche. Comment faire intervenir le volume de la demi-sphère ?
    J'ai vu aussi sur Internet qu'il y en avait qui commencait par calculer la dérivée seconde de F. Je n'ai pas compris pourquoi.
    Merci d'avance.
    Allez l'OM !!!!!!

  5. #4
    mc222

    Re : Mécanique des fluides

    salut, je pense que tu as raison, si on considère qu'a une profondeur z, la parois n'est pas verticale, (logique si demie sphère) on peux dire qu'un force dF se crée dut à la pression en z et à la surface prochetée sur z : dz

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    mc222

    Re : Mécanique des fluides

    rectification: pas dz, dS

  8. #6
    mc222

    Re : Mécanique des fluides

    tout compte fait, je pense qu'il est necessaire de négliger la force de l'air

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  10. #7
    arrial

    Re : Mécanique des fluides

    Salut,



    Ça devrait plus tarder. Nous sommes le 01-IV, donc Pâques est dans 3 jours …






    zzz




    @+
    « le pire n'est jamais acquis … la dérision est une culture »

  11. #8
    SebMC12

    Re : Mécanique des fluides

    Citation Envoyé par arrial Voir le message
    Salut,



    Ça devrait plus tarder. Nous sommes le 01-IV, donc Pâques est dans 3 jours …






    zzz




    @+
    Lol pas mal ! J'avais oublié Paques avec cette histoire. Tu pourrais nous donner ton avis sur cet exercice ?
    Allez l'OM !!!!!!

  12. #9
    SebMC12

    Re : Mécanique des fluides

    Citation Envoyé par mc222 Voir le message
    tout compte fait, je pense qu'il est necessaire de négliger la force de l'air
    Ca c'est un problème que j'ai aussi. Comment savoir quand négliger ou pas une force. La force de l'air n'a pas beaucoup d'effet ici mais elle y est quand même alors pourquoi l'enlever ? C'est vrai que ca simplifierait bien les calculs.
    Allez l'OM !!!!!!

  13. #10
    sitalgo

    Re : Mécanique des fluides

    B'jour,

    Il n'y a aucune raison de tenir compte de l'air, il y a un trou en haut de la cloche, l'air ne peut pas être en surpression.
    Mais si t'as l'gosier, Qu'une armure d'acier, Matelasse. Brassens, Le bistrot.

  14. #11
    mc222

    Re : Mécanique des fluides

    salut, oui, je pensais au départ qu'on ajoutait de l'eau sans laisser l'air s'échapper, mais ca parait un peu con comme problème...

    Quoi qu'il en soit, je me suis penché sur le problème et apres mure réfléxion, je pense que la hauteur d'eau à partir de laquelle le saladier se soulève est:



    m = masse du saladier
    rho = masse volumique de l'eau

  15. #12
    SebMC12

    Re : Mécanique des fluides

    Citation Envoyé par mc222 Voir le message
    salut, oui, je pensais au départ qu'on ajoutait de l'eau sans laisser l'air s'échapper, mais ca parait un peu con comme problème...

    Quoi qu'il en soit, je me suis penché sur le problème et apres mure réfléxion, je pense que la hauteur d'eau à partir de laquelle le saladier se soulève est:



    m = masse du saladier
    rho = masse volumique de l'eau
    Tu pourrais m'expliquer comment tu as fait s'il-te-plaît ?
    Allez l'OM !!!!!!

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  17. #13
    cricri78

    Re : Mécanique des fluides

    Citation Envoyé par sitalgo Voir le message
    B'jour,

    Il n'y a aucune raison de tenir compte de l'air, il y a un trou en haut de la cloche, l'air ne peut pas être en surpression.
    Bonjour,
    Ok avec toi, sauf s'il y a un retour du trou vers le bas, sorte de tube plongeant, comme semble l'indiquer le schéma.
    Dans ce cas appeler Archimède si le poids du volume d'eau correpondant est supérieur au poids de la cloche.
    Poyeuses Jaques

    PS : ce n'est pas à proprement parler de la mécanique des fluides !

  18. #14
    SebMC12

    Re : Mécanique des fluides

    Citation Envoyé par cricri78 Voir le message
    Bonjour,
    Ok avec toi, sauf s'il y a un retour du trou vers le bas, sorte de tube plongeant, comme semble l'indiquer le schéma.
    Dans ce cas appeler Archimède si le poids du volume d'eau correpondant est supérieur au poids de la cloche.
    Poyeuses Jaques

    PS : ce n'est pas à proprement parler de la mécanique des fluides !
    Merci,
    Est-ce alors plutôt la statique des fluides ?
    Sinon quelqu'un pourrait m'expliquer la solution trouvée par mc222 ?
    Allez l'OM !!!!!!

  19. #15
    mc222

    Re : Mécanique des fluides

    ok mais je ne garantis pas avoir la bonne réponse, elle m'étonne moi même:

    Bon, pour simplifier, j'ai considéré qu'on travaillait dans un demi cercle et non dans une demie sphère:

    Par la relation de pythagore, on sait que:



    donc:



    On centrera la repère sur le centre du demi cercle, x est l'axe des ordonnés et y l'axe des abcsisses;

    On sait ensuite que une section infinitésimale sera de la forme:

    Ce qui correspond finalement au périmètre (pris horizontalement ) de la sphère multiplier par un déplacement infiniment petit suivant x, ce qui nous donne une couronne de rayon x et infiniment fine. Ce sera donc ca notre surface infiniment petite.

    On sait donc que:



    et que :



    On remplace x de la seconde expression dans la première:



    Sauf qu'on se fout du dx, on veut l'équivalent du dx en dz, pour pouvoire intégrer:

    On dérive tout simplement:


    on dérive


    On obtient finalement l'équivalence du dx avec dz:



    On remplace cette nouvelle expression du dx dans la formule de tout a l'heure:





    On a donc une surface infiniment petite qui dépend de z:
    Si on applique un pression sur cette surface infiniment petite, on obtiendra une force infiniment petite, et en sommant ses forces infinitésimales, (en intègrant ) on obtient la force totale.

    La pression en fonction de la hauteur de l'eau(h) et de la profondeur considérée(z) est :



    Il ne reste plus qu'a multiplier la pression en fonction de la profondeur avec la surface infiniment petite:



    Ensuite on intègre:





    Le saladier se soulèvera quand la force sera éguale à son poids:





    j'était allé un peu vite la première fois

    Bon en tout cas, j'invite tout les ferrus de statique des fluides à corriger mes érreures

  20. #16
    SebMC12

    Re : Mécanique des fluides

    Citation Envoyé par mc222 Voir le message
    ok mais je ne garantis pas avoir la bonne réponse, elle m'étonne moi même:

    Bon, pour simplifier, j'ai considéré qu'on travaillait dans un demi cercle et non dans une demie sphère:

    Par la relation de pythagore, on sait que:



    donc:



    On centrera la repère sur le centre du demi cercle, x est l'axe des ordonnés et y l'axe des abcsisses;

    On sait ensuite que une section infinitésimale sera de la forme:

    Ce qui correspond finalement au périmètre (pris horizontalement ) de la sphère multiplier par un déplacement infiniment petit suivant x, ce qui nous donne une couronne de rayon x et infiniment fine. Ce sera donc ca notre surface infiniment petite.

    On sait donc que:



    et que :



    On remplace x de la seconde expression dans la première:



    Sauf qu'on se fout du dx, on veut l'équivalent du dx en dz, pour pouvoire intégrer:

    On dérive tout simplement:


    on dérive


    On obtient finalement l'équivalence du dx avec dz:



    On remplace cette nouvelle expression du dx dans la formule de tout a l'heure:





    On a donc une surface infiniment petite qui dépend de z:
    Si on applique un pression sur cette surface infiniment petite, on obtiendra une force infiniment petite, et en sommant ses forces infinitésimales, (en intègrant ) on obtient la force totale.

    La pression en fonction de la hauteur de l'eau(h) et de la profondeur considérée(z) est :



    Il ne reste plus qu'a multiplier la pression en fonction de la profondeur avec la surface infiniment petite:



    Ensuite on intègre:





    Le saladier se soulèvera quand la force sera éguale à son poids:





    j'était allé un peu vite la première fois

    Bon en tout cas, j'invite tout les ferrus de statique des fluides à corriger mes érreures
    Merci de ta réponse, je comprends ce que tu as fait et je pense que c'est bon mais, qu'est-ce qu'il faut changer pour considérer non plus le demi-disque mais la demi-sphère ?
    Merci encore.
    Allez l'OM !!!!!!

  21. #17
    mc222

    Re : Mécanique des fluides

    nan mais c'est bon la a prioris, pour la demis sphère ,c'est juste que dériver dans l'espace implique les dérivées paritielles et ca m'arrange pas.

  22. #18
    cricri78

    Re : Mécanique des fluides

    Pas vérifié le calcul mais le raisonnement ne tient pas, car la pression est hydrostatique, elle s'applique dans toutes les directions...

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  24. #19
    SebMC12

    Re : Mécanique des fluides

    Est-ce qu'on ne considère pas aussi qu'il y a une surface angulaire ?

    Allez l'OM !!!!!!

  25. #20
    mc222

    Re : Mécanique des fluides

    c'est un peu la question que je me posait, et ce pourquoi j'ai calculé la dérivée à au début

  26. #21
    SebMC12

    Re : Mécanique des fluides

    Ah oui, tu as utilisé:

    .

    Moi j'ai fait avec un petit angle parce-qu'avec mon prof on avait traité l'exemple d'un barrage dont la face avant est de la forme d'un demi-cercle et qu'il avait utilisé un petit angle . Etant donné la forme de la cloche j'ai réadapté le problème mais je ne sais pas si c'est bon.
    Allez l'OM !!!!!!

  27. #22
    mc222

    Re : Mécanique des fluides

    je ne sais pas non plus, tu est en avance sur moi en mécanique des fluide manifestement ^^

  28. #23
    SebMC12

    Re : Mécanique des fluides

    Moi j'ai fais comme ca:

    .



    puisque on néglige l'air.

    donc:

    d'où:



    Pour avoir F, on intègre cette expression ce qui donne:









    Soit le volume d'une demi-sphère:



    Donc, on remplace dans l'expression de :



    On veut que la cloche se soulève donc que la force de pression exercée par l'eau soit supérieure au poids donc:





    Soit finalement:

    Allez l'OM !!!!!!

  29. #24
    SebMC12

    Re : Mécanique des fluides

    J'ai fais ca mais je sais pas du tout si c'est bon.
    Allez l'OM !!!!!!

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  31. #25
    SebMC12

    Re : Mécanique des fluides

    J'ai fait une petite erreur.

    .



    puisque on néglige l'air.

    donc:

    d'où:



    Pour avoir F, on intègre cette expression ce qui donne:









    Soit le volume d'une demi-sphère:



    Donc, on remplace dans l'expression de :



    On veut que la cloche se soulève donc que la force de pression exercée par l'eau soit supérieure au poids donc:





    Soit finalement:

    Allez l'OM !!!!!!

  32. #26
    mc222

    Re : Mécanique des fluides

    je me suis pas trop penché sur ton calcul pour le moment mais le volume d'une sphère c'est 4/3 pi r cube, et tu peux simplifer par g dans la dernière expression

  33. #27
    Paul1

    Re : Mécanique des fluides

    Bonsoir, je me suis penché à mon tour sur cette exo et je trouve comme hauteur:

    H>(3m/(2*Pi*rho))^(1/3)

    La démo prend deux lignes, si quelqu'un sait comment taper les calculs j'aimerais bien exposer ma solution.

    cordialement.

  34. #28
    sitalgo

    Re : Mécanique des fluides

    B'jour,

    Est-ce alors plutôt la statique des fluides ?
    Ou hydrostatique.

    Je n'ai pas l'impression que ta formulation tienne compte de la variation de pression avec la hauteur.
    Personnellement je considère des anneaux d'épaisseur avec chacun leur pression en fonction de la hauteur.

    Epaisseur couronne; périmètre; épaisseur horizontale.
    donc



    Je te laisse faire la suite

    Sinon il y a un moyen très simple de contrôler avec Archimède, c'est la poussée sur le volume compris entre la cloche et un cylindre du diamètre de la cloche, volume depuis le bas jusqu'au niveau de l'eau.
    Mais si t'as l'gosier, Qu'une armure d'acier, Matelasse. Brassens, Le bistrot.

  35. #29
    cricri78

    Re : Mécanique des fluides

    Citation Envoyé par sitalgo Voir le message
    Ou hydrostatique.
    ....
    Sinon il y a un moyen très simple de contrôler avec Archimède, c'est la poussée sur le volume compris entre la cloche et un cylindre du diamètre de la cloche, volume depuis le bas jusqu'au niveau de l'eau.
    Bonjour,
    Et ho ho fais-je, car c'est, à peu près, ce qu'ils n'ont pas voulu lire en page précédente, posts 10, 13 et 18, sauf que l'eau ressort et qu'il faut voir le tube plongeant s'il existe... Et tous ces calculs sont inutiles car, justes ou pas, ils sont inadaptés !

  36. #30
    sitalgo

    Re : Mécanique des fluides

    Citation Envoyé par cricri78 Voir le message
    sauf que l'eau ressort
    Je ne vois pas ce que tu veux dire.
    et qu'il faut voir le tube plongeant s'il existe...
    Si le tube avait une longueur telle que cela puisse changer le problème, on lui aurait attribué une dimension. Je pense que c'est juste pour bien marquer le trou sur le schéma.

    C'est pas P(x) mais P(z) dans mon message précédent.
    Mais si t'as l'gosier, Qu'une armure d'acier, Matelasse. Brassens, Le bistrot.

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