Mécanique des fluides

invite93845cf6 · 31/03/2010, 22h43

Bonsoir,

J'ai eu un exercice de colle que j'ai eu beaucoup de mal à résoudre (je n'y suis pas arrivé d'ailleurs).
Le sujet est le suivant:
Sur un plan horizontal, on dispose une cloche ayant donc la forme d'une demi-sphère. Sur son sommet, on perce un trou et on rempli la cloche d'eau. La question est, à partir de quelle hauteur, la cloche va t-elle se soulever ?
J'ai mis en annexe un schéma de la situation.

Je vais vous dire ce que j'ai eu l'intention de faire (pck j'ai pas eu le temps de finir en fait). Si l'on considère un plan de coupe de la cloche, puisque les arcs de gauche et de droite sont symétriques, pour chaque point de la surface, la somme des dF sera une résultante sur un axe vertical au milieu de la cloche. Donc on exprime les dF en fonction de la pression de l'eau, de la pression de l'air et de $\text{[math]}$ . Ensuite pour avoir F, on intègre tous les dF de 0 à H. Puis, puisqu'il faut que la cloche se soulève, j'aurais posé l'inégalité suivante: F>P et j'aurais isolé en H.

Est-ce que cela est juste déjà ?
Ensuite, là j'aurais fait sur une surface, mais il s'agit là d'une demi-sphère. Comment donc mettre le résultat trouvé pour ce "plan" à l'échelle du volume ?
Merci d'avance de votre attention.

**mc222** · 31/03/2010, 23h17

salut, je n'ai pas le temps de lire tout ton topic, dsl, mais je pense que c'est l'air qui en se comprimant fourni la force nessecaire.

En considérant l'air comme un gaz parfait, tu peu écrir:

P=nrT/V
la pression se projette sur la surface, qui diminue avec la hauteur d'eau et engendre une force qui quand elle dépassera le poids, soulèvera la demie sphère.

invite93845cf6 · 01/04/2010, 13h26

Envoyé par mc222

salut, je n'ai pas le temps de lire tout ton topic, dsl, mais je pense que c'est l'air qui en se comprimant fourni la force nessecaire.

En considérant l'air comme un gaz parfait, tu peu écrir:

P=nrT/V
la pression se projette sur la surface, qui diminue avec la hauteur d'eau et engendre une force qui quand elle dépassera le poids, soulèvera la demie sphère.

Merci de ta réponse, je suis d'accord avec toi.
Mais, ne faut-il pas aussi considérer la pression de l'eau qui varie lorsque son niveau augmente ? Mon colleur m'a dit aussi que les dS n'étaient pas les mêmes en tout point de la surface de la cloche. Comment faire intervenir le volume de la demi-sphère ?
J'ai vu aussi sur Internet qu'il y en avait qui commencait par calculer la dérivée seconde de F. Je n'ai pas compris pourquoi.
Merci d'avance.

**mc222** · 01/04/2010, 13h49

salut, je pense que tu as raison, si on considère qu'a une profondeur z, la parois n'est pas verticale, (logique si demie sphère) on peux dire qu'un force dF se crée dut à la pression en z et à la surface prochetée sur z : dz

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**mc222** · 01/04/2010, 14h08

rectification: pas dz, dS

**mc222** · 01/04/2010, 14h10

tout compte fait, je pense qu'il est necessaire de négliger la force de l'air

**arrial** · 01/04/2010, 14h49

Salut,

Ça devrait plus tarder. Nous sommes le 01-IV, donc Pâques est dans 3 jours …

zzz

@+

invite93845cf6 · 01/04/2010, 15h08

Envoyé par arrial

Salut,

Ça devrait plus tarder. Nous sommes le 01-IV, donc Pâques est dans 3 jours …

zzz

@+

Lol pas mal ! J'avais oublié Paques avec cette histoire. Tu pourrais nous donner ton avis sur cet exercice ?

invite93845cf6 · 01/04/2010, 15h10

Envoyé par mc222

tout compte fait, je pense qu'il est necessaire de négliger la force de l'air

Ca c'est un problème que j'ai aussi. Comment savoir quand négliger ou pas une force. La force de l'air n'a pas beaucoup d'effet ici mais elle y est quand même alors pourquoi l'enlever ? C'est vrai que ca simplifierait bien les calculs.

**sitalgo** · 01/04/2010, 15h34

B'jour,

Il n'y a aucune raison de tenir compte de l'air, il y a un trou en haut de la cloche, l'air ne peut pas être en surpression.

**mc222** · 01/04/2010, 15h41

salut, oui, je pensais au départ qu'on ajoutait de l'eau sans laisser l'air s'échapper, mais ca parait un peu con comme problème...

Quoi qu'il en soit, je me suis penché sur le problème et apres mure réfléxion, je pense que la hauteur d'eau à partir de laquelle le saladier se soulève est:

$\text{[math]}$

m = masse du saladier
rho = masse volumique de l'eau

invite93845cf6 · 01/04/2010, 15h51

Envoyé par mc222

salut, oui, je pensais au départ qu'on ajoutait de l'eau sans laisser l'air s'échapper, mais ca parait un peu con comme problème...

Quoi qu'il en soit, je me suis penché sur le problème et apres mure réfléxion, je pense que la hauteur d'eau à partir de laquelle le saladier se soulève est:

$\text{[math]}$

m = masse du saladier
rho = masse volumique de l'eau

Tu pourrais m'expliquer comment tu as fait s'il-te-plaît ?

**cricri78** · 01/04/2010, 16h20

Envoyé par sitalgo

B'jour,

Il n'y a aucune raison de tenir compte de l'air, il y a un trou en haut de la cloche, l'air ne peut pas être en surpression.

Bonjour,
Ok avec toi, sauf s'il y a un retour du trou vers le bas, sorte de tube plongeant, comme semble l'indiquer le schéma.
Dans ce cas appeler Archimède si le poids du volume d'eau correpondant est supérieur au poids de la cloche.
Poyeuses Jaques

PS : ce n'est pas à proprement parler de la mécanique des fluides !

invite93845cf6 · 01/04/2010, 16h32

Envoyé par cricri78

Bonjour,
Ok avec toi, sauf s'il y a un retour du trou vers le bas, sorte de tube plongeant, comme semble l'indiquer le schéma.
Dans ce cas appeler Archimède si le poids du volume d'eau correpondant est supérieur au poids de la cloche.
Poyeuses Jaques

PS : ce n'est pas à proprement parler de la mécanique des fluides !

Merci,
Est-ce alors plutôt la statique des fluides ?
Sinon quelqu'un pourrait m'expliquer la solution trouvée par mc222 ?

**mc222** · 01/04/2010, 16h32

ok mais je ne garantis pas avoir la bonne réponse, elle m'étonne moi même:

Bon, pour simplifier, j'ai considéré qu'on travaillait dans un demi cercle et non dans une demie sphère:

Par la relation de pythagore, on sait que:

$\text{[math]}$

donc:

$\text{[math]}$

On centrera la repère sur le centre du demi cercle, x est l'axe des ordonnés et y l'axe des abcsisses;

On sait ensuite que une section infinitésimale sera de la forme:

$\text{[math]}$ Ce qui correspond finalement au périmètre (pris horizontalement ) de la sphère multiplier par un déplacement infiniment petit suivant x, ce qui nous donne une couronne de rayon x et infiniment fine. Ce sera donc ca notre surface infiniment petite.

On sait donc que:

$\text{[math]}$

et que :

$\text{[math]}$

On remplace x de la seconde expression dans la première:

$\text{[math]}$

Sauf qu'on se fout du dx, on veut l'équivalent du dx en dz, pour pouvoire intégrer:

On dérive tout simplement:

$\text{[math]}$
on dérive
$\text{[math]}$

On obtient finalement l'équivalence du dx avec dz:

$\text{[math]}$

On remplace cette nouvelle expression du dx dans la formule de tout a l'heure:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

On a donc une surface infiniment petite qui dépend de z:
Si on applique un pression sur cette surface infiniment petite, on obtiendra une force infiniment petite, et en sommant ses forces infinitésimales, (en intègrant ) on obtient la force totale.

La pression en fonction de la hauteur de l'eau(h) et de la profondeur considérée(z) est :

$\text{[math]}$

Il ne reste plus qu'a multiplier la pression en fonction de la profondeur avec la surface infiniment petite:

$\text{[math]}$

Ensuite on intègre:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Le saladier se soulèvera quand la force sera éguale à son poids:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

j'était allé un peu vite la première fois

Bon en tout cas, j'invite tout les ferrus de statique des fluides à corriger mes érreures

invite93845cf6 · 01/04/2010, 16h35

Envoyé par mc222

ok mais je ne garantis pas avoir la bonne réponse, elle m'étonne moi même:

Bon, pour simplifier, j'ai considéré qu'on travaillait dans un demi cercle et non dans une demie sphère:

Par la relation de pythagore, on sait que:

$\text{[math]}$

donc:

$\text{[math]}$

On centrera la repère sur le centre du demi cercle, x est l'axe des ordonnés et y l'axe des abcsisses;

On sait ensuite que une section infinitésimale sera de la forme:

$\text{[math]}$ Ce qui correspond finalement au périmètre (pris horizontalement ) de la sphère multiplier par un déplacement infiniment petit suivant x, ce qui nous donne une couronne de rayon x et infiniment fine. Ce sera donc ca notre surface infiniment petite.

On sait donc que:

$\text{[math]}$

et que :

$\text{[math]}$

On remplace x de la seconde expression dans la première:

$\text{[math]}$

Sauf qu'on se fout du dx, on veut l'équivalent du dx en dz, pour pouvoire intégrer:

On dérive tout simplement:

$\text{[math]}$
on dérive
$\text{[math]}$

On obtient finalement l'équivalence du dx avec dz:

$\text{[math]}$

On remplace cette nouvelle expression du dx dans la formule de tout a l'heure:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

On a donc une surface infiniment petite qui dépend de z:
Si on applique un pression sur cette surface infiniment petite, on obtiendra une force infiniment petite, et en sommant ses forces infinitésimales, (en intègrant ) on obtient la force totale.

La pression en fonction de la hauteur de l'eau(h) et de la profondeur considérée(z) est :

$\text{[math]}$

Il ne reste plus qu'a multiplier la pression en fonction de la profondeur avec la surface infiniment petite:

$\text{[math]}$

Ensuite on intègre:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Le saladier se soulèvera quand la force sera éguale à son poids:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

j'était allé un peu vite la première fois

Bon en tout cas, j'invite tout les ferrus de statique des fluides à corriger mes érreures

Merci de ta réponse, je comprends ce que tu as fait et je pense que c'est bon mais, qu'est-ce qu'il faut changer pour considérer non plus le demi-disque mais la demi-sphère ?
Merci encore.

**mc222** · 01/04/2010, 16h36

nan mais c'est bon la a prioris, pour la demis sphère ,c'est juste que dériver dans l'espace implique les dérivées paritielles et ca m'arrange pas.

**cricri78** · 01/04/2010, 16h41

Pas vérifié le calcul mais le raisonnement ne tient pas, car la pression est hydrostatique, elle s'applique dans toutes les directions...

invite93845cf6 · 01/04/2010, 16h43

Est-ce qu'on ne considère pas aussi qu'il y a une surface angulaire ?

$\text{[math]}$

**mc222** · 01/04/2010, 16h44

c'est un peu la question que je me posait, et ce pourquoi j'ai calculé la dérivée à au début

invite93845cf6 · 01/04/2010, 16h57

Ah oui, tu as utilisé:

$\text{[math]}$ .

Moi j'ai fait avec un petit angle $\text{[math]}$ parce-qu'avec mon prof on avait traité l'exemple d'un barrage dont la face avant est de la forme d'un demi-cercle et qu'il avait utilisé un petit angle $\text{[math]}$ . Etant donné la forme de la cloche j'ai réadapté le problème mais je ne sais pas si c'est bon.

**mc222** · 01/04/2010, 17h06

je ne sais pas non plus, tu est en avance sur moi en mécanique des fluide manifestement ^^

invite93845cf6 · 01/04/2010, 17h35

Moi j'ai fais comme ca:

$\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ puisque on néglige l'air.

$\text{[math]}$ donc:

$\text{[math]}$ d'où:

$\text{[math]}$

Pour avoir F, on intègre cette expression ce qui donne:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Soit le volume d'une demi-sphère:

$\text{[math]}$

Donc, on remplace dans l'expression de $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

On veut que la cloche se soulève donc que la force de pression exercée par l'eau soit supérieure au poids donc:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Soit finalement:

$\text{[math]}$

invite93845cf6 · 01/04/2010, 17h46

J'ai fais ca mais je sais pas du tout si c'est bon.

invite93845cf6 · 01/04/2010, 19h49

J'ai fait une petite erreur.

$\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ puisque on néglige l'air.

$\text{[math]}$ donc:

$\text{[math]}$ d'où:

$\text{[math]}$

Pour avoir F, on intègre cette expression ce qui donne:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Soit le volume d'une demi-sphère:

$\text{[math]}$

Donc, on remplace dans l'expression de $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

On veut que la cloche se soulève donc que la force de pression exercée par l'eau soit supérieure au poids donc:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Soit finalement:

$\text{[math]}$

**mc222** · 01/04/2010, 23h03

je me suis pas trop penché sur ton calcul pour le moment mais le volume d'une sphère c'est 4/3 pi r cube, et tu peux simplifer par g dans la dernière expression

invitedc31994f · 02/04/2010, 00h49

Bonsoir, je me suis penché à mon tour sur cette exo et je trouve comme hauteur:

H>(3m/(2*Pi*rho))^(1/3)

La démo prend deux lignes, si quelqu'un sait comment taper les calculs j'aimerais bien exposer ma solution.

cordialement.

**sitalgo** · 02/04/2010, 15h30

B'jour,

Est-ce alors plutôt la statique des fluides ?

Ou hydrostatique.

Je n'ai pas l'impression que ta formulation tienne compte de la variation de pression avec la hauteur.
Personnellement je considère des anneaux d'épaisseur $\text{[math]}$ avec chacun leur pression en fonction de la hauteur.
$\text{[math]}$
Epaisseur couronne; périmètre; épaisseur horizontale.
$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Je te laisse faire la suite

Sinon il y a un moyen très simple de contrôler avec Archimède, c'est la poussée sur le volume compris entre la cloche et un cylindre du diamètre de la cloche, volume depuis le bas jusqu'au niveau de l'eau.

**cricri78** · 02/04/2010, 16h06

Envoyé par sitalgo

Ou hydrostatique.
....
Sinon il y a un moyen très simple de contrôler avec Archimède, c'est la poussée sur le volume compris entre la cloche et un cylindre du diamètre de la cloche, volume depuis le bas jusqu'au niveau de l'eau.

Bonjour,
Et ho ho fais-je, car c'est, à peu près, ce qu'ils n'ont pas voulu lire en page précédente, posts 10, 13 et 18, sauf que l'eau ressort et qu'il faut voir le tube plongeant s'il existe... Et tous ces calculs sont inutiles car, justes ou pas, ils sont inadaptés !

**sitalgo** · 02/04/2010, 17h37

Envoyé par cricri78

sauf que l'eau ressort

Je ne vois pas ce que tu veux dire.

et qu'il faut voir le tube plongeant s'il existe...

Si le tube avait une longueur telle que cela puisse changer le problème, on lui aurait attribué une dimension. Je pense que c'est juste pour bien marquer le trou sur le schéma.

C'est pas P(x) mais P(z) dans mon message précédent.

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