Bonjour,
J'ai cherché (en vain) une preuve par le principe de moindre action que, si une masse est contrainte à se déplacer sur une surface f(x,y) par la seule action d'un champ de gravitation constant, elle le fera sela le chemin de plus forte pente (celui pour lequel grad f est parallèle au chemin en chaque point).
Auriez-vous l'amabilité d'orienter mes réflexions ?
Merci
Bonsoir,Envoyé par mike71828
as-tu écris le lagrangien du système ?
Évidemment. Si la trajectoire recherchée est (x(t),y(t),f(x(t),y(t)), le lagrangien est 1/2m(x'2+y'2+(df/dt)2) - mgf(x(t),y(t)) où les "primes" renvoient à la dérivation par rapport au temps. Je suppose pour simplifier que le plan Oxy est le sol.
Mon problème est que l'application de l'équation d'Euler-Lagrange sur le lagrangien ne me permet pas (ou du moins, je ne vois pas comment), de simplifier considérablement le monstre algébrique obtenu.
Est-ce la démarche à suivre ?
désolé mais je ne suis pas sensé connaître ton niveau et si c'est la 1ère fois que tu essayes d'appliquer le principe de moindre action.
Qu'est-ce-que tu appelles f ? Je ne vois pas trop ce que cette fonction vient faire là, car le lagrangien d'un point matériel se déplaçant sur un plan incliné n'est pas donné par ce que tu écris, à moins que tu essayes de définir une fonction qui paramètrait disons le flan d'un montagne dont la plus grande pente ne serait pas connue, mais ça me semble très mal posé.Si la trajectoire recherchée est (x(t),y(t),f(x(t),y(t)), le lagrangien est 1/2m(x'2+y'2+(df/dt)2) - mgf(x(t),y(t)) où les "primes" renvoient à la dérivation par rapport au temps. Je suppose pour simplifier que le plan Oxy est le sol.
Mon problème est que l'application de l'équation d'Euler-Lagrange sur le lagrangien ne me permet pas (ou du moins, je ne vois pas comment), de simplifier considérablement le monstre algébrique obtenu.
Est-ce la démarche à suivre ?
Je ne connais pas grand-chose du formalisme lagrangien. Autodidacte, j'ai une menue introduction au calcul variationnel sous la cravate, je travaille sur ces applications, principalement via le principe de moindre action. J'ai lu quelque part, dans un document introduisant le "chemin de plus forte pente" que "en vertu du principe de moindre action, l'eau s'écoule le long du chemin de plus forte pente".
À cet effet, j'essaie effectivement de démontrer cette affirmation (qu'on ne détaille pas davantage) en faisant appelle, effectivement, à une fonction f(x,y) qui serait "comme le flan d'une montagne" quelconque. La plus forte pente n'est pas connue explicitement. C'est mal posé ? Pourquoi ?
Pourrais-tu m'éclairer sur, par exemple, la façon d'écrire le lagrangien sur un plan incliné. Merci beaucoup.
Salut,
Je ne comprends pas bien quel est ton problème.
Une particule se déplaçant sur un tel paysage topographique devra suivre les lignes normales aux lignes de niveau (à f égale constante). Ces lignes sont données par le gradient de f qui apparaît naturellement avec les équations d Euler Lagrange standards.
J'ai en fait l'ambition de prouver votre affirmation.Une particule se déplaçant sur un tel paysage topographique devra suivre les lignes normales aux lignes de niveau
Ce que j'ai lu ("en vertu du principe de moindre action, l'eau s'écoule le long du chemin de plus forte pente") me laissait croire qu'une telle démonstration était possible par le principe de moindre action.
Peut-être avez-vous déjà répondu :mais il semble que ce soit plus naturel pour vous que pour moi. Pouvez-vous élaborer ?Ces lignes sont données par le gradient de f qui apparaît naturellement avec les équations d Euler Lagrange standards.
Mille remerciements.
Re : Principe de moindre action appliqué
Votre problème est normalement plutot standard : une particule qui se ballade dans un paysage d'energie potentielle à 2 dimensions.
A des détails près, le lagrangien d'un tel système s'écrit :
[TEX]L(x,y,\dot{x},\dot{y})=m/2(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-E_p(x,y)[\TEX]
En appliquant les équations d'euler-Lagrange : on tombe sur
[TEX] \ddot{\vect{(m.r)}}=-\vect{\nabla}E_p [\TEX]
qui ne sont rien d'autres que les equations de newton.
On voit que le champ de force n'est autre que le gradient de l energie potentielle. Or ce dernier a pour propriété d'être normal aux lignes de niveau de ce paysage energetique à 2 D. Cela peut aussi être interprété comme la direction de la plus forte pente.
Re : Principe de moindre action appliqué
Merci beaucoup gatsu !
Je crois que vous m'avez bien éclairez.
Une question demeure flou cependant. Pourquoi ne considérez-vous pas la composante en z de la vitesse dans l'énergie cinétique ? Je comprends bien que la particule n'a que deux degrés de liberté, mais faut-il négliger pour autant la vitesse en z ? Si vous regardez plus haut, dans l'écriture de mon lagrangien, j'avais ajouter un (df/dt)^2...
Merci encore
Bonjour
ne faut-il pas écrire le lagrangien en y ajoutant la contrainte sur les coordonnées ?
soit z=f(x,y) le paysage : la contrainte : z-f(x,y)=0
on aurait :
non ?
Sisi il faut en tenir compte vous avez raison. Mais comme f est une fonction de x et de y on peut utiliser la règledes dérivations en chaine et cela fera comme si on avait une masse effective pour chaque direction mais grosso modo ça ne change rien à la physique.
Tu as raison mais les deux methodes doivent être équivalentes je pense. Disons que le lagrangien proposé au début doit être le même que le tien après avoir trouvé la valeur du multiplicateur de Lagrange.Bonjour
ne faut-il pas écrire le lagrangien en y ajoutant la contrainte sur les coordonnées ?
soit z=f(x,y) le paysage : la contrainte : z-f(x,y)=0
on aurait :
non ?
Oui, tu as raison, ça revient strictement au même...
c'est même, je pense, plus facile de remplacer z par f(x,y) et dz/dt par df/dt directement dans le lagrangien.
Wow ! Merci beaucoup !!
Vous me trouverez peut-être stupide (je n'ai jamais fait de mécanique lagrangienne...), mais à quoi bon ajouter le terme avec le multiplicateur de Lagrange si z-f(x,y)=0 ? Si l'on pose effectivement la contrainte z=f(x,y), le lagrangien que philou à écrit revient à celui que j'ai proposé initialement, n'est-ce pas ?
C'est précisément en prenant (df/dt)^2 (en l'explicitant, avec tous les dx/dt, dy/dt, etc.), que j'éprouvais quelques difficultés techniques à montrer que l'accélération était (à quelques facteurs constants près) égale au gradient de l'énergie potentielle.
Je continue d'y réfléchir avec le nouvel éclairage que vous avez apporté ! Merci
Oui, ça revient strictement au même. Dans ce cas précis, c'est surement plus simple d'effectuer la contrainte sur les variables plutôt que d'utiliser un multiplicateur de Lagrange.
Dans certain cas, quand les contraintes sont un peu bizarres (j'ai pas d'idées simples que me viennent à l'esprit pour l'instant...) il peut être plus facile d'utiliser la méthodes des multiplicateurs.
D'après ce que j'en ai compris les multiplicateurs rajoutent un potentiel générant les forces de réaction qui te permettent de rester sur la surface.
Je ne suis pas (et de très loin...) un spécialiste de la question. Peut être que quelqu'un nous apportera un éclairage plus pertinent.
Dans le lagrangien initial (erroné, on le sait) de gatsu, c'était bien facile de voir que l'accélération était dans la même direction que le gradient, ce qui réglait le problème. Or, dans le cas qui m'occupe, on se retrouve avec deux équations d'Euler-Lagrange dans lesquelles je peine à me retrouver, dont la première (avec x) est :
Essayez-vous même de simplifier... nous sommes loin du d2x/dt2 = - dE/dx
Tu as raison ce n'est peut être pas aussi simple que l'escontais. J'ai besoin d'y réfléchir un peu là...Dans le lagrangien initial (erroné, on le sait) de gatsu, c'était bien facile de voir que l'accélération était dans la même direction que le gradient, ce qui réglait le problème. Or, dans le cas qui m'occupe, on se retrouve avec deux équations d'Euler-Lagrange dans lesquelles je peine à me retrouver, dont la première (avec x) est :
Essayez-vous même de simplifier... nous sommes loin du d2x/dt2 = - dE/dx
Bon, je pense que la règle de la plus forte pente s'interprète simplement avec la représentaton idéale que j'avais faite au début.
Dans le cas où le paysage energetique est en fait une topographie réelle, il est clair que c'est un peu different. En effet, dans ce cas le corps d'épreuve considéré n'est pas soumis qu'à la gravité mais aussi à la réaction du support sur lequel il est supposé reposer. La condition standard permettant alors de déterminer la norme de la réaction en physique newtonienne consiste à dire que le "mobile ne décolle pas".
Dès lors la somme des forces est connue et on peut faire la dynamique.
Le même calcul peut être fait avec le lagrangien que tu proposes et on doit retomber sur le même résultat. La condition équivalente à la détermination de la norme de la réaction étant de poser : z=f(x,y) dans le lagrangien.
Il ne semble effectivement pas clair que l'on tombe sur la règle de la plus forte pente en ce qui concerne la dynamique à cause de l'inertie effective (et compliquée en générale) induite par la topographie elle même. En revanche, de façon évidente le gradient de f(x,y) va apparaitre en face de l'accélération et jouer un role certain.
De toute façon cette règle de plus forte pente est un peu marginale tant les aspects cinétiques sont oubiés dans son énoncé (un skieur qui dévalle une colline n'ira pas forcément ni tout droit ni ne suivra forcément la plus forte pente, essentiellement à cause de la réaction du support et de la vitesse).
Oui c'est immédiat avec l'expression du lagrangien avec le multiplicateur :
Euler donne :
ou λ est la réaction de la surface je pense...
Ben tu penses mal...
puisqueavec
Personne n'a d'idée ?
Désolé, je n'avais pas vu les nouvelles réponses, pour lesquelles je vous remercie, d'ailleurs.
