RR: Tranformations de Lorentz contre Intervalle d'espace-temps

[Simontheb]

Bonjour!

Depuis quelques jours, un problème de relativité restreinte me turlupine: les transformations de lorentz sont-elles équivalentes à la conservation de l'intervalle d'espace-temps entre deux évènement?
Autrement dit, un problème que l'on peut résoudre grâce aux transformations de Lorentz, peut-on aussi le résoudre uniquement grâce aux intervalles d'espace-temps, et vice versa?
Je me rappelle avoir lu quelque part que c'était le cas, mais j'en suis venu à en douter.

Par exemple, imaginons deux référentiels R (x,t) et R' (x',t') avec R' en mouvement à une vitesse v par rapport à R. Imaginons deux évènement A et B, séparés des distances et dans les référentiels R et R' et par des durées et dans les référentiels R et R'.

Les transformation de Lorentz stipulent que:



et la conservation de l'intervalle d'espace-temps indique que:


Si l'on connait et , on peut trouver et grâce aux transformation de Lorentz. Si donc ces dernières sont équivalentes à la conservation de l'intervalle d'espace-temps, on devrait pouvoir trouver et grâce à l'égalité . Mais alors là, je ne vois pas comment.

De même, puisqu'on peut mettre en évidence la dilatation des durées et la contraction des longueurs grâce aux transformation de Lorentz, on devrait pouvoir le faire grâce à la conservation de l'intervalle d'espace-temps. Ça marche pour la dilatation du temps, mais pour la contraction des longueurs, après plusieurs tentatives infructueuses, je n'y suis pas arrivé. Il semble donc que les transformations de Lorentz soient plus "puissantes" que la conservation de l'intervalle d'espace-temps.

Je fais sans doute beaucoup de bruit pour rien et ma question doit certainement vous sembler idiote, mais je ne serais pas tranquille tant que je ne serais pas fixé à ce sujet. Merci d'avance!
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[invite24327a4e]

Oui* elles le sont, car ce sont par définition les transformations qui laissent invariant l'intervale d'espace-temps.
Plus exactement, ce que toi tu appelles transformation de Lorentz est appelé plus communément dans la littérature un "boost de Lorentz". Les transformations qui laissent invariant l'intervale d'espace-temps, qui sont orthocrones et direct sont des éléments du groupe de Lorentz**. Ce groupe contient les boost de lorentz en plus des rotations spatiales.

*En réalité il y a quatre type de transformations qui laissent invariant l'intervale d'espace-temps.
**A noter que le groupe de Lorentz est un sous groupe du groupe de Poincaré qui est plus fondamental.

[Simontheb]

Ah, d'accord. Je pensais pourtant que les transformations de lorentz étaient définies comme laissant invariante la vitesse c ou les équations de maxwell. Mais ce n'est peut-être que l'approche historique?

Toutefois, si transformations de Lorentz et conservation des intervalles d'espace-temps sont équivalents, est-il normal qu'on puisse calculer quelque chose avec une méthode et pas avec l'autre?