Equation de conservation de l'énergie

**tarantio** · 14/04/2010, 13h07

Bonjour, je commence un exercice de meca du point concernant les oscillations d'un pendule simple entrainé et dés la première question petit souci.. sujet non abordé en TD
J'aimerais savoir comment trouver l'équation de conservation de l'énergie totale... ou quelle méthode employer pour la trouver, cette question bloquant la suite.
Merci d'avance (s'il manque des infos concernant le problème je peux les rajouter)

Tarantio

**philou21** · 14/04/2010, 13h53

Bonjour
dire qu'une quantité A se conserve c'est tout bêtement dire qu'elle ne varie pas dans le temps...
On écrit donc simplement dA/dt=0.

Il suffit donc que tu écrives l'expression de l'énergie mécanique de ton système Em=Ec+Ep et que tu calcules dEm/dt=0

**tarantio** · 14/04/2010, 14h10

Hm oui tout bête effectivement j'aurais du y penser..
Juste une petite question :
Dans le cas d'un pendule simple on aura : Em=Ec+Epe=(1/2)ml²q²+mgl(1-cosq) avec m la masse du poids, l la longueur et q l'angle avec la verticale

Mais dans le cas où le pendule est entrainé (pouvant donc se mouvoir sans frottement sur un axe horizontal Ox et avec une autre masse M sur ce point qui se déplace) est-ce que Em est modifié ou bien Em est la même que dans l'autre cas ?

merci

**philou21** · 14/04/2010, 15h21

attention, il a une vitesse dans l'énergie cinétique...
Em=Ec+Epe=(1/2)ml²(dq/dt)²+mgl(1-cosq)

Si ton système est entrainé horizontalement de manière uniforme, cette composante de l'énergie cinétique sera constante et disparaitra dans l'opération de dérivation.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**tarantio** · 14/04/2010, 16h09

Hm oui je comprend pour la vitesse, logique. Mais je ne comprends pas bien le cas de la composante horizontale : on a une autre équation sur celle-ci. Et pour savoir, l'équation de la composante horizontale de la quantité de mouvement du système est-ce autre chose encore ?

**philou21** · 14/04/2010, 16h16

Si ton système se déplace à vitesse constante v et horizontalement, il faudra rajouter 1/2(m+M)v² à ton énergie mécanique.
Cette composante étant une constante, elle sera sans effet sur l'équation du mouvement du pendule.

**tarantio** · 14/04/2010, 17h35

D'accord merci

je vais essayer d'appliquer ça et au pire si j'ai encore une question j'espere que tu pourras m'aider merci bcp

Tarantio

**tarantio** · 15/04/2010, 09h03

Re bonjour, j'aimerais savoir si ce que j'ecris est vrai :
pour l'équation de conservation de l'énergie totale on aura
Em= Em=Ec+Epe=(1/2)ml²(dq/dt)²+mgl(1-cosq) et je rajoute 1/2(m+M)v² (pour le système) voila c'est ce dont on a parlé
Mais quant à l'équation de la composante horizontale de la quantité de mouvement, pouvez vous m'en parler sans me donner un "résultat", que je puisse "voir" ce dont il est question
Merci d'avance

**philou21** · 15/04/2010, 09h24

excuse-moi mais à la relecture du fil je m'aperçois que je n'ai pas très bien compris ton problème...
est-ce que le pivot du pendule est une masse M laissée libre de se déplacer sur un axe horizontal ?
La condition initiale serait juste de partir d'un angle θ non nul ?
Si c'est ça le problème est un peu plus compliqué...

**tarantio** · 15/04/2010, 09h31

Hm oui c'est de ma faute j'aurais pu etre plus précis, il s'agit dans ce cas d'un pendule elliptique, à chaque extremité on a une masse différente m et M, et une des extrémités peut se mouvoir sans frottements sur un axe Ox. Ce que l'on cherche c'est l'équation de conservation de l'énergie totale et l'équation de la composante horizontale de la quantité de mouvement du système.. la suite de l'exo découle de ça sauf que cette question me bloque pour la suite

NB : à t=0 l'extrémité se mouvant est à l'origine O et la tige est verticale et immobile

**philou21** · 15/04/2010, 09h41

Envoyé par tarantio

...à t=0 l'extrémité se mouvant est à l'origine O et la tige est verticale et immobile

Ben là il va pas se mettre en mouvement tout seul...

**tarantio** · 15/04/2010, 09h47

Oui, ça me pose question aussi, mais j'ai voulu le préciser au cas où.. mais si on considère qu'il est en mouvement : j'ai cherché une animation si vous voulez voir => http://subaru2.univ-lemans.fr/enseig.../pendelip.html

**philou21** · 15/04/2010, 10h08

Oui, d'ailleurs ils disent comment traiter le problème :

http://subaru.univ-lemans.fr/enseign...a/pendelip.pdf

**tarantio** · 15/04/2010, 10h33

Merci! c'est un peu une correction de l'exercice mais je vais essayé de comprendre.. une dernière question (désolé..) : l'équation de conservation de l'énergie totale sera Em=Ec+Ep (Ec donné dans la "correction" et Ep=mgl(1-cosq)) mais faut -il comme vous m'avez dit au début du topic de faire dEm/dt ?

**philou21** · 15/04/2010, 10h47

Envoyé par tarantio

...mais faut -il comme vous m'avez dit au début du topic de faire dEm/dt ?

Ben, ça peut peut-être encore fonctionner avec les deux degrés de libertés, x sur l'axe horizontale et θ.
Si tu connais l'énergie initiale (sans doute Ec=0 et une certaine valeur de l'énergie potentielle Ep0) :
Em=Ep0
et avec dEm/dt=0 ça te fais deux équations, deux inconnues...

**tarantio** · 15/04/2010, 11h34

Oui et on a Ep0=-mglcosθ (θ initial)
et plus qu'à trouver θ et x...
D'accord bon je crois que je devrais m'en sortir ^^
merci pour le coup de main et les explications claires
Bonne journée

Tarantio

**philou21** · 15/04/2010, 12h39

Ok, essaie de trouver l'énergie cinétique, ça doit doit pouvoir se faire...
La difficulté se situe pour la masse au bout du pendule. J'exprimerais sa position r en fonction de x, θ et l en coord cartésienne, je dériverais pour trouver le vecteur dr/dt et ensuite tu prends le carré (dr/dt)²

**tarantio** · 15/04/2010, 13h10

Hm oui mais peut etre comme le montre l'animation ramener en un point G pour l'ensemble du système.. et exprimer ses coordonnées
D'ailleurs pour l'Ec il y aurait un moment inertiel en plus du mv²/2, et je ne vois pas ce que ça implique enfin pourquoi il apparait ici

**philou21** · 15/04/2010, 14h17

Ben, oui, c'est plus malin que ce que je propose... il n'y a qu'un seul degré de liberté : la position de G qui se déplace forcement sur l'axe vertical (pas de quantité de mouvement sur x).
Je suis trop rouillé pour ce type de problème...

**tarantio** · 15/04/2010, 19h55

Pas de souci ^^ mais oui ça peut etre plus facile, je vais essayer de faire ça puis si j'ai une derniere question j'espere que vous pourrez m'aider comme depuis le début

(rouillé ou pas)
Merci

invite1937b197 · 18/04/2010, 08h43

hello,
Notre énoncé diffère quelque peu de celui de l'université de le mans. Ils ont une masse négligeable pour le chariot alors que pour nous elle n'est pas négligeable...
Est ce que cela implique qu'il y ai un autre moment d'inertie en ce point? ou qu'il faut le rajouter au moment d'inertie de Jg?

J'ai rajouter la masse m du chariot à la masse M du pendule et j'obtiens:
Jg=(M+m).e.sinα

Est-ce bon?

**tarantio** · 18/04/2010, 09h11

Oui si tu additionnes les deux masses tu auras ta masse correspondant au système (qu'on a ramené en un seul point G). Sur ce topic un type pose une quesiton similaire en milieu de page (http://forums.futura-sciences.com/ph...-dinertie.html).. après tu as pu comprendre pourquoi on devait rajouter un moment inertiel dans l'energie cinétique ?

invite1937b197 · 18/04/2010, 09h14

Non j'ai pas compris!
Mais ce que j'ai dit est faux.
La page wikipédia sur les moments d'inertie donne la formule pour le calculer: http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_d'inertie

En fait sa donne:
Jg=m.e.sina+M(l-e.sina)

**philou21** · 18/04/2010, 09h20

Bonjour
Tu écris l'expression de l'énergie en fonction de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
Tu écris que la composante horizontale de la quantité de mouvement est nulle :
$\text{[math]}$
de la tu tires $\text{[math]}$ , tu remplaces dans E et tu dérives dE/dt=0
Ça devrait marcher...

autrement il y a un fil sur ce problème par le lagrangien : http://forums.futura-sciences.com/ph...agrangien.html

invite1937b197 · 18/04/2010, 09h36

J'ai un pb avec l'énergie cinétique, je trouve (1/2).w²[ma²+M(l-a)²]

où w est la vitesse angulaire θ^., l la longueur totale de mon pendule, a la longueur de ma masse m au point G.
Toutefois je vois ici http://subaru.univ-lemans.fr/enseign...a/pendelip.pdf qu'il rajoute une Ec pour le point G. Pourriez vous me m'expliquer?

invite1937b197 · 18/04/2010, 09h46

Envoyé par philou21

Bonjour
Tu écris l'expression de l'énergie en fonction de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
Tu écris que la composante horizontale de la quantité de mouvement est nulle :
$\text{[math]}$
de la tu tires $\text{[math]}$ , tu remplaces dans E et tu dérives dE/dt=0
http://forums.futura-sciences.com/ph...agrangien.html

x est la distance de A à l'origine? et $\text{[math]}$ et la vitesse de A?

Je n'arrive toutefois pas à trouver une énergie en fonction de $\text{[math]}$ .

J'ai soit: (1/2) $\text{[math]}$ ².[Jg+Ma²sin² $\text{[math]}$ ]-Mga(cos $\text{[math]}$ -cos $\text{[math]}$ ₀)

soit:
(1/2) $\text{[math]}$ ².Jg-Mga(cos $\text{[math]}$ -cos $\text{[math]}$ ₀)

**philou21** · 18/04/2010, 09h55

Dans le lien que je donne, il y a un lien vers wiki avec un schéma.
C'est traité par lagrangien mais c'est pas grave, ils donnent les expressions de Ec et Ep

invite1937b197 · 18/04/2010, 10h02

Merci philou, je viens de le voir!

Je vais maintenant essayer de faire comme tu me l'as indiqué.
Cependant j'ai essayé de suivre le sujet sur wikipédia mais je me perds à partir de "indicating the presence of a constant of motion. Performing the same procedure for the variable θ yields:" je ne comprends plus ce qu'ils cherchent... Pourriez vous m'éclairez?

**philou21** · 18/04/2010, 15h11

Oui, mais ils utilisent une autre méthode en passant par le lagrangien du système. Si tu ne connais pas c'est normal que tu ne comprennes pas...

invite1937b197 · 18/04/2010, 19h36

Bonsoir,
Après quelque heures de recherche (je n'y ai pas passé l'aprem pas de panique^^) je n'arrive pas à trouver dEm/dt=0.
J'ai dérivé puis remplacer les x' et x" j'ai une équation à une inconnue $\text{[math]}$ mais pas mieux!
Est-ce que je devrais faire comme dans l'article de wikipédia sur les lagrangians en différentiant les x et les $\text{[math]}$ puis en calculant leur dérivés respectives?
J'avoue être un peu perdu!!!

Equation de conservation de l'énergie

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