Modéliser le vent dans le calcul de trajectoire d'un projectile

[invite302f6aa1]

Bonjour !
Alors j'ai fait un programme qui calcule la trajectoire d'un projectile en 3D, en me basant sur mon cours de physique. J'aimerais y ajouter une modélisation du vent. Mais peut-on considérer le vent comme une accélération, ou une simple vitesse ajoutée au solide ?

mon axe vertical est l'axe Z

ax, ay, az sont les accélérations dans les 3 dimensions respectives
vix, viy, viz, sont les vitesses initiales dans les 3 dimensions respectives
x, y, z sont les coordonnées du solide

wx, wy, wz sont les vitesses du vent dans les 3 dimensions respectives
pix, piy, piz sont les trois coordonnées du point de lancement

g est la constante de gravité sur terre


Mes équations :
les accélérations :




on intègre et on trouve
les vitesses :




on intègre encore et on a
les coordonnées :




Avec ces équations, j'obtiens une trajectoire toujours dans un plan vertical (contenant l'axe Oz), la vitesse du vent étant constante. Mais lorsqu'on tire un projectile, ne commence-t-il pas plutôt par aller tout droit et progressivement dévier de sa trajectoire originale ? Si l'on met le vent comme accélération, en retrouvant les autres équations, on obtiendrait peut-être quelque chose de plus réaliste, mais la vitesse augmenterait jusqu'à l'infini, alors qu'en réalité le projectile accélèrerait jusqu'à la vitesse du vent qui serait sa vitesse limite... Alors ? Comment modéliser le vent ?
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[Flyingsquirrel]

Comment modéliser le vent ?

Ça relève de la physique plus que des maths, j'ai déplacé la discussion en conséquence.

[S321]

Pourquoi voulez vous ajouter une accélération ou une vitesse à votre objet ? En mécanique, la cause d'un mouvement est en général une force. Autant utiliser ici aussi la notion de force.

Que ce soit l'air qui bouge par rapport à votre objet ou l'objet qui bouge par rapport à l'air ne fait pas énormément de différence. L'air exerce une force de frottement fluide -βv (par exemple) sur un objet ayant une vitesse v par rapport à lui.

Il me semble que la meilleure solution est de prendre un référentielle fixe par rapport à l'air et d'exprimer entièrement le mouvement (et donc l'ensemble des forces) dans celui-ci. Dans ce référentiel il n'y a plus de vent, mais il ne faut pas oublier les frottements.
Avec cette méthode on n'est même pas obligé de considérer que le vent est constant, mais alors on doit travailler dans un référentiel non galiléen et j'admets que c'est chiant.

[calculair]

bonjour,

Ton problème n'est pas un problème de mathématique, mais de physique.

Ce qui va determiner comment ton projectile va se deplacer se sont les forces qui lui sont appliquées

Il y a le poids P = mg ( relation vectorielle )
il y a la resistance de l'air F =kV² ou F est un vecteur qui depend de la forme de l'objet

enfin si les axes sont liés à la terre, il faudra introduire la rotation de la terre pour calculer la trajectoire, surtout si celle_ci est longue ( ditance et temps )

somme des forces appliquu"es = masse x accéleration c'est la relation à appliquer, mais si le principe est simple, les calculs deviennent parfois délicats

[A voir en vidéo sur Futura]

[mc222]

Salut, je connais ce problème par coeur, je m'y suis interressé longtemps, j'ai même developpé un modèle sur excel qui trace les trajectoires balistique.

Bon, contrairement à ce qu'on peux entendre, il faut modéliser la force du vent avec : F-kv² et non -kv.

Ensuite, tu fait la somme des forces (on considère que l'objet à les meme caractéristiques aérdynamiques dans toutes les direction pour simplifier énormément).

Sur l'axe z, le projectil est soumi à deux forces: le poids et la résistance du vent, :

On applique le PFD:

Equation différentielle d'ordre 1 qu'on résous et qu'on intègre.

Sur x, le projectil est soumi aux frottements de l'air uniquement:


Sur l'axe y, le projectil est soumi aux frottements de l'air aussi,


Ya qu'a qu'a résoudre ces équation différentielles, et tu peu aussi introduire un vent de face ou un vent ascendant si tu veux, mais faut modifer les équation en conséquence.

[invite302f6aa1]

Merci pour toutes vos réponses !
mc222, j'aimerais savoir comment résoudre ces équations différentielles (je sais que faire les trucs avec les expos qu'on voit en term), et à quoi correspond . Merci d'avance !

[jiherve]

Bonsoir,
Un excellent article sur wiki malheureusement en anglais.
http://en.wikipedia.org/wiki/External_ballistics.
JR

[mc222]

ce que j'appel lambda est enfait k/m, ce qui rassemble les caractéristiques aérodynamiques du projectil, sa masse et la masse volumique du fluide.

Pour les résoudre, on applique la procédure abituelle, solution générale solution particulière..., pose la question sur le forum de maths lycée si tu veux plus de détail.

[invite302f6aa1]

Justement, pour la solution particulière, on prend à t=0 v=quoi ? la vitesse initiale du solide ?

[invite302f6aa1]

Bon, j'ai essayé de résoudre l'équation différentielle pour x et z, et j'en ai tiré ces formules :

En z :


en intégrant on a :


En x :


en intégrant on a :


(le log correspond à ln)

ensuite, en bidouillant un peu, j'ai exprimé z en fonction de x :


J'ai remarqué que :


en faisant z(x)-z(0) on a :


Mais c'est pas un peu bizarre que la courbe remonte comme ça ? Et quand l'angle de lancer est supérieur à 45° on a ça :


Et l'angle de 45° donne ça :


Je me serais pas trompé quelque part ?

[jiherve]

Bonsoir,
Il doit y avoir une erreur, la trajectoire d'un projectile est toujours située sous la droite passant par l'axe du canon!
JR

[obi76]

De plus, il est parfaitement inutile d'essayer de la résoudre analytiquement, si le vent est très fort, ton objet pourra revenir en arrière, ta trajectoire ne sera donc lus bijective.

Si tu l'as programmé, résous juste l'équation différentielle avec de petits pas de temps, ça se fait tout seul et se programme en 5 lignes...

[invite302f6aa1]

Mais bien sûr ! J'y avais même pas pensé XD enfin j'avais pensé que la trajectoire pourrait "revenir en arrière", mais pas que du coup ça empècherait de résoudre ça analytiquement ! Mais alors comment on résoud l'équation différentielle numériquement ? Parce que pour l'instant ce que j'ai implémenté dans mon programme c'est une trajectoire parabolique, sans tenir compte ds frottements (plus ou moins parabolique vu que j'ai ajouté du vent en accélèration, ce qui est sûrement faux)...

[obi76]

Heu, c'est pas dit que tu ne puisse pas résoudre ça analytiquement, mais en tous cas pas de cette manière.

Pour la simulation numérique, je vais te donner une méthode toute simple :

tu as le PFD :

Pour la force, tu la décompose en 2 forces distinctes :
Le poids :
La force exercée par le vent :
avec : la vitesse du vent (on va la considérer constante), la vitesse du projectile, un coefficient qui dépend de la géométrie de ton objet

Par conséquent, tu as

Et enfin :

Tu prend un petit élément temporel noté

Tu as (en approximant, bref) :

Pour résoudre, tu fais de la manière suivante :
tu fais une boucle, à chaque itération tu définis :

et idem pour la position :

Initialement, c'est la vitesse initiale de ton objet, et la position initiale de ton objet. De cette manière, tu obtient et la position et la vitesse de ton objet en fonction du temps

Et valà valà

Si tu as des questions n'hésite pas, c'est du niveau de première année de fac ^^