Bonjour tous,
en parcourant un document de mécanique je suis tombé sur cette relation (voir ci dessous) que j'ai un peut de mal à comprendre d'où elle vient:
où dv est un element de volume et V la vitesse, pourriez vous me faire la demonstration svp?
moi j'aurais commencé par ecrire (definition de derivée particulaire):
mais apres je vois pas....
à la limite
si on se considere à un instant fixe t mais ca me parait bizarre car on veut une evolution donc on est pas à un instant fixe....
bref je suis pommé....
Bonjour,
le dv n'est pas un simple élément de volume ici mais le jacobien de la transformation. Si tu passe de x à X, alors dx=J.dX où J est le jacobien.
La démonstration est élémentaire, il faut juste faire des changement de variable dans le jacobien (qui est un détermiant ...).
cordialement.
merci beaucoup d'avoir repondu,Envoyé par Mixoo
je ne vois pas trop pourquoi vous parlez de jacobien dans cet exemple car moi je cherche bien à dérivée un element de volume dv....
Mathématiquement, la dérivée d'un élément de volume n'a pas vraiment de sens... l'élément de volume que vous considérez est un élément de volume lagrangien (coordonnée X) lié à une portion de fluide. Si on passe en cordonnée eulérienne (x), alors d3x=J.d3X. Ce que vous voulait en fait c'est donc la dérivée du jacobien.
Il suffit ensuite de calculer la dérivée temporelle du jacobien pour retomber sur votre formule.
je vois un peu pres ce que vous voulez dire mais je ne comprends pas completement, pouvez vous me confirmer svp et completer:
mes notations: v config eulerienne V config lagrangienne
donc:
Ce qu'il faut calculer, c'est dJ/dt. On trouve alors dJ/dt = J.div(V).
Si tu veux (pour faire le rapprochement avec tes notation) :
dX (entendre d3X) est un élément de volume fixe, cad qui ne varie pas dans le temps (par déf des coordonnées lagrangiennes). dx lui, (entendre d3x ...) varie dans le temps.
On écrit alors dx=J.dX et donc la variation "de l'élément de volume" est maintenant la variation du jacobien.
Donc oui, formellement on peut écrire d(dx)/dt mais il faut bien comprendre ce que ça veux dire. Dans cet abus de notation, on a alors :
d(dx)/dt = dJ/dt . dX = J.div(V).dX = dv.div(V).
Mais le centre du problème est bien le calcule de dJ/dt = J.div(V). C'est un calcul classique et assez élémentaire si tu maitrise les propriétés du détermiants.
merci beaucoup d'avoir repondu,
en fait a present c'est seulement cela que je n'arrive pas à montrer
As-tu essayé ? Ce n'est vraiment pas difficile (il n'y a qu'une étape un peu "technique")! C'est un peu lourd à écrire, et je n'ai pas trop le temps maintenant.
Sinon, la solution est dans la plupart des livres de mécanique des milieux continus.
Si vraiment tu n'y parviens pas, je pourrais essayer de faire la démo sur papier et la scanner, mais c'est très important d'essayer par sois-même, c'est comme cela qu'on progresse !
merci de tes infos mais franchement je vois vraiment pas.... j'ai regardé dans un de mes livres de MMC mais je n'ai pas trouvé le développement, il y a seulement la reponse....
ok j'ai resolu mon probleme
merci
A+
