Jeu des paradoxes [2] : chute d'une pièce de monnaie

[deep_turtle]

Bonjour à tou(te)s,

Puisque le paradoxe 1 commence à être sérieusement mal en point, et qu'il faut battre le fer tant qu'il est chaud (je sais, ce dicton est utilisé dans un contresens total, mais j'avais envie de le mettre, de toutes façons j'ai des quotas à respecter), en voici un deuxième, plus simple. Il est issu aussi d'un article d'American Journal of Physics, "Fall of a piece of metal in crossed gravitational and magnetic field", M.G. Calkin, Am. J. of Phys. 45 (1977) p.209.

On considère la chute d'un bout de métal sans charge électrique dans le champ de pesanteur de la Terre, quand en plus règne un champ magnétique horizontal. Le champ magnétique n'a aucun effet sur le mouvement pour un truc neutre, si bien que ce problème est très simple à résoudre : le bout de métal tombe verticalement.

Or, si on considère chacune des charges individuelles du bout de métal, ça devient trèèèèès bizarre. Tiens plutôt que de faire un laius, je pose la question : quelle est la trajectoire d'un électron en chute libre en présence du champ magnétique horizontal ? Le paradoxe apparaitre tout seul quand on aura la réponse à cette question...
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[zoup1]

Bon, je me lance sans trop réfléchir, puisqu'il est encore bien tot.

Un électron en chute libre tombe verticalement, on est bien d'accord...
Avec un champ magnétique horizontal, il sera dévié par une force perpendiculaire à sa vitesse et perperndiculaire au champs magnétique... (Mais c'est exactement la même chose que la déviation vers l'est ça !!!).
Bref, l'électron est dévié au cours de sa chute... on doit sans doute pouvoir calculer la trajectoire, mais cela me fatigue un peu... Il existe un régime stationnaire pour lequel la vitesse horizontale perpendiculaire au champ magnétique vaut mg/qB et où la vitesse verticale est nulle...
Donc l'éléectron tombe tout d'abord verticalement, puis est dévié horizontalement jusqu'à une trajectoire horizontale (effectivement c'est étonnant au premier abord !!!).

Si maintenant je prend une particule chargée positivement et non pas négativement, on trouve la même chose sauf que le sens de la vitesse est opposé. Donc elle part dans la même direction que l'électron mais dans le sens opposé....

J'ai bon pour l'instant ???

[monnoliv]

Je crois plutôt que la barre de métal tombera comme un objet non conducteur (jusqu'à un certain point).
Donc, hypothèse rappelée par zoup1, le champ de pesanteur est vertical, le champ magnétique horizontal et on lâche la barre à une certaine hauteur.
1. Une première force constante et verticale agit sur la barre due au champ de pesanteur, la barre accélère.
2. Une deuxième force horizontale due au champ magnétique et à la vitesse verticale de la barre agit sur les e- libres de la barre et les "diffuse" sur un coté de celle-ci. La barre est devenue un dipole.
3. Une troisième force horizontale due au champ magnétique et à la vitesse verticale de la barre agit sur le coté positif du dipole (là où les e- sont manquants).
La deuxième et troisième force sont exactement opposées.
La barre accélère toujours, les forces 2 et 3 sont de plus en plus grandes... à la limite il y aura ionisation de la barre (arrachage des e-), la barre commencera à se comporter comme une charge positive (donc vitesse horizontale + vitesse verticale).
Y a bon?

[deep_turtle]

Pas mal ! En fait il n'y a pas de régime permanent, car quand la vitesse est horizontale on trouve que la force magnétique est plus importante que la force gravitationnelle. Le calcul (que j'ai moi aussi la flemme de faire, c'est quand même un peu les vacances... ) montre que l'électron décrit une cycloïde qui s'étend horizontalement (l'électron commence par descendre, il est dévié en un arc de cercle qui finit par le faire remonter à son altitude de départ, mais avec un décalage latéral).

Donc les électrons de notre bout de métal ont tendance à décrire des cycloïdes. Pareil pour les charges positives, sauf qu'elles partent de l'autre côté, comme tu le dis zoup1.

La question est donc maintenant : il a l'air de quoi le bout de métal au bout d'un petit moment, avec ses électrons qui partent d'un côté et ses charges positives de l'autre ? Au passage c'est pareil pour tout morceau de matière, pas besoin que ce soit un métal. Faites l'expérience, debout sur une chaise, des aimants un peu autour et hop, on saute. Vous les sentez les électrons qui se font la malle sur le côté ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[.:Spip:.]

En fait il n'y a pas de régime permanent, car quand la vitesse est horizontale on trouve que la force magnétique est plus importante que la force gravitationnelle.

je ne vois pas trop là ?, pourquoi : "la vitesse horizontale" alors que l'objet chute toujours avec une acceleration g. On a une composante de vitesse verticale et une autre hori. Mais la resultante ne peut pas etre horizontale ...

Le calcul (que j'ai moi aussi la flemme de faire, c'est quand même un peu les vacances... ) montre que l'électron décrit une cycloïde qui s'étend horizontalement (l'électron commence par descendre, il est dévié en un arc de cercle qui finit par le faire remonter à son altitude de départ, mais avec un décalage latéral).

Donc le dipole va subir un moment de force et tourner sur lui meme ?


En faite cette expérience est similaire au spectrometre de masse, sauf que l'on a enlevé le selecteur de vitesse. On voit bien que les electron on une trajectoire formant un demi cercle dont le rayon depand de la masse

[deep_turtle]

je ne vois pas trop là ?, pourquoi : "la vitesse horizontale" alors que l'objet chute toujours avec une acceleration g. On a une composante de vitesse verticale et une autre hori. Mais la resultante ne peut pas etre horizontale ...

Ben des que la vitesse a une composante horizontale, la force magnétique a une composante verticale, qui compense (en partie ou complètement) la force gravitationnelle.

[.:Spip:.]

ah, ba oué, élémentaire ...

merci de la précision.


Bon, je vais m'acheter un aimant en U de 3 m de haut pour faire l'expérience

[deep_turtle]

J'avais zappé la réponse de Monnoliv (on a répondu presque en même temps). Oui y'a bon, sauf qu'avant l'arrachage des électrons, il y a une troisième force qui entre en jeu et qui l'empêche...

[.:Spip:.]

... due à un champs eletrique interne ... nam ? F=qE

[deep_turtle]

yes... Bon, ben il aura pas tenu longtemps celui-là !!!

On récapitule : le bout de métal commence à tomber verticalement. Ses électrons et ses charges positives ont tendance à partir chacune de leur côté, ce qui crée une polarisation, et donc un champ électrique horizontal qui limite la séparation des charges, l'objet tombe bien verticalement.

Petite question subsidiaire cependant : la vitesse de chute croit linéairement avec le temps, donc la force magnétique aussi, donc la polarisation aussi. L'accélération des électrons a donc bien une composante horizontale. L'accélération verticale devrait donc être un peu réduite pour un conducteur... vrai ou faux ??

[zoup1]

Pas mal ! En fait il n'y a pas de régime permanent, car quand la vitesse est horizontale on trouve que la force magnétique est plus importante que la force gravitationnelle. Le calcul (que j'ai moi aussi la flemme de faire, c'est quand même un peu les vacances... ) montre que l'électron décrit une cycloïde qui s'étend horizontalement (l'électron commence par descendre, il est dévié en un arc de cercle qui finit par le faire remonter à son altitude de départ, mais avec un décalage latéral).

Bon effectivement, les solutions de la vitesse horizontale sont toujours oscillantees.

Pour un bout de matière maintenant comme le dis monnoliv, le matériau va se polariser... peut importe que la trajectoire soit une cycloïde ou autre chose. D'ailleurs, dans un matériau, les charges positives et négatives sont liées entres elles... On a donc simplement un objet polarisé.

Si je ne me suis pas trompé, je trouve que les distances horizontales pour une cycke d'une cycloide sont de m pour les électrons et m pour un proton.
La fréquence des oscillations est de s pour l'électron et de s pour un proton.

Bon, maintenant, je ne sais pas très bien quoi faire avec cela...

[monnoliv]

... due à un champs eletrique interne ... nam ? F=qE

yes... Bon, ben il aura pas tenu longtemps celui-là !!!

Je ne suis pas tout à fait d'accord.
D'accord bien sûr avec cette troisième force: Fr = qE (r pour rappel). Qu'est-ce que E ? c'est le champ électrique créé par la diffusion des e- de conduction. Ceux-ci ayant diffusé, E reste à peu près constant (la barre est de dimension finie) ou n'augmente que très légèrement, donc Fr aussi. Or les deuxième et troisième forces ne cessent d'augmenter (voir message #3). Donc l'arrachage des e- est inévitable, non ?

Petite question subsidiaire cependant : la vitesse de chute croit linéairement avec le temps, donc la force magnétique aussi, donc la polarisation aussi. L'accélération des électrons a donc bien une composante horizontale. L'accélération verticale devrait donc être un peu réduite pour un conducteur... vrai ou faux ??

Donc faux, les e- n'ont plus d'accélération horizontale à partir d'un certain point.

Y a bon encore ?

Edit: croisement avec zoup1

[.:Spip:.]

Je pense vrai

on a une force 1 créée sur un pole de charge Q de vitesse hori v1, mais aussi une force 2 créee sur le pole de charge -Q de vitesse hori v2 (mais les vecteur v 1 et v 2 sont opposés) Le tout dans un champ B uniforme. Bref charges opposées et vecteur v opposés > F1 et F2 dans le meme sens; dirigée vers le haut.

Donc, pour moi une acceleration verticale compense en partie g.

En tout cas, pour le [1], j'ai fini par perdre les pédales dans un brouillard dense.

[.:Spip:.]

Je ne suis pas tout à fait d'accord.
D'accord bien sûr avec cette troisième force: Fr = qE (r pour rappel). Qu'est-ce que E ? c'est le champ électrique créé par la diffusion des e- de conduction. Ceux-ci ayant diffusé, E reste à peu près constant (la barre est de dimension finie) ou n'augmente que très légèrement, donc Fr aussi. Or les deuxième et troisième forces ne cessent d'augmenter (voir message #3). Donc l'arrachage des e- est inévitable, non ?

oui, mais pour moi, comme tu n'as pas de vitesse Cste, ton dipole se charge d'avantage (car la force est plus importante quand v augmente F = q vB)
non,? peut etre que je me trompe

[zoup1]

Pour qu'il y ait une force magnétique dirigée vers le haut, il faut qu'il y ait une vitesse horizontale, pas une accélération horizontale.
Enfin, tout cela ne change rien, je suis d'accord avec monnoliv, il n'y a plus de vitesse au delà lorsuqe les forces électriques compensent la force magnétique et l'accélération verticale reste la même, une fois l'état d'équilibre atteint.