Lagrangien et Hamiltonien

[ordage]

Salut

Pour poursuivre, en se focalisant sur un point précis, le débat sur la relativité et le groupe de Poincaré, comme on voit qu'on utilise dans le développement des théories le Lagrangien et le Hamiltonien, peut on donner un critère qui permet de dire pour quel type de problème le Lagrangien s'impose (ou est préférable) et pour quel autre le Hamiltonien s'impose ou est préférable.

J'avais retenu que le Lagrangien est un scalaire qui permet de construire une action, qui a un caractère physique indéniable (le temps propre sur une ligne d'univers en RG est proportionnelle à l'action) et de surcroît très important d'où on peut par le principe extrémal dériver des équations (lois) de la physique.
Par exemple en RG l'équation d'Einstein est établie de cete manière.

Le Hamiltonien est un opérateur associé à l'énergie (totale du système considéré) qui est également physique.
J'ai cru lire qu'il était mais dépendant de l'observateur mais je ne vois pas bien comment. Par exemple en RR et en RG le hamitonien d'une particule libre dans un champ:
P_µ. P^µ = m²c² calculé à partir de la 4 impulsion P^µ est un scalaire de Lorentz et me paraît invariant.
L'intérêt du Hamiltonien est qu'il se prête à une mise sous forme "canonique".

J'ai l'impression qu'on peut souvent faire les calculs en utilisant soit l'un soit l'autre et que cela dépend des préférences des auteurs.

Par exemple B. Carter a découvert sa 4ième constante du mouvement dans la solution de Kerr Newman (stationnaire, où l'énergie est donc conservée, il est vrai), ce qui lui a permis de donner une solution analytique exacte des équations du mouvement en utilisant la méthode Hamiltonienne, le Hamiltonnien étant construit à partir du Lagrangien qu'il a défini dans ce cas.

Mais la solution aurait elle été trouvée en utilisant le Lagrangien seul?
Cet exemple est un cas où on ne fait pas de feuilletage temps espace, mais où simplement le formalisme a mis en évidence une propriété pas évidente à priori.

Il me semble que dans les problèmes où les constantes du mouvement I sont impliquées l'approche Hamiltonienne est séduisante du fait que le crochet de Poisson {H,I} est nul.

Il y a aussi l'approche ADM (qui procède à un feuilletage) qui est Hamiltonienne, mais qui est très intéressante en RG.

Tout ceci considéré fait que, pour moi en tout cas qui ne suis pas un spécialiste, je ne vois pas toujours les règles, s'il y en a, qui orientent vers telle ou telle approche et ce qui différencie fondamentalement les deux approches.
Merci d'avance pour vos commentaires éclairés et éclairants.
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[Pyrrhon d'Élis]

Salut,

Salut


J'avais retenu que le Lagrangien est un scalaire qui permet de construire une action

En théorie des champs (relativiste), la densité de Lagrangien (qu'on appel souvent "Lagrangien" tout court pour abréger) est un scalaire de Lorentz. Ce n'est pas le cas du Lagrangien (le vrai) lui-même :

(dS=Ldt = ldVdt ; dS=action=scalaire, dt n'est pas un scalaire donc L n'est pas un scalaire ; dVdt est un scalaire donc l (densité de lagrangien) est aussi un scalaire )

Le Hamiltonien est un opérateur associé à l'énergie (totale du système considéré) qui est également physique.
J'ai cru lire qu'il était mais dépendant de l'observateur mais je ne vois pas bien comment.

L'énergie dépend bien du référentiel : une particule libre possède une énergie proportionnel au facteur gamma relativiste qui dépend bien sûr du référentiel.

Par exemple en RR et en RG le hamitonien d'une particule libre dans un champ:
P_µ. P^µ = m²c² calculé à partir de la 4 impulsion P^µ est un scalaire de Lorentz et me paraît invariant.
L'intérêt du Hamiltonien est qu'il se prête à une mise sous forme "canonique".

Non, ce n'est pas là le Hamiltonien d'une particule, c'est la norme du quadri-vecteur énergie-impulsion. Le Hamiltonien relativiste est H=(p²c²-m²c⁴)^1/2

[ordage]

Salut,



1-En théorie des champs (relativiste), la densité de Lagrangien (qu'on appel souvent "Lagrangien" tout court pour abréger) est un scalaire de Lorentz. Ce n'est pas le cas du Lagrangien (le vrai) lui-même :

(dS=Ldt = ldVdt ; dS=action=scalaire, dt n'est pas un scalaire donc L n'est pas un scalaire ; dVdt est un scalaire donc l (densité de lagrangien) est aussi un scalaire )


2-L'énergie


Non, ce n'est pas là le Hamiltonien d'une particule, c'est la norme du quadri-vecteur énergie-impulsion. Le Hamiltonien relativiste est H=(p²c²-m²c⁴)^1/2

Salut
1- Effectivement, j'ai parlé un peu vite, merci de la précision explicitée.
2- Je comprend de ta réponse que le Hamiltonien est l'opérateur associé à l'énergie mesurée dans un référentiel, qui dépend donc du référentiel (ce qui n'est pas ce que j'avais écrit, dont acte) mais comme E² = (p²c² +m²c^4) ne doit on pas avoir H = sqrt(p²c² + m²c^4)?
Je suppose que p est bien "la quantité de mouvement" , vecteur spatial 3D.

En tout merci pour les précisions très claires.

[Pyrrhon d'Élis]

Salut
1- Effectivement, j'ai parlé un peu vite, merci de la précision explicitée.
2- Je comprend de ta réponse que le Hamiltonien est l'opérateur associé à l'énergie mesurée dans un référentiel, qui dépend donc du référentiel (ce qui n'est pas ce que j'avais écrit, dont acte) mais comme E² = (p²c² +m²c^4) ne doit on pas avoir H = sqrt(p²c² + m²c^4)?
Je suppose que p est bien "la quantité de mouvement" , vecteur spatial 3D.

En tout merci pour les précisions très claires.

Coquille! Tu as tout juste, il s'agit bien d'un +. Désolé !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea29d1598]

salut

quelques autres remarques rapides en passant :

le Lagrangien et le Hamiltonien

pas de majuscules en français

Le Hamiltonien est un opérateur

si rien n'est quantifié, y'a pas d'opérateur

J'ai l'impression qu'on peut souvent faire les calculs en utilisant soit l'un soit l'autre et que cela dépend des préférences des auteurs.

certains calculs sont plus simples d'une façon que d'une autre [en plus des raisons déjà discutées]

Mais la solution aurait elle été trouvée en utilisant le Lagrangien seul?

moins facilement

Cet exemple est un cas où on ne fait pas de feuilletage temps espace,

étant donné que le calcul utilise la solution exprimée dans un système de coordonnées, le feuilletage est plus ou moins là

d'autre part, quand on parle de RG, faut distinguer 2 types de problèmes :

- l'obtention d'une solution des équations d'Einstein (et donc de la description de l'espace-temps)
- l'obtention des équations des géodésiques une fois l'espace-temps donné (et c'est dans ce cadre que se place le travail de BC auquel tu fais référence)

par ailleurs, le papier de BC auquel tu fais référence utilise non pas la formulation hamiltonienne, mais l'équation de Hamilton-Jacobi. En gros, tu peux distinguer :

- le lagrangien utilisé pour obtenir les équations de Lagrange
- le hamiltonien utilisé pour obtenir les équations de Hamilton
- le hamiltonien utilisé pour obtenir l'equation d'Hamilton-Jacobi...

ce qui change c'est :
- le nombre d'équations
- l'ordre des équations

pour trouver la constante de Carter, l'équation d'Hamilton-Jacobi (qui est unique !) était la voie naturelle [encore fallait-il avoir l'idée qu'il y avait une telle constante à trouver ]

[ordage]

salut

quelques autres remarques rapides en passant :



pas de majuscules en français

si rien n'est quantifié, y'a pas d'opérateur

certains calculs sont plus simples d'une façon que d'une autre [en plus des raisons déjà discutées]

moins facilement

étant donné que le calcul utilise la solution exprimée dans un système de coordonnées, le feuilletage est plus ou moins là

d'autre part, quand on parle de RG, faut distinguer 2 types de problèmes :

- l'obtention d'une solution des équations d'Einstein (et donc de la description de l'espace-temps)
- l'obtention des équations des géodésiques une fois l'espace-temps donné (et c'est dans ce cadre que se place le travail de BC auquel tu fais référence)

par ailleurs, le papier de BC auquel tu fais référence utilise non pas la formulation hamiltonienne, mais l'équation de Hamilton-Jacobi. En gros, tu peux distinguer :

- le lagrangien utilisé pour obtenir les équations de Lagrange
- le hamiltonien utilisé pour obtenir les équations de Hamilton
- le hamiltonien utilisé pour obtenir l'equation d'Hamilton-Jacobi...

ce qui change c'est :
- le nombre d'équations
- l'ordre des équations

pour trouver la constante de Carter, l'équation d'Hamilton-Jacobi (qui est unique !) était la voie naturelle [encore fallait-il avoir l'idée qu'il y avait une telle constante à trouver ]

Salut
Merci pour toutes ces informations.

Sans vouloir abuser de ta patience et de ton temps, juste deux questions complémentaires sur des points qui m'intriguent encore.

Effectivement, B.C s'est servi de l'équation de Hamilton Jacobi pour obtenir l'équation géodésique dans un système de coordonnées déjà établi bien précis (celui de Kerr) mais je ne vois pas (dans les calculs) où cela correspond à un feuilletage d'autant que la solution obtenue est un système d'équations différentielles par rapport au paramètre affine "lambda", ce qui met toutes les coordonnées sur un pied d'égalité me semble t'il.
Il vrai que la solution apparaît le plus naturellement dans ces coordonnées, mais les propriétés des géodésiques définies par ces équations a un caractère physique (qu'il explicite très bien d'ailleurs) indépendant du système de coordonnées choisi.

Dernier point, pour revenir sur le hamiltonien, je ne sais pas si c'est une terminologie standard mais il me semble que le "hamiltonien géodésique" (j'aurais dû préciser que c'est de cela que je parlais, qui n'est utilisable que pour calculer des grandeurs associées aux géodésiques) est bien valorisé à H = P^µ.P_µ où P^µ est la 4 impulsion.

On trouve cela dans différents ouvrages. Dans l'article de B.C, P^µ inclut un terme de couplage avec le champ électrique (4-Impulsion généralisée) car il traite le cas des géodésiques pour les particules chargées où non dans un TN chargé ou non.
Qu'en est il exactement?
Merci encore pour ton attention.

Cordialement