Ascension d'un ballon de volume constant

[invitebe08d051]

Bonjour,

Voici un exercice qui me pose un petit problème.
Il n'est pas question de solution mais j'ai fait deux méthodes sans arriver au même résultat .

Un ballon sphérique de volume fixe est gonflé a l'Hélium, la température varie selon la loi avec cst, représentant l'altitude.

On vérifie aisément que la pression suit la loi avec cst.

On voudrai calculer l'altitude maximale atteinte par ce ballon, c'est à dire tant que la résultante de forces de pression est supérieur au poids.

Le problème est dans l'expression de la résultante de forces de pression.

(curviligne bien sur )
cela donne .

Mais en utilisant la formule du gradient

Apparemment, ce sont deux choses différentes notamment pour les applications numériques seule la deuxième expression donne une valeur cohérente...cela dit je ne vois pas mon erreur .

Je me pose donc la question suivante, la formule du gradient est-elle toujours valable ??

Qu'en pensez vous ?
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[invite111cf9ee]

Salut

Peut-etre ais-je mal compris, mais tu compares deux methodes, l'une surfacique et l'autre volumique.

L'erreur vient peut-etre de la?

EDIT: as-tu utilise le theoreme de la divergence pour la formule du gradient? ca permet de repasser d'integrales volumiques en surfaciques

[invitebe08d051]

Salut

Peut-etre ais-je mal compris, mais tu compares deux methodes, l'une surfacique et l'autre volumique.

L'erreur vient peut-etre de la?

Peut être, l'une des deux méthodes est forcément fausse, mais laquelle ?

[invitec17b0872]

Bonjour,

Ce n'est pas clair tout ça. Quel est votre système de coordonnées ? Détaillez votre dS et votre dV.
Pourquoi la formule du gradient ne fait pas intervenir le paramètre a quand vous dérivez P par rapport à z ?
Qui est r ?
Enfin je ne sais pas si c'est clair pour vous mais je ne vous suis pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe08d051]

Bon...

représente le rayon de la sphère.
J'ai juste oublié le dans la formule du gradient:

.

Dans les deux cas, la pression ne dépend que de , elle sort de l'intégrale, reste alors les intégrales de dS et dV qui valent respectivement et , puisque c'est une sphère....

Je doute fort que ça soit une erreur de calcul, c'est quelques chose de plus fondamentale...

[calculair]

Bonjour,

Dans la première integrale, pour faire la somme des forces, il faut tenir compte, du fait que les forces de pressions sont orientées vers le centre de la sphère.

Il faut donc projeter ces forces sur l'axe z. Il manque au moins un P sin( alpha)
dans cette integrale

Puis la prise en compte dun element de surface sur laquelle s'applique la pression dS = 2 pi R² cos ( alpha) d( alpha)

En fin il faut exprimer z par rapport à (alpha) et integrer de de-PI/2 à PI /2

[calculair]

Bonjour,

Dans la première integrale, pour faire la somme des forces, il faut tenir compte, du fait que les forces de pressions sont orientées vers le centre de la sphère.

Il faut donc projeter ces forces sur l'axe z. Il manque au moins un P sin( alpha)
dans cette integrale

Puis la prise en compte dun element de surface sur laquelle s'applique la pression dS = 2 pi R² cos ( alpha) d( alpha)

En fin il faut exprimer z par rapport à (alpha) et integrer de de-PI/2 à PI /2

Cela àrevient à tenir comote de l'orientation de l'element de de surface dS

[invitebe08d051]

Parfaitement !! Ça donne la même expression !!
Merci