[Maths Sup] Electrocinétique

[invite62696a75]

Bonjour,

je suis coincé à un exercice pour préparer mon examen d'électricité qui est le suivant :



Dans le circuit de la figure 1, déterminer l'expression littérale du courant i dans la résistance R en fonction de R, R1, R2, r1, r2, E1 et E2 :

1. Par application des lois des mailles et des noeuds.
2. Par le théorème de superposition.

Voici ce que j'ai fait :
http://img686.imageshack.us/img686/6681/exo2.png

Mais ensuite je voulais remplacer i1 et I1 trouvés des lois des noeuds dans les lois des mailles mais ensuite je suis bloqué, je trouve des grosses équations... Je suis perdu. Si vous pouvez me dire si il y a plus simple, je serai soulagé !

Merci d'avance.
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[invitea3eb043e]

Par superposition, c'est le plus simple, pourquoi ne pas commencer par là ?
Ensuite, quand on traite ce genre de problème par les mailles, il ne faut pas multiplier les variables : tu en as créé 10, pas étonnant que tu te noies.
On peut le faire avec 3 inconnues : I dans E1, I' dans E2 et i dans R.
Par exemple le courant dans R1 sera (I-i). Inutile de rajouter une variable.
Ensuite une loi des mailles donnera (à gauche) que
E1 = r1 I + R1(I-i)
et pareil à droite et enfin la maille du milieu.
Ca fait 3 équations à 3 inconnues, c'est déjà plus léger, non ?

[invite62696a75]

Oui tu a raison, je me complique la vie. Oui c'est sur que c'est plus simple par superposition mais je voulais plus m'entraîner sur les lois de Kirchhoff car c'est là où j'ai plus de mal. Merci Jeanpaul, si j'ai encore un soucis, je reviendrai.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Bien évidemment, si j'avais à faire ce calcul, je ne ferais pas en utilisant les lois de nœuds mais en le simplifiant en replaçant la gauche et la droite part leurs équivalents de Thévenin: ça permet d'écrire la valeur de 'i' directement (avec de l'expérience).

Et je ne le ferais certainement pas par superposition que soumis à des menaces sérieuses pour mon intégrité physique. C'est crétin de prétendre que le principe de superposition est une méthode utile pour résoudre des circuits (en dehors de séances sado-masochistes).

Pour appliquer les lois de mailles, vous regardez combien de mailles vous avez (3 ici) et vous dites qu'un courant I1 circule autour de la première maille, I2 autour de la deuxième et I3 autour de la troisième. Et vous écrivez, pour les trois mailles une équation qui dit que la somme des tensions autour de la maille est zéro.
Cela vous donne un système de trois équations avec trois inconnues qu'il faut résoudre. Avec trois mailles c'est le mieux que vous pouvez faire sans simplifier.
Il ne faut pas introduire des variables inutiles. Trois est le nombre nécessaire et suffisant.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Pourquoi pas la superposition ? C'est très simple : r2 et R2 en parallèle, puis R en série, puis R1 en parallèle et r1 en série, ça donne le courant dans E1 puis un diviseur de tension et puis hop ! Ca peut presque se faire de tête.
La beauté, c'est qu'ensuite pour E2, il suffit de remplacer les indices 1 par les indices 2 et soustraire. Et c'est fini.

[invite62696a75]

Bonjour.
Bien évidemment, si j'avais à faire ce calcul, je ne ferais pas en utilisant les lois de nœuds mais en le simplifiant en replaçant la gauche et la droite part leurs équivalents de Thévenin: ça permet d'écrire la valeur de 'i' directement (avec de l'expérience).

Et je ne le ferais certainement pas par superposition que soumis à des menaces sérieuses pour mon intégrité physique. C'est crétin de prétendre que le principe de superposition est une méthode utile pour résoudre des circuits (en dehors de séances sado-masochistes).

Pour appliquer les lois de mailles, vous regardez combien de mailles vous avez (3 ici) et vous dites qu'un courant I1 circule autour de la première maille, I2 autour de la deuxième et I3 autour de la troisième. Et vous écrivez, pour les trois mailles une équation qui dit que la somme des tensions autour de la maille est zéro.
Cela vous donne un système de trois équations avec trois inconnues qu'il faut résoudre. Avec trois mailles c'est le mieux que vous pouvez faire sans simplifier.
Il ne faut pas introduire des variables inutiles. Trois est le nombre nécessaire et suffisant.
Au revoir.

Oui mais imaginons que le correcteur refuse qu'on passe par équivalence Thevenin-Norton pour simplifier la maille et ensuite faire les lois. Donc après c'est pour ça que je me méfie de le faire.

[invite6dffde4c]

Pourquoi pas la superposition ? C'est très simple : r2 et R2 en parallèle, puis R en série, puis R1 en parallèle et r1 en série, ça donne le courant dans E1 puis un diviseur de tension et puis hop ! Ca peut presque se faire de tête.
La beauté, c'est qu'ensuite pour E2, il suffit de remplacer les indices 1 par les indices 2 et soustraire. Et c'est fini.

Bonjour Jeanpaul.
La superposition, en tant que méthode, transforme un problème de N équations et N inconnues en N problèmes de N-1 équation et N-1 inconnues. On n'est même pas gagnant, pour N=2.
Faire croire que c'est une méthode utile de calcul de circuits est une escroquerie intellectuelle.

Si on veut utiliser des "astuces" dans ce problème, la substitution par Thévenin est sans doute la plus directe. Car on peut écrire directement le résultat pour le courant demandé.
Cordialement.

[invite62696a75]

Oui mais si l'énoncé nous demande de passer par la méthode de superposition, c'est que nous sommes obligés de passer par là.

[invite6dffde4c]

Oui mais imaginons que le correcteur refuse qu'on passe par équivalence Thevenin-Norton pour simplifier la maille et ensuite faire les lois. Donc après c'est pour ça que je me méfie de le faire.

Re.
C'est le triste sort des élèves: ils doivent se soumettre aux exigences des enseignants.
C'est pour cela que je vois ai dit ce que je ferais pour les mailles. Pour la superposition, vous avez les suggestions (et astuces de Jeanpaul).

Mais je dois reconnaître qu'il serait très pédagogique de faire utiliser la superposition avec un montage à 4 ou 5 mailles, non simplifiable. Puis de le faire résoudre par la loi des mailles. Les gens sortiraient convaincus de l'imbécilité de la superposition comme méthode de solution pratique.

Regardez les exemples utilisés en cours pour la superposition: on ne dépasse jamais deux mailles.
A+

[invite62696a75]

Bonjour,
en fait je reviens sur cet exo car la méthode de superposition, je n'arrive pas à l'appliquer malgré les explications de Jeanpaul... Si quelqu'un pouvait m'expliquer, ça serait sympa.

[invitea3eb043e]

Je pense que LPFR et moi ne parlons pas de la même chose quand nous parlons de superposition.
Mon idée est la suivante :
1) Supprimer E2 et calculer le courant dans R, ce qui est assez simple. En effet, on a r2 et R2 en parallèle puis en série avec R, le tout en parallèle avec R1. En série avec r1, facile de calculer la résistance équivalente puis le courant dans E1. Le partage du courant dans R1 et R est assez trivial, ça donne le courant dans R.

2) Supprimer E1 et calculer le courant dans R, ce qui est exactement le même calcul, en échangeant les indices 1 et 2.

3) Soustraire les 2 courants ainsi calculés.

4) Point final
C'est finalement plus simple que d'écrire les lois de noeuds et de mailles : aucune équation en fait.

[invite62696a75]

Justement, comment on établit le diviseur de courant de disons i' au bord de Req (qui comprend R2 et r2 qui étaient parallèles avec R en série) avec que des résistances ? Parce que j'ai toujours l'habitude de faire avec des conductances mais bon c'est compliqué après.

[invitea3eb043e]

Un truc simple, c'est quand on a 2 résistances en parallèle, la résistance équivalente c'est le produit divisé par la somme.
Donc si on prend R et l'ensemble r2 et R2, ça fait R + r2 R2 /(r2 + R2) qu'on appelle Re (e pour équivalente).
Donc E1 va débiter dans r1 + R1 Re/(R1 + Re), ce qui fait un courant I1
I1 va se partager en i et I1 - i avec la loi R1 (I1 - i) = Re i à cause du potentiel au noeud, ce qui fait
i = R1 I1 /(R1 + Re)
et c'est fini même si l'écriture est un peu lourde.

[invite62696a75]

Ah d'accord, je vois ! Merci beaucoup Jeanpaul ! Je passe l'examen demain justement, j'espère que ça ira avec tes conseils. Merci et bonne soirée !