Calcul d'un opérateur H

[invitee4ddff98]

Bonjour, je suis bloqué sur un exo de mécanique quantique. Matière oh combien obscure.

Soit une particule de spin 1/2 soumis à un champ magnétique B de composante

Bx = B0/sqrt(2)
By = 0
Bz = B0/sqrt(2)

Je cherche à écrire H dans la base { |+>z , |->z }

Jusque là ça va je pense

H = - h*omega /sqrt(2) *


avec omega = - gamma*B0

Le problème est que je n'arrive pas à trouver les valeurs propres.
Ca me parait pas compliqué mais je bloque.

Merci
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[invitee4ddff98]

J'ai fais un erreur en plus, il faut ajouter un facteur 1/2. Mais cela ne change pas mon problème. La seule valeur propre que je trouve est égale à zero.

[invite616e6f6a]

salut,

le calcul des valeurs propres se fait de la façon suivante:

calcul du polynome caractéristique: déterminant de la matrice :



Tu dois trouver, si je ne me gourre pas:

[invitee4ddff98]

Merci beaucoup, j'ai fais une erreur de signe toute bête.

Et en ce qui concerne les valeurs propres je m'embrouille également. Je n'arrive pas à trouver une bonne méthode.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite616e6f6a]

Comme je l'ai dis plus haut, la méthode est simple. Mais les calculs sont parfois compliqués ^^

Tu commences par faire sur la diagonale. Ensuite, tu calcules le déterminant de cette nouvelle matrice.
Enfin, tu résous l'équation : .
Les valeurs propres sont les solutions

[Seirios]

Bonjour,

Comment trouve-t-on cette expression pour l'hamiltonien ?

[invitedbd9bdc3]

comme souvent en MQ, on prend l'expression de l'energie classique et on en fait un opérateur.
Ici, on va avoir H=-m.B (scalaire), dans une approximation semi-classique, avec m le dipole magnetique (relié au spin par un facteur de proportionalité qui donne omega) et B le champ externe.
Il suffit ensuite de connaitre les matrices de spin et c'est finit

[invitee4ddff98]

Ok pour les valeurs propres pas de problème

On a le polynome

-(1-)(1+) - 1 = 0
-(1² -²) -1 = 0
²= 2

On en déduit = + ou -

Donc les valeurs propres de H (les valeurs que l'on peut trouver si on mesure H) sont +*h/2 et -*h/2


Passons maintenant aux vecteurs propres.

On pose |H +> le vecteur propre associé à la valeur propre +omega*h/2

|H +> = x | +>z + y |->z
H | H + > = (+*h/2) | H +>

On a le système suivant



et <+ H | H +> = |x|²+|y|² = 1

Maintenant il faut résoudre tout ça mais je trouve un résultat assez compliqué. Sans doute une erreur de calcul. Suis-je sur la bonne voie?