résolution d'equa diff

[valérie75006]

Bonjour

J'essaie de refaire un exam mais je bug sur une question de résolution d'equa diff

Lors d’une séance d’entrainement, un skieur emprunte le petit tremplin `a ski d´ecrit sur la figure
ci-dessus. Celui-ci est constitué de trois zones :
– une zone lin´eaire de longueur AB faisant un angle θ1 par rapport `a l’horizontale.
– une zone de raccordement en B
– une seconde zone linéaire de longueur BC faisant un angle θ2 par rapport `a l’horizontale.
Le skieur s’élance du point A avec une vitesse nulle, on supposera que le frottement des skis sur la
piste du tremplin est négligeable et que le skieur est considéré comme un objet ponctuel de masse m.
On s’intéresse dans ce problème uniquement à la phase d’élan.



1.2 Avec forces de frottement
Dans une compétition, les forces de frottement ne peuvent plus être négligées, on considère alors
que le skieur subit une force de frottement due `a l’air ~F = −αV qui est proportionnelle `a la vitesse
du skieur.
1. Représenter sur un schéma les forces qui s’exercent sur le skieur pendant sa descente.
2. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, déterminer l’équation différentielle qui
régit la vitesse du skieur sur une pente d’angle θ par rapport `a l’horizontale.
3. La solution de l’équation différentielle peut se mettre sous la forme :
v(t) = Ke−(at/m) + vp
où K est une constante et vp une solution particulière de l’équation différentielle précédente.
En utilisant les conditions initiales, exprimer K et vp en fonction de m, g, θ et α
4. L’expression de la vitesse en fonction du temps peut se mettre sous la forme :
v(t) = f(m, g, α)(1 − e−at/m) sin θ
o`u f(m, g, α) est une fonction de m, g et α.
En utilisant l’analyse dimensionnelle, retrouver l’expression de la vitesse déterminée dans la
question précédente.
5. Etudier et représenter la fonction v(t) ; commenter la vitesse du skieur.


voila je bug carrément sur la question 3 et impossible d'avance donc svp help me

merci
-----

[invite7bd3b9d6]

Bonjour

J'essaie de refaire un exam mais je bug sur une question de résolution d'equa diff

Lors d’une séance d’entrainement, un skieur emprunte le petit tremplin `a ski d´ecrit sur la figure
ci-dessus. Celui-ci est constitué de trois zones :
– une zone lin´eaire de longueur AB faisant un angle θ1 par rapport `a l’horizontale.
– une zone de raccordement en B
– une seconde zone linéaire de longueur BC faisant un angle θ2 par rapport `a l’horizontale.
Le skieur s’élance du point A avec une vitesse nulle, on supposera que le frottement des skis sur la
piste du tremplin est négligeable et que le skieur est considéré comme un objet ponctuel de masse m.
On s’intéresse dans ce problème uniquement à la phase d’élan.



1.2 Avec forces de frottement
Dans une compétition, les forces de frottement ne peuvent plus être négligées, on considère alors
que le skieur subit une force de frottement due `a l’air ~F = −αV qui est proportionnelle `a la vitesse
du skieur.
1. Représenter sur un schéma les forces qui s’exercent sur le skieur pendant sa descente.
2. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, déterminer l’équation différentielle qui
régit la vitesse du skieur sur une pente d’angle θ par rapport `a l’horizontale.
3. La solution de l’équation différentielle peut se mettre sous la forme :
v(t) = Ke−(at/m) + vp
où K est une constante et vp une solution particulière de l’équation différentielle précédente.
En utilisant les conditions initiales, exprimer K et vp en fonction de m, g, θ et α
4. L’expression de la vitesse en fonction du temps peut se mettre sous la forme :
v(t) = f(m, g, α)(1 − e−at/m) sin θ
o`u f(m, g, α) est une fonction de m, g et α.
En utilisant l’analyse dimensionnelle, retrouver l’expression de la vitesse déterminée dans la
question précédente.
5. Etudier et représenter la fonction v(t) ; commenter la vitesse du skieur.


voila je bug carrément sur la question 3 et impossible d'avance donc svp help me

merci

1. je n'arrive pas a ouvrir ton fichier
2. on place un repère R1 lié à la pente d'angle θ
alors on peut décomposer les trois forces: P, R et F
P: poids
P=mg.sinθ ex + mg.cosθ.ey
F: force de frottement
F=-a.dx/dt ex
R=-R ey
donc
sur l'axe ex
mg.sinθ - a.dx/dt =m.d²x/dt²

on remplace dx/dt par v, on a alors une équation différentielle du premier ordre
mg.sinθ - a.v =m.dv/dt

qui se résout avec
v(t) = K. exp(-at/m) + vp
avec vp=mg.sinθ/a
et K=Vo-mg.sinθ/a (ou Vo est la vitesse initiale)

[valérie75006]

Merci Alexandre surtout pour le raisonnement!

[mc222]

Salut, comme je suis convaincu qu'un bon schéma permet dans de nombreux cas de se faire bien mieux comprendre qu'un long texte, je t'ais fait ca:

le point A désigne le point d'application de toute les forces.



[IMG][/IMG]


Le poids et la réaction du sol sont constants, on peut considérer qu'il vont à eux deux engendrer une force dans la direction du déplacement:

Cette force vaut, d'après mon schéma :
projeté dans la direction du déplacement, et dans le sens : de gauche à droite.

La résultante vaut:



hors d'après le principe fondamentale de la dynamique,



D'ou:



Pour résoudre ca, c'est pas dur tout, il suffit dans un premier temps de négliger le therme g.sin(theta), et de résoudre ca par séparation des variables, c'est la solution générale.
Ensuite, tu néglige le therme dv/dt, tu isole v, et tu ajoute cette solution particulière (car s'en est une) à la solution générale.

le fait de négliger dv/dt, revient à se placer dans le cas ou il n'y a plus d'accélération, c'est dire que ta solution générale est la vitesse limite accéssible par le skieur.
La vitesse tend donc asymptotiquement vers cette valeur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[valérie75006]

ohhhhh mc222 merci bcp tu déchire hihihihi