Dimensionnement plaque circulaire (calcul analytique)

[invite1ec9dfba]

Bonjour à tous !

Mon but est de calculer l'épaisseur d'une plaque circulaire encastrée tout autour. Celle-ci est soumise au poids de 4 masses réparties autour du centre qui s'appliquent sur des portions circulaires. Je connais le matériaux, donc le module d'Young, le coefficient de Poisson, et il y a une déflexion maximale.

J'essaie dans un premier temps de calculer l'épaisseur en considérant uniquement une masse. J'ai utilisé des formules du livre "Roark's Formulas for Stress and Strain". Ma formule pour la déflexion maximale est du type :
y = W/(16 * PI * D) * (a²-p²)²/a²
W est la force appliquée, a la rayon de la plaque, p la distance entre le centre de la plaque et la force applquée.
D = E * t^3 / (12 (1-nu²))

Cela me donne un résultat mais qui ne dépend pas de la surface sur laquelle s'applique ma masse.
Le problème est que j'obtiens une épaisseur 3 fois plus importante que quand je le modélise sous Catia et je ne sais pas pourquoi.

Si quelqu'un peut m'expliquer ce qui explique pourquoi, ou si vous connaissez d'autres formules analytiques, je suis preneur.

Merci d'avance !
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[chaverondier]

Bonjour à tous !
Mon but est de calculer l'épaisseur d'une plaque circulaire de rayon a encastrée sur son pourtour. Celle-ci est soumise au poids de 4 masses identiques, également réparties autour du centre et s'appliquant sur des portions circulaires. Je connais le matériau, donc le module d'Young E, le coefficient de Poisson nu et la plaque subit une déflexion maximale y en son centre.

J'essaie, dans un premier temps, de calculer l'épaisseur t en considérant uniquement une charge totale W répartie sur un cercle de rayon p. J'ai utilisé des formules du livre "Roark's Formulas for Stress and Strain". Ma formule pour la déflexion maximale y est la suivante :
y = W * [(a²-p²)²/a²] / (16 * PI * D)

• W est donc la force totale appliquée,
• a le rayon de la plaque,
• p le rayon du cercle sur lequel se distribue uniformément la force W appliquée.
• D = E * t^3 / (12 (1-nu²))

Cela me donne un résultat mais il ne dépend pas de la surface sur laquelle (en réalité) s'applique ma charge.
Le problème est que, pour respecter une flèche admissible donnée, j'obtiens une épaisseur 3 fois plus importante que quand je réalise le modèle sous Catia et je ne sais pas pourquoi.

Si quelqu'un peut m'expliquer pourquoi, ou si vous connaissez d'autres formules analytiques, je suis preneur.

Merci d'avance !

1/ Le Roark est un très bon formulaire (je n'ai pas souvenir d'y avoir trouvé de coquille)

2/ La formule donnée dans lien ci-dessous :
http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/doc/exemef.pdf
RDM Eléments finis, Manuel d'exercices, Yves Debard
Institut Universitaire de Technologie du Mans
Département Génie Mécanique et Productique
http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html
26 juin 2006 - 16 décembre 2009
confirme celle signalée dans votre post dans le cas particulier p = a

3/ Cela dit, je dois avouer que cette formule me surprend. En effet, par analogie avec, par exemple, une plaque carrée de largeur 2a encastrée sur ses quatre bords et chargée poctuellement en son centre par une force W, je me serais plutôt attendu à trouver une flèche deux fois plus faible (c'est à dire à avoir 32 au lieu de 16 dans le dénominateur de la formule donnant y)

La formule exacte donnée dans le cas d'une plaque carrée encastrée sur ses 4 bords et ponctuellement chargée en son centre donne, très logiquement quant à elle, une valeur assez voisine de celle pifométrée en disant qu'on devrait trouver environ deux fois moins de flèche que quand cette même plaque est encastrée sur 2 bords seulement (et qu'on la considère alors comme une poutre encastrée en remontant, pour pinaliier un chouilla, le module élastique de E à E/(1- nu^2) afin tenir compte du bridage de la déformation transversale par effet plaque)

Ca vaudrait peut-être le coup de prendre le temps de faire un calcul analytique en introduisant un champ de déplacements verticaux axisymétriques inconnus et en résolvant l'équation différentielle associée à la flexion de la plaque (ou trouver encore une autre référence ?) pour vérifier que cette formule est correcte.

Pour l'instant je garde un doute (d'un facteur 2) mais bon, je n'ai pas creusé et j'ai peut-être (probablement ?) fait une blague dans mon rapide calcul de recoupement.

5/ un écart d'un facteur 3 sur l'épaisseur, cela correspond à une erreur d'un facteur 27 sur la flèche, c'est considérable !

Attention, donc, aux unités (dans le modèle EF et dans l'application de la formule du ROARK)
en particulier si W est donné en N, prendre E en MPa, soit
E = 200 000 MPa

Attention aussi, dans l'application de la formule que vous avez signalée, de ne pas oublier le pi qui se trouve au dénominateur.

6/ Enfin, attention au fait que le cas d'une plaque encastrée sur son pourtour est un modèle en général très faux et pas conservatif. Il est en effet rare que la souplesse de la plaque soit grande devant celle de la structure sur laquelle on vient la souder sur son pourtour alors que cette condition est nécessaire si l'on veut que l'hypothèse d'encastrement soit à peu près acceptable (si la plaque est boulonnée sur son pourtour, il faut, très souvent, adopter l'hypothèse d'un appui simple pour la plaque tout en adoptant, parfois, au contraire, celle d'un encastrement pour calculer la boulonnerie)

[invite1ec9dfba]

Je vous remercie d'abord pour votre réponse.

Je ne pense pas avoir fait d'erreurs d'unités ou d'inattention (j'ai fait de nombreux essais en vérifiant formules et unités à chaque fois).

Je vais regarder les autres formules pour différentes liaisons si ce n'est pas un véritable encastrement. Mais cela ne change pas le fait que je n'ai pas les mêmes résultats sous Catia et avec le formule, vu que les deux modélisations considèrent l'encastrement parfait. Je pense que mon problème est dû au fait que la surfae sur laquelle j'applique ma charge n'est pas ponctuelle (a/5) et qu'elle est supposée petite pour appliquer la formule du Roark.

Je vais essayer de faire ce que vous m'avez conseillé : "faire un calcul analytique en introduisant un champ de déplacements verticaux axisymétriques inconnus et en résolvant l'équation différentielle associée à la flexion de la plaque "

[Jaunin]

Bonjour, Matersss,
Encore bienvenu sur le forum de Futura-Sciences.
Pourriez-vous me donner les dimensions de votre ensemble, le poids des charges , leur diamètre, la position sur le disque, le type d'encastrement, comme la fait remarqué Chaverondier, que je salut.
Cordialement.
Jaunin__

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jaunin]

Re-Bonjour,
Avez-vous essayé une charge annulaire ?
Il y a aussi le livre de William Griffel Plate formulas.
Cordialement.
Jaunin__

[invite1ec9dfba]

Bonjour Jaunin. Merci de votre accueil.
Voila les paramètres de mon problème :
a = 1500 mm (rayon disque)
p = 800 mm (distance centre plaque - centre charge)
r0= 600 mm (rayon de la surface de la charge)

Les 4 masses sont d'environ 2,6 t.

La plaque est soudée sur les bords.
E = 69000 MPa
nu = 0,33

[Jaunin]

Bonjour, Matersss,
Encore une question,, vous écrivez :"Les 4 masses sont d'environ 2,6 t"
C'est la somme des 4 masses, ou il y a 4 masses de 2.6 [t] pièce.
Cordialement.
Jaunin__

[Jaunin]

Re-Bonjour, Matersss,
Encore une question,qu'est-ce qui vous intéresse, l'épaisseur de la plaque, la flèche ou la contrainte.
je pense que l'épaisseur de la plaque doit être connue, fournisseur de la matière standard.
Comme on connaît les autres caractéristique de la matière, sa contrainte d'utilisation doit aussi être connue.
Cordialement.
Jaunin__

[invite1ec9dfba]

Bonjour Jaunin,

Mon but est de calculer l'épaisseur de la plaque. Pour cela, je dois calculer la déflexion (elle doit être inférieure à 12 N * 10^-8 N/m).
Je néglige pour l'instant la masse propre de la plaque (même si elle ne sera pas négligeable).

Il s'agit de 4 masses, chacune pesant 13 t (en fait, chacune a une masse de 2,6 t mais je travaille sous 5g, j'avais oublié de le préciser).

Cordialement,

Matersss

[Jaunin]

Bonjour, Matersss,
Je ne comprends pas cette expression: "la déflexion (elle doit être inférieure à 12 N * 10^-8 N/m)."
Ou, quelque chose m'échappe ?.( N*N/m =>N^2/m )
Cordialement.
Jaunin__

[invite1ec9dfba]

J'ai tapé trop rapidement mon message :
Je reprend, la déflexion doit être inférieure à 15 *10^-8 N/m.
Cela signifie que si j'applique une force de 1N, la déflexion maximale doit être inférieure à 15*10^-8 m. J'ai donc multiplié cett valeur par ma charge pour avoir la déflexion autorisée.

[Jaunin]

Re-Bonjour, Matersss,
Encore une petite chose, vos masses se superposent, il faut modifier un diamètre soit les masses ou le diamètre de leur position,mais on risque de sortir de la surface du disque.
Soit un diamètre de posage des masses de 1725 [mm] pour des masses de 1200 [mm] de diamètre.
Cordialement.
Jaunin__

[invite1ec9dfba]

Effectivement, j'ai voulu donner des arrondis, mais du coup, les masses se superposent.
a = 1540 mm
p = 840 mm
r0 = 565 mm

[Jaunin]

Bonjour,
Pour votre flèche de 15*10^-8 m/N, vous avez une charge totale de 520 000 [N] soit une flèche de 78 [mm] admise ?.
J'ai admis une épaisseur de la plaque de 25 [mm], sous vos 4 charges totales de 52 [T].
Par simulation, j'obtiens une flèche de 28.5 [mm] et une contrainte de 247 [N/mm^2] à l'encastrement.
Analytiquement, j'ai une flèche de 22.2 [mm] et une contrainte de 270 [N/mm^2].
Comment est encastré exactement votre disque.
Pour les 5 g, c'est en accélération ou en décélération, les 4 masses restent toujours sur la plaque ?.
Cordialement.
Jaunin__