Bonjour,
Je cherche à trouver l’équation des géodésiques pour une variété munie de l’élément de longueur :
Pour cela, j’ai écrit l’équation sous la formeoù
.
Par exemple, pour la coordonnée 1, j’obtiens par l’équation précédente.
Ensuite, je calculeen fonction des coordonnées spatio-temporelles par
puis en dérivant pour trouver comme équation des géodésiques :
mais apparemment ce n'est pas le bon résultat.
Je vous remercie d'avance de votre aide.
Bonsoir,
ta relation donnanten fonction de
est fausse : d'abord il manque un signe =, et ensuite il n'y a pas de facteur 2 devant
; en effet
et non
.
En passant, tu as aussi oublié un facteur 1/2 devant la dérivée (partielle) de la métrique dans l'équation générale des géodésiques. Néanmoins la formule que tu en tires est juste.
J'ai écrit les 4 équations des géodésiques (par une autre méthode que la tienne) : on obtient des équations couplées qu'il est très facile de séparer.
bon courage !
Merci de ton aide. C'est bon, j'ai trouvé le bon résultat. J'avais fait plusieurs erreurs en fait...
J'ai quand même une question : dans quel cas est-il plus pratique de calculer les symboles de Christoffel plutôt que d'utiliser cette méthode ?
le calcul des Christoffel est à mon avis toujours la plus longue méthode. La méthode que j'ai utilisée est variationnelle (recherche de l'extrémum de ds2 en faisant varier les coordonnées l'une après l'autre) mais elle n'est pas plus rapide que la tienne ici.
La méthode la plus rapide est de toute façon maple !
A propos, quel type d'espace-temps ta métrique décrit-elle ? Où l'as-tu trouvée ?
En fait, je suis parti de la métrique de Minkowski associée à des coordonnées cartésiennes usuelles(donc
) et j'ai considéré que le repère était en rotation à la vitesse angulaire
par rapport à un autre repère de coordonnées
.
Les relations entre les deux coordonnées sont donc,
,
et
.
Je sais pas si ça répond à ta question...
