Calcul de géodésique

[invitefa8436e7]

Bonjour,

Je cherche à trouver l’équation des géodésiques pour une variété munie de l’élément de longueur :

Pour cela, j’ai écrit l’équation sous la forme où .

Par exemple, pour la coordonnée 1, j’obtiens par l’équation précédente .

Ensuite, je calcule en fonction des coordonnées spatio-temporelles par puis en dérivant pour trouver comme équation des géodésiques : mais apparemment ce n'est pas le bon résultat.

Je vous remercie d'avance de votre aide.
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[invite8d75205f]

Bonsoir,

ta relation donnant en fonction de est fausse : d'abord il manque un signe =, et ensuite il n'y a pas de facteur 2 devant ; en effet et non .

En passant, tu as aussi oublié un facteur 1/2 devant la dérivée (partielle) de la métrique dans l'équation générale des géodésiques. Néanmoins la formule que tu en tires est juste.

J'ai écrit les 4 équations des géodésiques (par une autre méthode que la tienne) : on obtient des équations couplées qu'il est très facile de séparer.

bon courage !

[invitefa8436e7]

Merci de ton aide. C'est bon, j'ai trouvé le bon résultat. J'avais fait plusieurs erreurs en fait...

J'ai quand même une question : dans quel cas est-il plus pratique de calculer les symboles de Christoffel plutôt que d'utiliser cette méthode ?

[invite8d75205f]

le calcul des Christoffel est à mon avis toujours la plus longue méthode. La méthode que j'ai utilisée est variationnelle (recherche de l'extrémum de ds² en faisant varier les coordonnées l'une après l'autre) mais elle n'est pas plus rapide que la tienne ici.

La méthode la plus rapide est de toute façon maple !

A propos, quel type d'espace-temps ta métrique décrit-elle ? Où l'as-tu trouvée ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefa8436e7]

En fait, je suis parti de la métrique de Minkowski associée à des coordonnées cartésiennes usuelles (donc ) et j'ai considéré que le repère était en rotation à la vitesse angulaire par rapport à un autre repère de coordonnées .

Les relations entre les deux coordonnées sont donc , , et .

Je sais pas si ça répond à ta question...