RDM - flexion deviee d'une corniere

[invite0c02550f]

Bonjour,

Mon problème est relativement simple. Il est relatif au calcul de la contrainte maximale dans une cornière soumise à une flexion déviée.

Je vous soumet tout d'abord la situation.

Il s'agit d'une poutre en appui simple aux deux extrémités, soumise à un effort ponctuel appliqué au milieu de la poutre. La poutre est a l'horizontal et l'effort appliqué fait un angle de 45 degré par rapport à la verticale, dans un plan vertical perpendiculaire à la poutre. La poutre est une cornière à ailes égales, L150x14, en acier avec une contrainte élastique de 355 N/mm2. L'effort appliqué est de 131 kN. La longueur de la poutre est de 900 mm.

Je souhaite vérifié si la section de la cornière est suffisante pour supporter l'effort appliqué, compte tenu d'un coefficient de sécurité de 1,1.

Pour cela, je décompose l'effort selon les axes verticaux et horizontaux (92.6 kN pour chaque axe), afin de calculer les moments fléchissants créés autour des axes principaux xx et yy de la cornière. Compte tenu des caractéristiques de la section de la poutre (module de section 78.2 cm3 selon chaque axe principal), j'en déduis que la contrainte de flexion maximale dans la section est de 266,5 N/mm2 selon chaque axe, et donc par superposition, j'obtiens une contrainte maximale de 533 N/mm2, soit un taux d'utilisation de la section de 165% compte tenu du coefficient de sécurité de 1,1.


Maintenant, plutôt que de décomposer l'effort selon l'axe horizontal et vertical, je calcule directement le moment de flexion créé par l'effort oblique de 131 kN autour du second axe principal zz (29,4 kN.m) puis en déduis directement la contrainte maximale de flexion dans la section compte tenu du module section autour de cet axe zz (126,6 cm3). J'obtiens ainsi une contrainte maximale de 232,8 N/mm2, soit environ 2,3 fois moins que la contrainte calculée de la première facon. D'oú ma surprise. Je m'attendais en effet à obtenir un résultat identique dans les deux cas.

Quelqu'un peut-il donc m'éclairer ? Je ne comprends pas pourquoi j'obtiens un résultat différent avec le principe de superposition.

Merci d'avance.
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[Jaunin]

Bonjour, CKoiDonc?
Bienvenu sur le forum de Futura-Sciences.
Pourriez-vous nous faire un croquis de l'application de la charge.
Ci-joint un lien en espérant qu'il puisse vous aider.
Cordialement.
Jaunin__
http://membres.multimania.fr/nimbles...NN/Article.htm
http://forums.futura-sciences.com/te...s-jointes.html

[sitalgo]

B'jour,

Pour cela, je décompose l'effort selon les axes verticaux et horizontaux (92.6 kN pour chaque axe), afin de calculer les moments fléchissants créés autour des axes principaux xx et yy de la cornière.

Ok.

Compte tenu des caractéristiques de la section de la poutre (module de section 78.2 cm3 selon chaque axe principal), j'en déduis que la contrainte de flexion maximale dans la section est de 266,5 N/mm2 selon chaque axe, et donc par superposition, j'obtiens une contrainte maximale de 533 N/mm2,

Pas bon. Le profil n'est pas symétrique, la fibre neutre n'est pas au milieu, dans Mv/I le v n'est pas le même en traction et compression.
Donne le détail de tes calculs pour voir où ça cloche.

[invite0c02550f]

Bonjour,

Ci-joint un petit schéma.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0c02550f]

Bonjour Sitalgo,

Effectivement pour une cornière la fibre externe n'est pas située à égale distance de la fibre neutre selon que l'on considère le côté tendu ou comprimé. Cependant, pour le calcul de la contrainte maximale dans la section, ne prend-on pas en compte la fibre la plus éloignée?

Voici le détail des calculs:

Force appliquée: F=131 kN à 45 degré par rapport aux axes principaux (voir schéma dans précédent message)

Décomposition de F selon les 2 axes principaux xx et yy:
Fx = Fy = F.cos45 = 92,63 kN

Calcul des moments de flexion autour des axes principaux xx et yy:
Mx = Fx.l/4 = 92.63x0,9/4 = 20,842 kN.m
My = Fy.l/4 = 20,842 kN.m

Modules de section selon les axes principaux xx et yy pour une cornière à ailes égales L150x14:
Wx = Wy = 78.33 cm3

On peut retrouver ces modules à partir des moments d'inertie principaux Ix et Iy et la distance à la fibre extrème:
Ix = Iy = 845,4 cm4
vx = vy = 150-42,1 = 107,9 mm
D'où Wx = Ix/vx = 845,4*10000/107,9 = 78,35 cm3
Idem avec Wy

Enfin, calcul de la contrainte maximale dans la fibre extème:
sx = Mx/Wx = 20,842x1000x1000/(78,33*1000) = 266 N/mm2
sy = My/Wy = 266 N/mm2

Et donc par superposition: smax = sx+sy = 532 N/mm2


Maintenant, si je calcule la contrainte maximale sans décomposer l'effort selon les axes principaux xx et yy mais directement autour de l'axe zz:

Mz = F.l/4 = 131x0,9/4 = 29,475 kN.m

Moment d'inertie selon zz pour une cornière L150x14: Iz = 1343 cm4
Distance de la fibre extrème vz = 10,61 cm
Module de section selon zz: Wz = Iz/vz = 1343/10,61 = 126,6 cm3
Contrainte maximale dans la section: sz = Mz/Wz = 29,475*1000*1000/(126,6*1000) = 233 N/mm2

Dans la même fibre extrème, j'obtiens donc une contrainte 2,28 fois (532/233) inférieure à celle calculée avec le principe de superposition. ce que j'ai du mal à comprendre. Quelle est l'erreur dans ma démarche?

[invite0c02550f]

Le profil n'est pas symétrique, la fibre neutre n'est pas au milieu, dans Mv/I le v n'est pas le même en traction et compression.

J'ai réfléchi de nouveau à ta remarque sitalgo. Lorsque j'applique le principe de superposition, je fais l'erreur de cumuler les deux zones de contraintes maximales, alors que, puisque le profilé n'est pas symétrique, ces deux zones ne se superpose pas. La zone de contrainte maximale en compression selon un des axes (en bleu sur le schéma joint, pour la flexion autour de xx) ne correspond pas à la zone de contrainte maximale selon l'autre axe, qui pour le coup correspond à de la tension (en rouge pour la flexion selon l'axe yy).

Ceci dit, si j'applique correctement le principe de superpsosition cette fois, au jugé, je vais obtenir une contrainte maximale qui va se situer autour de 300 N/mm2, ce qui est toujours nettement supérieur à la contrainte de 233 N/mm2 obtenue par calcul direct autour de zz.

[sitalgo]

Lorsque j'applique le principe de superposition, je fais l'erreur de cumuler les deux zones de contraintes maximales, alors que, puisque le profilé n'est pas symétrique, ces deux zones ne se superpose pas.

Je m'en doutais.

Ceci dit, si j'applique correctement le principe de superpsosition cette fois, au jugé, je vais obtenir une contrainte maximale qui va se situer autour de 300 N/mm2, ce qui est toujours nettement supérieur à la contrainte de 233 N/mm2 obtenue par calcul direct autour de zz.

J'ai refait les calculs et je trouve pareil. J'avoue que je ne m'y attendais pas.
Ca marche pour une poutre circulaire qui a l'avantage de présenter la même inertie sous tous les angles. Mais là il se trouve que l'inertie augmente plus que le moment.
Il y aurait donc une limite à l'indépendance de l'effet des forces.

[Jaunin]

Bonjour,
Je vous joins une représentation imagée des contraintes sur la cornière, si ça peut vous aider.
Cordialement.
Jaunin__

[Jaunin]

Re-Bonjour,
Cette fois, avec les rayons de la cornière.
Cordialement.
Jaunin__

[invite0c02550f]

Bonjour Jaunin,

Merci pour ces visualisations.
L'inconvénient de cette modélisation, de mon point de vue, est qu'elle représente des effets locaux (concentration de contraintes au niveau des singularités telles que la jonction entre les deux ailes par exemple). D'autre part, d'après l'interprétation que je fais de vos visualisations, l'effort est appliqué directement sur la semelle inférieure (l'aile située à horizontal). Cette semelle a ainsi tendance à subir une déformation plus importante que le profilé dans son ensemble. Dans la réalité, l'effort n'est pas directement appliqué sur cette aile, et par souci de simplification, le report de l'effort se fait sur l'axe neutre de la cornière (point de rencontre des axes x,y et z sur les précédents schémas). De plus, la cornière est renforcée par des goussets soudés à l'intérieur de la celle-là, entre les deux ailes, ce qui rigidifie la section et permet de considéré l'indéformabilité de la section droite.
Cependant, vos visualisations donnent une bonne idée de la contrainte globale sur la cornière, qui semble donc se situer aux alentours de 300 MPa (zones bleues foncées entre 217 et 431 MPa sur vos images).

[Jaunin]

Bonjour, CKoiDonc?
J'ai essayé de simuler votre représentation sur votre croquis, c'est sûr que j'ai une concentration de contrainte à l'application de la force, j'étais obligé quelle touche la cornière.
Maintenant si vous avez un dessin avec les conditions exactes, je vous referais la simulation.
Cordialement.
Jaunin__

[sitalgo]

Après réflexion, il est normal que le résultat diffère. Pour que le résultat soit le même il faut que le I/v soit le même dans toutes les sens, ou au moins dans les sens concernés.
Vu que les composantes ne concernent pas le même I/v que la résultante, le calcul doit se faire avec la résultante. Ou encore avec les composantes mais avec le I/v de la résultante.

[invite0c02550f]

Tres bien. Je vais "mediter" encore un peu sur cela.
Merci a tous pour votre aide.

[ffcc]

Le calcul que vous faites est valable seulement pour des axes principaux. Pour des axes non-principaux vous devez faire le calcul général en tenant en compte le produit d'inertie Ixy qui n'est pas nul. Pour toute section, les axes de simétrie, normalement nommés 'u' et 'v' pour les angulaires, sont principaux et donc Iuv=0. Mais pour d'autres axes ceci n'est plus valable.

La formule générale de contraintes normales en flexion est la suivante:

sigma = Mx.(Iy.y-Ixy.x)/(Ix.Iy-Ixy^2)+My.(-Ix.x+Ixy.y)/(Ix.Iy-Ixy^2)

Pour nos axes 'x' y 'y' non-principaux vous avez un Ixy=Iu+Iv/2 = 4,97E6 mm^4 (Iu, Iv == inerties en axes principaux)

Le Wel sera donc égal à:

Wel = (Ix.Iy-Ixy^2)/(Iy.y-Ixy.x) = (Ix^2-Ixy^2)/((Iy-Ixy).x)
Pour une fibre à x=42 mm -> Wel_inf = 319580 mm^3
Pour une fibre à x=108 mm -> Wel_sup = 124281 mm^3

Nous avons donc pour Mx=My=20,84 m.kN:

sigma_Mx = Mx/Wel_inf = 65 MPa
sigma_My = My/Wel_sup = 168 MPa

sigma = sigma_Mx+sigma_My = 233 MPa

Même résultat que si on utilise M et Iu/Iv (axes principaux).

D'autre part, tenez en compte que dans une cornière le centre d'effort tranchants (cet) ne coincide pas avec le centre de gravité, et donc pour ne pas avoir des moments torseurs la force doit être aplliquée sur cet et non pas le cdg. Le cet pour un cornière est placé sur l'intersection des deux plaques qui la forment.

Salut.

[Jaunin]

Bonjour, Ffcc,
Bienvenu sur le forum de Futura-Sciences.
Très bonne explication mais je ne sais pas si CKoiDonc? sera intéressé car le sujet remonte à 2010.
Cordialement.
Jaunin__

[ffcc]

Désolé pour le nécrobump. Même s'il s'agit d'un thread de 2010 je pensais que ça valait la peine de donner l'explication.