Système invariant et fonction de transfert

[invite00c17237]

Bonjour,

En automatique, il est souvent mentionné que l'on traite des SLCI systèmes linéaires continus invariants.

Aussi, j'aimerais mieux comprendre et analyser des systèmes que je trouve en automatique par rapport à cette propriété.

Voilà la définition de l'invariance d'un système que j'ai trouvé dans Wikipedia:

Si le signal d'entrée <math>x(t)\ </math> produit une sortie <math>y(t)\,</math>, alors quelque que soit l'entrée décalée temporellement <math>x(t + \delta)\ </math>, la sortie est elle aussi décalée <math>y(t + \delta)\ </math>.

Cette propriété peut être satisfaite (mais pas nécessairement) si la [[fonction de transfert]] du système n'est pas une fonction du temps, si ce n'est dans l'expression de l'entrée et de la sortie.

Question : comment est-ce que l'on peut dire au vue de la fonction de transfert d'un système que l'on a un système "invariant" ou pas ? Est-ce qu'une fonction de transfert sous la forme rationelle est un système "invariant" ? A mon avis, OUI et mais je n'ai pas encore la démo.
Je pense que les fonctions de tranferts non invariantes sont des fonctions qui contiennent un terme de retard du style exp -t tau

Je vous remercie d'avance pour votre aide.
-----

[GrisBleu]

Salut

- Un retard pur est un LCI: si e(t) devient s(t)=e(t-T), alors e(t-Delta) deviendra s(t-T-Delta). C'est clairement invariant
- Ensuite, je pense que si ce n'est pas un LCI, on ne doit pas pouvoir lui associer une fonction de transfert du type s=h*e, et donc, par FT tu n'as pas S = H E. Donc, si tu as une fonction H, tu est forcement devant un LCI. Apres, pour la transformee en Z, la causalite depend de la ou tu te trouves par rapport a disque de convergence.

Finalement, un exemple de truc non invariant pourrait etre des choses de type "kernel" (apparemment, c'est la forme generale d'un systeme lineaire, cf wiki: http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_system)

Si k(t,T) n'est pas particulier, ca n'est pas invariant

Cdlt

[GrisBleu]

Apres un peu de travail, voila pour conclure

Je suppose que tes signaux d'entree appartiennent a un espace muni d'une base discrete (repectivement continue ). Une fonction f se decompose alors ainsi
respec. - j'oublie la rigueur a ce niveau)

Ton operateur lineaire H, applique a un signal d'entree donne
, en redecomposant H(en) sur la base des em, on a , et donc
Avec une "base continue", ca donne


Prenons le cas particulier (resp. ), les coefficients de decomposition sont simples


et les formules du dessus donnent



La forme avec un kernel est donc la forme la plus general de systeme lineaire. si il est invariant.

Si, pour t'amuser, tu prend comme base les sinusoide, tu vas retomber sur les TF du kernel (une TF par variable). L'invariance te re-donnera la forme connu des TF d'un LCI.

++