Lois de Coulomb (frottement).

[fred3142]

Bonjour.

J'ai un petit problème avec les lois de Coulomb.
J'ai compris la physique du problème, mais d'un point de vue raisonnement logique il me manque quelque chose, c'est presque un problème mathématique, mais je n'ai jamais eu de réponse satisfaisante.
Je rends ce post volontairement assez mathématique pour que vous saisissiez ce qui me gène.

On considère le montage en pièce jointe : un cylindre plein roule sur un socle incliné. Toutes les notations sont définies sur le schéma.
Il s'agit de l'étude du mouvement de ce cylindre en fonction de l'angle .

Déjà, mettons nous d'accord sur les lois de Coulomb. Pour moi, elles stipulent :
Non glissement
Glissement

L'application des principes fondamentaux (TCI+TMC projettés) donne les trois relations toujours valables.




Jusqu'ici, OK.


Vient ensuite la question du glissement/non glissement.

Supposons qu'il n'y ait pas glissement.
La relation de roulement sans glissement nous permet d'obtenir l'accélération suivant X puis f et N.
Mais il n'y a pas glissement, donc , en remplaçant on obtient la condition sur l'angle : .


On a donc montré : Non glissement .

Mais on ne peut pas en déduire que si alors il y a glissement : rien n'assure la réciproque dans ma démonstration.
Je voudrais finir le raisonnement pour dire : si l'angle est plus petit qu'une certaine valeur, il n'y a pas glissement, sinon il y a glissement, mais tel quel, le raisonnement ci-dessus est incomplet.

Ce qu'il me faudrait établir pour cela est : non glissement
ou bien glissement.
Et je n'arrive pas à établir ceci.

Pouvez-vous m'aider?

Merci d'avance.
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[invite93e0873f]

Bonjour,

On a donc montré : Non glissement .

Mais on ne peut pas en déduire que si alors il y a glissement : rien n'assure la réciproque dans ma démonstration.

La pièce jointe n'étant pas encore validée, je n'ai pas suivi en détail tes étapes de calculs. Seulement, cela n'empêche pas d'aborder le problème de logique que tu abordes dans la citation ci-dessus.

Ce que tu sembles avoir démontré, c'est que le fait de rouler sans glisser est un résultat 'plus fort', plus restreint que celui d'avoir un angle inférieure à une certaine valeur critique. En effet, si une chose en implique une autre, il faut que cette chose fasse partie de l'ensemble des choses qui satisfont l'autre chose. Ainsi, dès que quelque chose ne glisse pas, la condition sur l'inclinaison que tu as trouvée doit être satisfaite. Il est dans ce cas impossible pour une situation qui ne respecte pas cette dernière condition de ne pas glisser, car si elle ne glissait pas, alors elle satisferait la condition (on aurait une contradiction).

Le fait est qu'il n'y a que deux possibilités pour chaque proposition : soit le cylindre glisse, soit il ne glisse pas et soit l'angle est inférieur à un angle critique, soit il est strictement supérieur à cet angle. Il n'y a pas de troisième possibilité. Le principe du 'tiers exclu' est satisfait et dans ce cas, on a que si A est la proposition de 'ne pas glisser' et B la proposition 'un angle inférieur à un angle critique' et que A implique B, alors non B implique non A.

Ce que tu n'as pas démontré est en fait qu'il est possible, a priori, d'avoir des situations avec glissement pour lesquelles l'angle est inférieur à l'angle critique. Néanmoins, certainement (du moins à en croire ta conclusion) que si l'angle est strictement supérieur à l'angle critique, alors il y a glissement.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Au départ arrêté, si tg(alpha) > µ_s il aura glissement. Si non le cylindre se métra à rouler.
Mais si au départ il y a glissement, le couple produit par la force de frottement créera une accélération angulaire sur le cylindre qui se mettra à tourner de plus en plus vite au même temps qu'il accélère linéairement vers le bas de la pente.

Maintenant il fat étudier l'évolution avec le temps de la vitesse linéaire et de la vitesse angulaire pour voir si la condition V = ωR peut se produire. Si c'est le cas, le glissement s'arrêtera et le cylindre continuera à rouler.
Au revoir.

[fred3142]

Merci pour vos réponses.

Déjà, deux petites erreurs dans mon premier post : c'est et dans (3) c'est R et non R².

Ce que tu sembles avoir démontré, c'est que le fait de rouler sans glisser est un résultat 'plus fort', plus restreint que celui d'avoir un angle inférieure à une certaine valeur critique. En effet, si une chose en implique une autre, il faut que cette chose fasse partie de l'ensemble des choses qui satisfont l'autre chose. Ainsi, dès que quelque chose ne glisse pas, la condition sur l'inclinaison que tu as trouvée doit être satisfaite. Il est dans ce cas impossible pour une situation qui ne respecte pas cette dernière condition de ne pas glisser, car si elle ne glissait pas, alors elle satisferait la condition (on aurait une contradiction).

Le fait est qu'il n'y a que deux possibilités pour chaque proposition : soit le cylindre glisse, soit il ne glisse pas et soit l'angle est inférieur à un angle critique, soit il est strictement supérieur à cet angle. Il n'y a pas de troisième possibilité. Le principe du 'tiers exclu' est satisfait et dans ce cas, on a que si A est la proposition de 'ne pas glisser' et B la proposition 'un angle inférieur à un angle critique' et que A implique B, alors non B implique non A.

Tout à fait d'accord.

Ce que tu n'as pas démontré est en fait qu'il est possible, a priori, d'avoir des situations avec glissement pour lesquelles l'angle est inférieur à l'angle critique.

C'est justement là tout le problème, je n'arrive pas (enfin j'ai progressé depuis hier, cf plus bas) à établir la réciproque.

Au départ arrêté, si tg(alpha) > µs il aura glissement. Si non le cylindre se métra à rouler.

N'est-ce pas plutôt ? (le cas que vous citez ne correspond-t-il pas plutôt à la limite de glissemement d'un objet immobile, qui ne roule pas?)

Maintenant il faut étudier l'évolution avec le temps de la vitesse linéaire et de la vitesse angulaire pour voir si la condition V = ωR peut se produire. Si c'est le cas, le glissement s'arrêtera et le cylindre continuera à rouler.

Merci, en effet c'est la clef du problème, je n'avais pas pensé à la condition sur la vitesse de glissement .


Bon, alors je recommence :
Pour simplifier, je suppose les conditions initiales nulles .
Ci dessus, je montre que si il y a non glissement au départ, alors il y a non glissement par la suite et .
Ensuite, je montre que si il y a glissement au départ, alors y a glissement par la suite (provient des conditions initiales nulles) et (provient de la condition sur la vitesse de glissement).
Or .
Le problème est presque résolu :
-Si , alors il y a forcément non glissement.
-Si , alors il y a forcément glissement.

Qu'en est-il si on est dans la fourchette (bon, c'est vrai qu'il faut le faire exprès )? Rien de ce qui a été fait ici ne permet de conclure.
En tout cas si on assimile les coefficients de frottement statique et cinétique, le problème est résolu.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite15928b85]

Bonjour.

Je n'ai pas la réponse à la question posée, mais je suggère la lecture de ceci : http://fr.wikibooks.org/wiki/Tribologie

Très instructif!

Cordialement.

[invite6dffde4c]

Bonjour.

...
N'est-ce pas plutôt ? (le cas que vous citez ne correspond-t-il pas plutôt à la limite de glissemement d'un objet immobile, qui ne roule pas?)

Non. La condition est bien celle que j'ai dit. Pour que sa glisse au départ, le fait que l'objet puisse se mettre à tourner ne change rien.

L'équation N° 3 du premier post correspond à une sphère pleine. Le moment d'inertie d'un cylindre est ½ mR² et non 2/5.

Au revoir.