Exercice de dynamique (dit de l'igloo)

[invite0ba502b1]

Voilà, j'ai une petite question sur un exercice classique de dynamique, voici l'énoncé :
une masse m, glisse sur un dôme sphérique de rayon R (un igloo par exemple) sans frottement et démarre du sommet avec une vitesse quasi nulle. (L'angle θ=0 au sommet)
A quel moment la masse quitte le dôme ? (on précise que la masse ne touche plus lorsque N(radial)=0)
Si on suppose qu'il y ait un frottement, quittera-t-elle la surface plus tôt ou plus tard ?
Pour la première question, pas de problème, avec les équations du mouvement, on arrive à θ=arccos(2/3). Mais pour la seconde question, je ne vois pas comment résoudre...

Merci d'avance !
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[invitee1a815bf]

exactement comme la premiére en appliquant le principe fondamentale de la dynamique, mais tu va avoir une force de plus à projeter c'est celle de frottement, qui seras toujours tangeant au dôme.

en utilisat un repere bien choisi tu devrais y arrivé

[Universus]

Considère un point P à la surface de l'igloo. Étant donné que du frottement a agit sur la masse du sommet jusqu'à ce point, sa vitesse en ce point est plus petite qu'elle ne le serait s'il n'y avait pas de frottement. Sachant que l'accélération centripète que subit la masse (du fait que sa trajectoire est circulaire) est proportionnelle au carré de la vitesse, il s'avère que l'accélération est plus petite en présence de frottement qu'en l'absence de frottement. Par la deuxième loi de Newton, cela implique que la force normale est plus grande en présence de frottement qu'en l'absence de frottement. Cela vaut pour n'importe quel point P, en particulier celui où la masse quittait auparavant la surface. Ainsi, en présence de frottement, la masse quittera la surface plus loin qu'en l'absence de frottement.

Un calcul détaillé d'où quitte la masse en présence de frottement (c'est-à-dire en fixant un coefficient de frottement cinétique entre la masse et la glace de l'igloo) serait par contre bien plus ardu, car pour déterminer la vitesse en un point précis, il faut avoir une plus importante connaissance de ce qui s'est passé précédemment que dans le cas où il n'y a pas de frottement.