Hydrostatique : tube en U, fluide uniformément accéléré

[WraxKa]

Bonjour,

J'ai un problème avec l'exercice 1.1 de ce TD : http://ead.univ-angers.fr/~chaussed/..._mecaflu_1.pdf

Si j'appelle l'axe x, l'axe dans le sens de a et l'axe y, l'axe qui va vers le haut et si je repère le haut de la partie gauche du tube par les coordonnées (x0, y0) et le haut de la partie droite du tube par les coordonnées (x,y)
l'équation de la statique projetée sur les axes x et y :
- dp/dx = rho a
et -dp/dy = rho g

Si j'intègre la première équation j'obtiens : P - P0 = rho g (y0 - y) = rho g h.
Si j'intègre la deuxième équation j'obtiens P - P0 = rho a (x0-x) = rho a ( - l )

et donc j'ai h = - ax l / g ... Je ne comprends pas pourquoi j'ai toujours ce signe - qui traîne, je n'arrive pas à trouver d'où vient mon erreur, si quelqu'un pouvait m'éclairer
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[pephy]

bonjour

si vous placez l'origine en haut à gauche çà donne bien un h négatif.
Mais l'intégration des équations me semble incorrecte:


p est fonction de x et y
si on intègre la 1ère par rapport à x:
p(x,y)=rho.a. x + f(y)
en dérivant par rapport à y:

on en déduit f(y)=-rho.g. y+C
avec C constante
d'où

expression à utiliser à la surface du liquide dans chaque branche...

[pephy]

Edit
en fait c'est

puisque c'est l'accélération d'entrainement qui intervient dans le référentiel du tube
et au final

[WraxKa]

Merci de votre réponse,

Je ne comprends toujours pas la première équation c'est plutôt -dp/dx = rho a non ? car -grad p +rho g = rho a

donc en projetant sur l'axe x, j'ai bien - dp/dx ex = rho a ex

si j'intégre [P] = - rho a [x] => P - P0 = - rho a (x-x0) = -rho a l car x-x0 = l

Pour la projection sur y, j'ai -dp/dy = rho g

et si j'intégre [P] = - rho g [y] = -rho g (y - y0) = + rho g h

J'ai placé mon origine en bas à gauche, donc j'ai y0 > y et x0 < x, ce qui cause mon problème de - je pense ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[pephy]

Je ne comprends toujours pas la première équation c'est plutôt -dp/dx = rho a non ? car -grad p +rho g = rho a

on écrit habituellement

ce qui fait la même chose!

si j'intégre [P] = - rho a [x] => P - P0 = - rho a (x-x0) = -rho a l car x-x0 = l

si vous intégrez par rapport à x la "constante" d'intégration peut être une fonction de y

[pephy]

il fallait lire


avec

[pephy]

Désolé, c'est bien

avec
c'est la force d'inertie qui vaut

[WraxKa]

Ah donc ça résoud mon problème pour le signe - ! Par contre j'ai une autre question, je ne comprends pas très bien pourquoi la force d'inertie est dirigée selon -a ? Et comment sait on que c'est une force d'inertie pour ce cas là ? Je veux dire, on écrit toujours Somme des forces = ma et jamais = - ma ?

[pephy]

en référentiel non galiléen:
ma'=ma+fie+fic (vecteurs)
avec

[WraxKa]

merci !

Si vous avez un peu de temps, pouvez vous regarder la question 2 de l'exercice 2 du même pdf? Je bloque un peu, je sais qu'il faut partir de CA vect F = Intégrale de CM vect dF, mais j'arrive pas à écrire dF et CM, pour moi ce serait dF = rho g z dl dL mais je suis pas sûr de moi.

[pephy]

Il faut d'abord choisir une origine et un sens pour l'axe vertical z; le plus simple c'est origine à la surface libre du liquide et sens vers le bas; mais une origine en C pourrait aussi être intéressante

Exprimez alors p(z)

Entre z et z+dz on va découper sur la vanne une surface élémentaire
dS=l.dh dh à exprimer en fonction de dz et d'un angle;
la pression étant la même à une profondeur donnée, on considère toute la largeur l

La force pressante exercée sur cette surface élementaire sera
dF=(p(z)-Patm)dS

[WraxKa]

Ah donc il y a bien un angle, car le résultat donné dans la correction laisse penser qu'il ne faut pas utiliser d'angle.
Ok, je vais essayer de faire comme ça !

[WraxKa]

Ok pour dF, ça me donne dF = -rhogzl dz costheta
Par contre je bloque un peu pour exprimer CM, comme on à considéré toute la largeur l, j'écrirais CM = h k = z cos(theta) k où k est un vecteur unitaire, c'est correct ?

[WraxKa]

Pardon c'est en 1/cos(theta)

[WraxKa]

En écrivant F = rho g L l (h/2 + H)
dF = - rho g z l dz / cos(theta)
CM = z / cos (theta)
et cos (theta) = h/l

je retrouve pas le résultat de la correction je dois faire une erreur quelque part ...

[pephy]

Ok pour dF, ça me donne dF = -rhogzl dz costheta
Par contre je bloque un peu pour exprimer CM, comme on à considéré toute la largeur l, j'écrirais CM = h k = z cos(theta) k où k est un vecteur unitaire, c'est correct ?

pourquoi un - à dF? c'est une norme.

cos(theta)=h/CD est au dénominateur.

Pour CM plus simplement:

[WraxKa]

Oui mais dF=(p(z)-Patm)dS= (-rho g z + Patm - Patm) dS, donc on a bien un -, non ?
Ahhh ouais, z-H, ça doit marcher maintenant je pense

[pephy]

Oui mais dF=(p(z)-Patm)dS= (-rho g z + Patm - Patm) dS, donc on a bien un -, non ?

la pression augmente avec la profondeur; donc
p(z)=Patm + rho*g*z
Mais de toutes façons on exprime la norme de dF , son sens étant évident

[WraxKa]

Oui mais z est négatif

[pephy]

? Quel axe des z utilisez vous ??
Si vous l'orientez vers le haut vous allez avoir des tas de problèmes de signes!

[WraxKa]

L'axe des z vers le bas avec l'origine au niveau de la surface, donc on a bien z négatif et p(z) = Patm - rhogz non ?

[pephy]

L'axe des z vers le bas avec l'origine au niveau de la surface, donc on a bien z négatif et p(z) = Patm - rhogz non ?

ben non! vers le bas c'est le sens positif!