Modes propres

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'aimerais savoir dans quelles mesures on peut introduire la notion de mode propre ; faut-il que les équations soient linéaires ? Que les forces de rappel correspondent à des oscillateurs harmoniques ?

Merci d'avance,
Phys2
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[invite7ce6aa19]

Bonjour à tous,

J'aimerais savoir dans quelles mesures on peut introduire la notion de mode propre ; faut-il que les équations soient linéaires ? Que les forces de rappel correspondent à des oscillateurs harmoniques ?

Merci d'avance,
Phys2

Bonjour,


C'est complètement lié à la linéarité:


a 2 dimensions (tu pour généraliser à N dimensions et même au cas où la dimension est infinie).

on a comme systèmes:

dY/dt = A11. Y + A12.X

dX/dt = A22.Y + A21.X


Il existe une judicieuse combinaison linéaire entre les variables X et Y où la matrice est diagonale cad tu obtiens:
---------------------
dY'/dt = B11.Y'

dX' = B22. X'
-----------------
qui te donnent 2 modes propres.


Maintenant supposons une équation d'oscillateurs:

d2X/dt2 + w2.X = 0

C'est une équation différentielle du second ordre.

Posons Y = dX/dt

alors on obtient un système linéaire de 2 équations du premier ordre qui est:
----------------
dY/dt = -w2.X

dX/dt = Y
----------------
qui a bien la forme du problème précèdent.


Sur ce modèle il est facile de comprendre que l'on peut transformer toute équation différentielle du Nième ordre en un système du premier ordre de dimension N.


D'une manière très générale une très grande partie des formalismes mathématiques de la physique se ramène a des systèmes linéaires de grande dimension. Cette démarche est à la base d'une stratégie générale qui ramène les problèmes a du calcul matriciel.


exemple. Soit une équation linéaire aux dérivées partielles où les variables sont le temps et l'espace. Donc une équation pour A(r,t) où interviennent les dérivées spatiales et temporelles de A

Si tu effectues une transformée de Fourier tu obtiens un système linéaire de dimension infini où chaque variable est notée Ak cad indicée par k. Dans la plupart des cas les Ak ne sont pas couplées, si bien qu'il suffit de résoudre une seule équation différentielle paramétrée par k et tu trouves immédiatement les modes propres qui se présentent sous la forme d'une relation de dispersion w(k).

En bref une équation différentielle linéaire aux dérivées partielles est équivalente à un système linéaire de dimension infinie.

[invite15928b85]

Bonsoir.

Il me semble que la restriction aux systèmes linéaires est excessive. Un bête pendule présente un mode propre bien que l'équation de son mouvement soit non linéaire.

Cordialement.

[Seirios]

Il me semble que la restriction aux systèmes linéaires est excessive. Un bête pendule présente un mode propre bien que l'équation de son mouvement soit non linéaire.

Mais le mode propre d'un pendule n'existe pas dans la mesure où l'on considère l'équation linéaire (approximation harmonique) ?

[A voir en vidéo sur Futura]