Résolution de l'équation de Maxwell-Gauss

[invite8a34f184]

Bonjour tout le monde,

Cette année j'ai un cours d'électromagnétisme appliqué. On commence calmement avec l'électrostatique mais j'ai déjà un problème.
Ma question est la suivante: comment peut-on calculer le champ électrostatique dû à une sphère "pleine" chargée de charge volumique rho (donc non-conductrice!) en utilisant l'équation de Maxwell-Gauss (la divergence de E égale rho/epsilon0)? Evidemment, le problème est simple si on utilise l'équation de Gauss sous forme intégrale mais le but de l'exercice est justement de l'utiliser sous sa forme différentielle avec les conditions aux limites ad-hoc.

Merci d'avance pour votre aide
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Les équations de Maxwell sont des équations différentielles. Pour obtenir la valeur des champs il faut intégrer.
Ce que vous appelez "forme intégrale" n'est que la même équation, intégrée des deux côtés.
J'avoue que je ne comprends pas ce que vous voulez faire: intégrer sans intégrer?
Résoudre une équation différentielle c'est intégrer.
Au revoir.

[invite8a34f184]

Merci pour votre réponse.
Pour moi il y a une différence entre le théorème de Gauss et l'équation de Maxwell-Gauss (outre le fait que le premier se trouve sous forme intégrale). Dans le premier on parle du flux et dans le second de la divergence.
En tout cas, j'essaie d'intégrer mais justement, quelles conditions aux limites choisir?

[invitedc2ff5f1]

Comme le dit LPFR, la forme locale que tu cite n'est qu'une façon condensée d'écrire M-G (principalement basée sur les formules d'analyse vectorielle).
Mais pour passer à des calculs réels, avec des géométries bien définies (comme ici pour le cas de la boule chargée), tu dois repasser à la forme intégrale...

edit : La divergence est un flux (à travers la théoreme de green-ostrogradski) et le rotationnel à une circulation (à travers le théorème de Stokes).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8a34f184]

J'étais du même avis que vous avant le premier cours mais la prof nous a dit que c'était différent Pour mieux comprendre, on a fait l'exemple d'une sphère chargée conductrice (la charge se trouve uniquement en surface avec une densité surfacique sigma).

=> On travaille dans le vide en coordonnées sphériques à une certaine distance de la sphère. Par des arguments de symétrie, on voit que le champ électrique ne varie que selon la composante radiale. On a donc que la divergence en chaque point extérieur à la sphère vaut 0 (pas de charge) et que cette divergence vaut 1/r² * d(r².E)/dr (dérivée partielle de la composante radiale en coordonnées sphérique). On intègre membre à membre pour arriver à E = A/r². Il faut ensuite déterminer A grâce aux conditions aux limites.
La condition est qu'en r=a (a est le rayon de la sphère), la composante du champ électrique normale à la sphère vaut sigma (en fait il s'agit d'une application locale à un volume infinitésimal du théorème de Gauss). Finalement on obtient E(r=a) = sigma = A/a² et donc A = a².sigma. Et le tour est joué...

[invite7ce6aa19]

Merci pour votre réponse.
Pour moi il y a une différence entre le théorème de Gauss et l'équation de Maxwell-Gauss (outre le fait que le premier se trouve sous forme intégrale). Dans le premier on parle du flux et dans le second de la divergence.
En tout cas, j'essaie d'intégrer mais justement, quelles conditions aux limites choisir?

L'intégration se fait sur n'importe quel volume que tu peux choisir à volonté, donc tu intégres sur les volumes élémentaires d3r:

Div E (r) = rho (r)

Ensuite un joli théorème te dit que l'intégrale de divE(r).d3r est égal à l'intégrale de E (r) sur la surface qui limite ton volume.

A partir là tu ne plus avancer sauf si rho(r) possède des symétries.


Si ce n'est pas le cas il faut partir de l'expression de base qui donne le champ électrique en un point r' sachant que tu met une charge q au point r (la fameuse loi de coulomb).

[invite8a34f184]

Merci pour vos réponses. Mais elle vont toute dans la même direction, vous me dites qu'il faut choisir une surface sur laquelle intégrer le flux puis faire sortir le champ E de l'intégrale etc. Ce n'est malheureusement pas cette technique-là qu'on me demande d'utiliser, même si c'est évidemment strictement équivalent.
Je vous tiendrai au courant de la solution attendue par la prof quand j'en saurai plus.
Bonne soirée!