Résolution de l'équation x^2 -2^x = 0

[hekla]

Bonjour à tous,

Je cherche à déterminer de manière formelle les solutions de l'équation x² -2^x = 0 mais je ne vois pas du tout sur quoi partir.

Pourriez vous m'expliquer la méthode permettant de résoudre cette équation?

Merci à tous,
à bientôt
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[kNz]

Salut,

On ne peut pas trouver de solution analytique précise, tu peux juste donner un encadrement en étudiant la fonction associée.

[hekla]

Merci de la rapidité de ta réponse Knz.

Pourquoi ne peut on pas résoudre une telle équation?
Qu'est ce qu'une fonction associée? Et laquelle est-ce dans ce cas précis?

Merci de ta patience

[anonymus]

Salut.
Knz veut dire par là qu'on ne peut pas exprimer une telle fonction formellement, c'est-à-dire en formule.
On ne peut qu'avoir une valeur approchée (qu'on encadre) de la solution. Et pour cela, on étudie la fonction f(x) = x^2 - 2^x, pour voir ses variations, appliquer la théorème de la bijection (ou valeur intermédiaire) ou des trucs comme ça.

[hekla]

Donc pas de résolution exacte... dommage...

Existe-t-il une méthode pour réaliser cette encadrement alors?
J'ai beau dériver cette fonction , je retombe toujours sur une fonction du même type.

Merci de votre aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[Ledescat]

2 et 4 vérifient l'équation déjà...

[jobherzt]

en meme temps, en la derivant deux fois tu peux faire disparaitre un des termes. en rmontant correctement, tu peux facilement majorer le nombre de solution.. a vue de nez il y en a 3, et tu en connais deja 2...

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[hekla]

J'ai dérivée deux fois successivement f(x)=x²-2^x et j'arrive seulement à encadrer la racine "bizarre".

Bref je reste un peu sur ma faim. Il n'existe aucune méthode ou technique pour être plus précis?

Merci encore
@+

[jobherzt]

si tu n'arrive a avoir une idee de la soultion exacte, tu peux essayer une methode pas tres orthodoxe:

- estimer la racine aussi precisement que possible (une bonne quinzaine de chiffre au moins )

- utiliser l'inverseur de plouffe (facile a trouver sur google) pour voir s'il trouve une expression exacte... si tant est qu'il en existe une

[Ledescat]

C'est énorme ce truc de plouf plouf ^^
Je ne connaissais pas !

[Groumph]

Tu as 3 zeros;
2
4
-0.76666469596212

Le dernier ne donne rien dans l'inverseur de Plouffe par contre....

[jockert]

il faut passer par l'étude des variations, mais malheureusement tu n'arrie pas à des aleurs précis tant qu'il s'agit de méthode graphique

[Jeanpaul]

Ca s'écrit bien : Ln(x)/x = Ln(2)/2, non ?
On étudie la variation de la fonction Ln(x)/x et on conclut assez vite que 2 et 4 sont les seules solutions.

[jobherzt]

en passant au Log tu zappes les solutions negatives.

[Jeanpaul]

en passant au Log tu zappes les solutions negatives.

Exact, mais on peut examiner séparément les cas x>0 et x<0

[jobherzt]

oui, mais c'etait juste pour dire que 2 et 4 ne sont pas les seules solutions.

[Jeanpaul]

oui, mais c'etait juste pour dire que 2 et 4 ne sont pas les seules solutions.

Je m'incline...

[manimal]

Bonjour à tous
On veut résoudre
Ce qui est équivalent à :

Après
Cordialement.
Manimal.

[smit]

salut a tous , je voulais savoir si vous pouvez m'aider à résoudre cette équation : (x-2)² - 3
j'ai déjà commencé mais je ne suis pas sûr de moi :/ :
je fais x² + 4x + 4 - 3
x²+4x+1=0

je factorise: x(4x+1) = 0
un produit est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul
soit x=0, soit 4x+1=0
x= -1/4
j'ai sauté pleins d'étapes mais ce qui compte surtout c'est ce sur quoi je ne suis vraiment pas sûr: la factorisation (une étape surment fausse dans mon raisonnement)
voila répondez moi svp
merci

[jobherzt]

Deja, attention au vocabulaire, ce que tu ecris au debut n'est pas une equation, meme si on comprend ce que tu veux dire.

Ensuite, ca n'a jamais fait

Enfin, ecrire que c'est franchement inquietant...

Note : il vaut mieux ouvrir une nouvelle discussion pour poser une question.

[smit]

bien sur que (x-2)² fait x²+4x+4 puisque si on développe ce membre (x-2)² en identité remarquable ça fait:
x² - 2 X x X (-2) + (-2)²
ce qui est égale à x²+4x+4!


( X = le signe de multiplication )
(x = petit x )

et pour ce qui concerne la factorisation, je l'avais dis que j'étais vraiment pas sûr de moi et que je me trompais surment, et d'ailleurs c'est le cas , alors peux-tu m'aider stp , à moins que tu trouves vraiment mon cas trop désespéré !

[jobherzt]

bien sur que (x-2)² fait x²+4x+4 puisque si on développe ce le membre (x-2)² en identité remarquable ça fait:
x² - 2 X x X (-2) + (-2)²
ce qui est égale à x²+4x+4!

Si tu le dis.... Il n'y aurait pas un probleme de signe ?


Ensuite, pour que tu aies le droit de factoriser par x, il faudrait qu'il y ait du x dans tous les membres de la somme...

[smit]

ok ok il y a peut-être un problème de signe oui
je vais essayer de voir ca de un peu plus près merci pour tes réponses rapides!
++

[jobherzt]

Bon, la bonne identité remarquable c'est , donc au final tu obtiens

Ensuite pour resoudre il faut appliquer la methode habituelle en calculant etc...

[smit]

ok merci jobherzt
j'ai pu avancer grâce à toi ! a+

[jobherzt]

donc au final tu obtiens

Il y avait une faute de frappe, il fallait bien sur lire :

"donc au final tu obtiens "

[smit]

oui j'avais bien compris ça!