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Résolution de l'équation de Boltzmann



  1. #1
    Ithilian_bzh

    Résolution de l'équation de Boltzmann


    ------

    Bonjour,

    Pour mon retour par ici après une (trop !) longue absence, j'aurai une interrogation assez générale.

    Je viens d'avoir un test de physique statistique, où on a tenté de nos faire résoudre (pour la première fois !) une équation de Boltzmann collisionnelle. Comme je n'y suis pas arrivé (comme la plupart de mes condisciples d'ailleurs ), je viens vous demander un peu d'aide.

    Le contexte précis est le suivant : on considère un plasma, avec des ions supposés immobiles et un gaz d'électrons. On considère que le plasma est neutre électriquement, et on note le nombre d'électrons par unité de volume, uniforme. La densité d'état est la densité 3D classique, de la forme . La distribution à l'équilibre selon les états d'énergie vaut On soumet le tout à un gradient thermique unidimensionnel, selon l'axe x.

    Là dessus, on nous demande de résoudre l'équation de Boltzmann collisionnelle dans l'approximation du temps de relaxation ; elle se met sous la forme (unidimensionnelle, vu la tête du gradient de température) :



    est le temps de relaxation, supposé constant, et .

    Voilà où j'en suis... Pour résoudre ça, je pensais essayer de me ramener à une méthode des caractéristiques pour la solution homogène, mais je n'y suis pas arrivé... D'autres idées ? Merci !

    -----
    Astronome ingénieur alternatif

  2. #2
    gatsu

    Re : Résolution de l'équation de Boltzmann

    Citation Envoyé par Ithilian_bzh Voir le message
    Bonjour,

    Pour mon retour par ici après une (trop !) longue absence, j'aurai une interrogation assez générale.

    Je viens d'avoir un test de physique statistique, où on a tenté de nos faire résoudre (pour la première fois !) une équation de Boltzmann collisionnelle. Comme je n'y suis pas arrivé (comme la plupart de mes condisciples d'ailleurs ), je viens vous demander un peu d'aide.

    Le contexte précis est le suivant : on considère un plasma, avec des ions supposés immobiles et un gaz d'électrons. On considère que le plasma est neutre électriquement, et on note le nombre d'électrons par unité de volume, uniforme. La densité d'état est la densité 3D classique, de la forme . La distribution à l'équilibre selon les états d'énergie vaut On soumet le tout à un gradient thermique unidimensionnel, selon l'axe x.

    Là dessus, on nous demande de résoudre l'équation de Boltzmann collisionnelle dans l'approximation du temps de relaxation ; elle se met sous la forme (unidimensionnelle, vu la tête du gradient de température) :



    est le temps de relaxation, supposé constant, et .

    Voilà où j'en suis... Pour résoudre ça, je pensais essayer de me ramener à une méthode des caractéristiques pour la solution homogène, mais je n'y suis pas arrivé... D'autres idées ? Merci !
    salut,

    Un développement (perturbatif en fait) multi échelles est souvent adapté à la résolution de l'equation de Boltzmann dans l'approximation du temps de relaxation.

    En revanche je ne sais pas en quoi consiste la méthode des caractéristiques, tu peux m'expliquer ?

  3. #3
    Ithilian_bzh

    Re : Résolution de l'équation de Boltzmann

    Citation Envoyé par gatsu Voir le message
    salut,

    Un développement (perturbatif en fait) multi échelles est souvent adapté à la résolution de l'equation de Boltzmann dans l'approximation du temps de relaxation.

    En revanche je ne sais pas en quoi consiste la méthode des caractéristiques, tu peux m'expliquer ?
    Je t'explique, mais tu explicites ta méthode après, elle ne me dit rien non plus

    En gros, la méthode des caractéristiques, c'est une méthode de maths pour résoudre les EDP de la forme :



    En gros, on résout l'équation différentielle , et on montre que si l'on a une condition initiale en , on peut trouver une solution à l'EDP, qui sera . La situation n'est pas tout à fait similaire ici (il y a la vitesse en plus) mais j'ai essayé de m'y ramener... sans succès !

    Précision si ça peut aider : on nous demande de chercher une solution linéaire en gradient de température...
    Astronome ingénieur alternatif

  4. #4
    gatsu

    Re : Résolution de l'équation de Boltzmann

    Citation Envoyé par Ithilian_bzh Voir le message
    Je t'explique, mais tu explicites ta méthode après, elle ne me dit rien non plus

    En gros, la méthode des caractéristiques, c'est une méthode de maths pour résoudre les EDP de la forme :



    En gros, on résout l'équation différentielle , et on montre que si l'on a une condition initiale en , on peut trouver une solution à l'EDP, qui sera . La situation n'est pas tout à fait similaire ici (il y a la vitesse en plus) mais j'ai essayé de m'y ramener... sans succès !

    Précision si ça peut aider : on nous demande de chercher une solution linéaire en gradient de température...

    L'idée est qu'il y a plusieurs échelles de temps et de distances qui interviennent dans le problème, la première chose à faire est alors d'addimensionner tes variables et ton equation comme pour Navier-Stokes en hydrodynamique à l'aide des ses variables.
    Tu poses ensuite formellement :
    est un petit paramètre
    et
    tu fais la même chose pour les autres variables de l'equation et tu résouts à chaque ordre en . Normalement au premier ordre tu trouves que est proportionnel à la dérivé spatiale de ce qui implique une linéarité en gradient de T...
    Je ne peux pas t'en dire plus pour ce calcul parce qu'il faut trouver les bonnes grandeurs caractéristiques pour l'equation de Boltzmann, ce qui n'est pas souvent le cas en systèmes dynamiques où j'ai l'habitude d'utiliser cette méthode pour trouver des formes normales.

  5. A voir en vidéo sur Futura

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