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résolution de l'équation de diffusion



  1. #1
    lucy22

    résolution de l'équation de diffusion


    ------

    Bonjour,
    Je voudrais résoudre l'équation de diffusion pour de la matière (2e loi de fick)
    Je connais la méthode de séparation de variables mais je n'arrive pas à y intégrer les conditions aux limites.J'ai trouvé une résolution sur internet qui me donne:
    n=n0/racine(4*pi*D*t)*exp(-x^2/(4Dt)) où D est le coefficient de diffusion, x la variable d'espace, t le temps et n0 le nombre initial de moles. Ce qui m'embête c'est que cette relation n'est pas homogène et ne fonctionne pas a priori dans mon problème qui est le suivant:
    Calcul de la masse de gaz contenue dans un ballon percé en fonction du temps et de l'espace. Il faut savoir qu'avant la fuite le gaz est de l'hélium sous pression et qu'il y a aussi de l'air à entrer dans le ballon.
    Si quelqu'un pouvait m'aider, je suis complètement bloquée!
    Merci d'avance!

    -----

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  3. #2
    mamono666

    Re : résolution de l'équation de diffusion

    tu veux résoudre une equation du type:

    c'est bien cela?
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  4. #3
    lucy22

    Re : résolution de l'équation de diffusion

    tout à fait!

  5. #4
    labostyle

    Re : résolution de l'équation de diffusion

    salut lucy22

    peut tu présenter ton énoncé afin d'avoir une idée des conditions aux limites a utiliser,

  6. #5
    mamono666

    Re : résolution de l'équation de diffusion

    Je vais partir de l'equation: .


    Je pose: , on déduit alors qu'il existe une constante lambda tel que:



    J'en tire deux équations:



    et



    on aura donc les solutions sous la forme:



    et



    L'equation a résoudre étant linéaire, on peut sommer sur des lambda:



    De plus on a la relation suivante (transformation de fourier):



    donc

    J'ai donc pour la solution générale:



    L'intégrale selon lambda est donc:



    La partie sinus de l'exponentiel complexe s'annule car fonction impaire, d'ou:



    Finallement:



    Si, par exemple, je prend (delta la fonction de dirac) et que j'appelle n = u(x,t), on aura alors:

    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    isozv

    Re : résolution de l'équation de diffusion

    Citation Envoyé par mamono666 Voir le message
    Je pose: , on déduit alors qu'il existe une constante lambda tel que:

    Bonjour,

    C'est très intéressant mais.... comment déduis-tu l'existence de cette constante? Je n'arrive pas à justifier cela en interprétant la relation entre les rapports (et les auteurs des ouvrages faisant la même démo ne le justifient jamais non plus).

    Merci de m'éclaircir car je suis pas doué en maths

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  10. #7
    chwebij

    Re : résolution de l'équation de diffusion

    on a deux fonctions de chaque coté de l'équation indépendantes entre elle, car X dépend de x et T de t.

    on peut réecrire ca sous cette forme:

    avec
    et
    donc pour que légalité soit vraie pour tout t et x les fonctions G et F doivent etre constante.

    on a

    par contre je pense que mamono a sauté une étape en donnant négatif dès le début.
    on le donne négatif car pour
    avec
    T converge à t infini ssi est négatif or je pense qu'on cherche une fonction remplissant cette condition donc on donne
    AH NON! au moment où la petite flûte allait répondre aux cordes. Vous êtes ODIEUX!!

  11. #8
    chwebij

    Re : résolution de l'équation de diffusion

    Citation Envoyé par chwebij Voir le message
    donc pour que légalité soit vraie pour tout t et x les fonctions G et F doivent etre constante.

    on a
    pour s'en convaincre il suffit de dériver par t
    AH NON! au moment où la petite flûte allait répondre aux cordes. Vous êtes ODIEUX!!

  12. #9
    isozv

    Re : résolution de l'équation de diffusion

    Merci c'est très clair maintenant (c'était tout bête visiblement....)

    bonne journée

  13. #10
    lucy22

    Re : résolution de l'équation de diffusion

    mille mercis mamono666 pour cette démonstration. Je ne m'ensortais pas avec mes conditions aux limites. Donc le résultat que tu trouves pour n en fonction du temps et de l'espace est général. n0 est le nombre de moles à l'instant t=0, c'est ça?
    Ce que je ne comprends toujours pas c'est pourquoi le membre qui est devant l'exponentielle n'est pas homogène à un nombre de moles car le coefficient de diffusion est en m^2/s.
    Je voulais aussi vous demander, x=0 correspond à l'abscisse de l'orifice n'est-ce pas? Je me demandais comment faire si je veux étudier l'allure de ce nombre de moles en fonction du temps au niveau de cette abscisse. Je ne peux pas supprimer l'exponentielle ni faire un développement limité...
    Si vous pouviez m'éclairer...
    Merci d'avance!

  14. #11
    mamono666

    Re : résolution de l'équation de diffusion

    oui, c'est bien parce que les deux égalités dépendent: l'une de x et l'autre de t donc les rapports valent une constante.

    je prend ce que tu nommes alpha négatif, car la partie temporelle T(t) est forcément bornée pour tout t>0 (en particulier en l'infini).

    Ce n'est pas un résultat générale, mais j'ai pris ce que j'appel u(x',0) de manière à avoir ton résultat. J'ai pris le cas ou est concentré en x'=0 pour t=0.
    Il y a peut etre une autre manière...je ne sais pas.

    Pour l'homogénéité, tu dois prendre D homogene à des donc dans l'equation:

    homogène à des mètres et d'un autre coté doit etre homogène à [n] fois des mètres (car on peut prendre le delta en 1/metres)
    Du coup homogène à [n] donc ca à l'air de marcher. mais dans ce cas la, n'est pas un nombre de mole...J'espere pas dire de bétise.

    Je suppose que l'orifice est en x=0 et la l'exponentielle vaut 1
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  15. #12
    Arkantis

    Re : résolution de l'équation de diffusion

    Bonjour à tous,
    juste une petite chose, quand on pose u(x,t)=X(x).T(t), on fais bien une hypothèse restrictive non ( celle de stationnarité ) ?
    A ce moment la on n'a qu'une partie des formes possibles pour u...
    La simplicité est la sophistiquation suprême.

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  17. #13
    mamono666

    Re : résolution de l'équation de diffusion

    oui, c'est une solution particulière
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  18. #14
    gatsu

    Re : résolution de l'équation de diffusion

    Citation Envoyé par Arkantis Voir le message
    Bonjour à tous,
    juste une petite chose, quand on pose u(x,t)=X(x).T(t), on fais bien une hypothèse restrictive non ( celle de stationnarité ) ?
    A ce moment la on n'a qu'une partie des formes possibles pour u...
    Je suis pas très fortiche en math donc je suis pas sûr de voir ce que tu veux dire par "stationnarité". Pour les ondes électromagnétiques effctivement cette la séparation des variables revient à chercher des solutions stationnaires (si on les cherche réelles) mais elles vérifient une equation d'onde...pas une equation de diffusion, la structure des solutions n'est donc pas du tout la même et les termes employés pour les caractériser pas les mêmes non plus il me semble.

  19. #15
    Arkantis

    Re : résolution de l'équation de diffusion

    Euh ok désolé j'ai fait mon malin, en fait je pensais justement stationnarité par analogie avec la résolution de l'équation de d'Alembert ... mais stationnaire ou pas cette recherche de solution particulières me trouble.
    La simplicité est la sophistiquation suprême.

  20. #16
    mamono666

    Re : résolution de l'équation de diffusion

    Apres je sais pas si on peut eviter cette hypothese en prenant directement la transformer de fourier selon les composantes de coordonnées:



    je ne suis pas certain....
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  21. #17
    gatsu

    Re : résolution de l'équation de diffusion

    Citation Envoyé par mamono666 Voir le message
    Apres je sais pas si on peut eviter cette hypothese en prenant directement la transformer de fourier selon les composantes de coordonnées:



    je ne suis pas certain....
    Ben moi je dirais que ça revient au même....personnellement je ne suis pas sûr que tu ai traité un cas particulier en faisant la séparation des variables puisque ensuite tu as sommer sur toutes les contributions possibles...d'alluers ta solution ne peut pas s'écrire comme
    .
    Pour moi le truc que tu as fait c'est juste de dire qu'une base naturelle de l'espace produit tensoriel des fonctions de x et de t est une fonction de x fois une fonction de t. Et après tu as développé ta fonction dans cette base donc pas de problème selon moi.

  22. #18
    mamono666

    Re : résolution de l'équation de diffusion

    oui effectivement.
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

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  24. #19
    Anacarsis_47

    Re : résolution de l'équation de diffusion

    Citation Envoyé par lucy22 Voir le message
    mille mercis mamono666 pour cette démonstration. Je ne m'ensortais pas avec mes conditions aux limites. Donc le résultat que tu trouves pour n en fonction du temps et de l'espace est général.
    Non la gaussienne n'est pas la solution générale de l'équation de diffusion. Il y a d'autres solutions telles que la fonction erreur

    Les équations différentielles partielles ont toujours une infinité de solutions différentes. Elles sont déterminées par les conditions aux bords et les conditions initiales.

    @lucy: après réflexion, en fait tu ne peux pas utiliser l'équation de diffusion dans ton cas, car il y a une différence de pression entre le ballon et l'extérieur. Tu as une petite chance de trouver une solution analytique en partant de l'équation de Navier-Stokes, mais elle est fort faible...

    as-tu déjà consulté des livres sur le phénomène de diffusion ou les transferts de chaleur? (l'équation de Fourier se résoud de la même façon que celle de Fick) Dans quel but cherches-tu à résoudre ce problème?

    a++

  25. #20
    Alsi32

    Re : résolution de l'équation de diffusion

    Bonjour a tous,

    C'est une très bonne démonstration,malheureusement je ne comprends pas par quelle propriété de la transformation de Fourier on obtient ceci :

    T(t) = int(u(x,t).exp(-i lambda x)dx) (1)

    Par calcul je tombe toujours sur des intégrales divergentes et affirmer (1) revient pour moi a affirmer que int(X(x).exp(-i lambda x)dx)=1

    Merci d'avance pour votre aide

  26. #21
    Alsi32

    Re : résolution de l'équation de diffusion

    A noter d'ailleurs, qu'apparemment,le fait de prendre l'intégrale par rapport a "x" de (u(x,t).exp(-i.a.x)) nous donnait la partie par rapport a "t" de u(x,t) et que c'était une définition,mais je n'arrive pas a le démontrer.

    Cette définition serait même symétrique, si bien que si on écrivait :

    (int(u(x,t) exp(-i lambda t) dt) alors on obtiendrait X(x)

    bien que je pense que ce ne soit pas calculatoire(j'aboutis toujours sur une intégrale indéterminée)au cas ou,les conditions sont :

    u(x,t)=X(x).T(t)

    X(x) = A.exp(i.a.x) + B.exp(i.a.x)

    T(t) = C.exp(-D.(a^2).t)

    u(x,t) = (1/2Pi).int((G.exp(-D.(a^2).t).exp(i.a.x)).da)

    Merci d'avance pour votre aide!

  27. #22
    Alsi32

    Re : résolution de l'équation de diffusion

    Bonjour a tous,

    Je me demande même si on ne tombe sur une intégrale d'une fonction distribution de Dirac.
    a partir de :

    u(x,t)=X(x).T(t) et

    X(x) = A.exp(i.a.x) + B.exp(i.a.x)

    on obtient : int(u(x,t).exp(-i.a.x).dx)=T(t).int(B.exp(-2.i.a.x).dx)

    et je me demande si on peut obtenir : int(B.exp(-2.i.a.x).dx)=1 en justifiant qu'on obtient une integrale de fonction de Dirac.

    Merci d'avance!

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