Bonjour,
Est ce que vous pouvez me donner des exemples concrets qui illustrent les deux notions suivantes :
- Observable
- Etat quantique.
Sur Wikipedia, j'ai trouvé par exemple , que l'observable $ \vec{A} $ peut être, le vecteur vitesse $ \vec{V} $, l'impulsion $ \vec{P} $, le moment cinéatique $ \vec{L} $ ... etc.
Regardez par ici :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Observable
Vous avez un exemple sur ce que peut être un état quantique ?
Merci d'avance.
Envoyé par chentouf
Bonjour,
Supposons un problème à 1 particule ponctuelle se déplaçant suivant une droite dirigée suivant x.
Mécanique classique.
Un état est la donnée de la position et de la vitesse a un instant t. soit:
x(t) et v(t)
On pourrait appeller observable en mécanique classique une fonction qui a x et v fait correspondre un nombre qui relève de la mesure. Exemple l'énergie:
E(t) = 1/2.m.v(t)2 + V[x(t),t)]
Qui est bien une fonction de x et de v et qui représente la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle.
On remarque que x(t) et v(t) sont eux-même des observables.
Mécanique quantique.
En mécanique quantique un état est une fonction F(x,t) qui remplace donc le couple x(t), v(t) de la mécanique classique. On appelle F(x,t) une fonction d'onde.
L' observable devient un opérateur M (au sens d'une application mathématique) qui a la fonction F(x,t) fait correspondre un nombre mesurable. Donc on a:
m[F] = M[F]
Les 3 principales observables sont:
La position
x =* X.
La vitesse:
v =* i.h/m.d/dx
L'énergie notée H:
E =* X2 -h2/2m d2/dX2
Nota le symbole =* signifie grandeur classique devient opérateur en MQ.
Les lois d'évolution
En mécanique classique les lois d'évolution des états sont régis par la loi de Newton.
en MQ la loi d'évolution des états est régie par l'équation deSchrodinger.
Merci beaucoup, c'est très clair !
Est ce que tu peux me parler un peu plus sur ce que signifie une fonction d'onde, car je ne la comprends pas bien. D'après ton premier message, une fonction d'onde est un état qui remplace la position et la vitesse en mecanique quantique. Peux tu me dire elle peut être quoi ? Elle represente quoi au juste ?
Merci d'avance.
La fonction d'onde dont j'ai parlé F(x,t) qui est un état quantique remplace donc le couple x(t), v(t) de la mécanique classique.Merci beaucoup, c'est très clair !
Est ce que tu peux me parler un peu plus sur ce que signifie une fonction d'onde, car je ne la comprends pas bien. D'après ton premier message, une fonction d'onde est un état qui remplace la position et la vitesse en mecanique quantique. Peux tu me dire elle peut être quoi ? Elle represente quoi au juste ?
Merci d'avance.
Bien entendu les physiciens se sont posés la question: Quel est interpretation donner à cette fonction?
La réponse est que |F(x,t)|2 .dx represente la densité de probabilité de trouver la particule dans l'intervalle [x, x+dx].
Ce qui prend un sens c'est le module au carré de F(x,t). La raison est que la fonction F(x,t) prend des valeurs dans le corps des nombres complexes et non pas des nombres réels.
On note comme il s'agit d'une notion de probabilité, l'intégration sur tout l'intervalle de l'axe réel te donne la probabilité = 1, cad la certitude que la particule est quelque part.
En conséquence on appelera par convention amplitude de probabilité la fonction F(r,t).
On peut préciser cela sur des modèles physiques concrets.
Mécanique classique.
Soit la terre qui tourne autour du soleil.
On sait décrire le mouvement de la Terre en prenant comme origine le soleil. La terre décrit une trajectoire elliptique (le cercle étant une ellipse particulière) et la résolution de l'équation de Newton donne les états classiques du mouvement sous la forme d'un couple r(t), v(t).
Mécanique quantique.
Soit l'atome d'Hydrogène qui est donc un électron qui tourne autour du proton qui est une charge positive. Dans le cas du couple Soleil/Terre il y avait une force gravitationelle centrale en 1/r2. Pour l'atome d'hydrogène la force électrostatique est également une force centrale en 1/r2 si bien que les résultats de la mécanique classique appliqués à l'atome d'hydrogène devrait donner le même résultat (aux unités pret).
La mécanique classique et ses concepts échouent complétement à expliquer les propriétés de l'atome d'hydrogène. Il faut employer les concepts et le langage mathématique de la MQ.
Dans cette nouvelle approche l'électron est dans un état quantique F(r,t) auquel on donne le sens de probabilité à |F(r,t)|2. On dit d'une manière imagée que l'électron est representée par un nuage de densité de probabilité.
Pour calculer l'état F(r,t) on résoud l'équation de Shrodinger qui s'écrit:
i.h.d/dt F(r,t) = -h2/2.m.{[d2/dx2. + d2/dy2. + d2/dz2.] + V(r)} F(r,t)
Au second membre on a l'opérateur énergie cinétique + l'opérateur énergie potentielle.
Qui est une équation différentielle linéaire aux dérivées partielles.
Merci beaucoup ...
Cordialement
Re - Bonjour :
Toujours dans le cadre de la mécanique quantique, je suis en ce moment, entrain d'étudier l'équation de Schrodinger, et puisque je suis mathematicien de formation et non physicien, j'ai quelques questions à vous poser sur ce qui suit :
J'ai dans mon livre, le paragraphe suivant que je ne comprends pas bien, vu que j'oublie presque complètement tout le bagage des cours de physique que j'ai appris aux cours de mes études à la fac :
Voiçi ce paragraphe :
Les équations de mouvement pour un point materiel de massesoumis à l'action d'un champ de forces dérivant d'un potentiel
Merci d'avance.
Re - Bonjour :
Toujours dans le cadre de la mécanique quantique, je suis en ce moment, entrain d'étudier l'équation de Schrodinger, et puisque je suis mathematicien de formation et non physicien, j'ai quelques questions à vous poser sur ce qui suit :
J'ai dans mon livre, le paragraphe suivant que je ne comprends pas bien, vu que j'oublie presque complètement tout le bagage des cours de physique que j'ai appris aux cours de mes études à la fac :
Voiçi ce paragraphe :
Les équations de mouvement pour un point materiel de masse
Merci d'avance.
J'ai vu que tu étais mathématicien , ce qui me facilitera les réponses.
L'équation que tu viens d'écrire est historiquement un codage de l'expérience: c'est la loi de Newton. on l'écrit:
m.dV/dt = F (r,t)
Ce qui traduit que le changement de vitesse d'un corps (donc l'accélération) est le résultat d'une force appliquée à ce corps. Dans le cas où la force dérive d'un potentiel on écrit:
F = - grad V(r,t)
le concept de potentiel va jouer un rôle important par la suite.
On peut trouver cette loi en cherchant le minimum de l'action S (c'est donc une fonctionnelle) qui est l'intégrale d'un lagrangien L (x, dx/dt, t) intégré entre un temps initial t1 et un temps final t2 avec x(t1) et x(t2) comme conditions aux limites.
Le résultat donne ce que l'on appelle une équation d'Euler-Lagrange qui est une équation différentielle du second ordre.
Si tu prends comme Lagrangien L (x,t) = 1/2.m.[dx/dt]2 -V(x,t)
tu trouveras l'équation de Newton.
En fait ce problème est plus générale que ce que je viens de présenter puisqu'il s'agit de déterminer une quantité critique (optimale). Le calcul le plus élémentaire consiste à trouver quel est le chemin le plus court entre 2 points A et B. Ce qui suppose la donnée d'une métrique. pour la métrique euclidienne, c'est la droite. On peut prendre n'importe quelle métrique, par exemple une métrique riemanienne qui définit ce que l'on appelle des géodésiques.
Merci encore une fois, c'est très clair.
J'ai une autre question si ça vous ne derange pas :
Est ce que vous pouvez m'expliquer concrètement ce que signifie l'expression " valeur observée " dans le paragrpahe suivant :
La valeur observée pour une quantité physique ( Exemple : Energie potentielle ) pour un système décrit par
Voiçi donc le paragraphe.
En mécanique quantique, il n'y'a pas de valeur exacte, mais des probabilités. Est ce que bref, cette formule veut dire que c'est la probabilité que l'énérgie potentielle ait comme valeur
J'ai envie de dire quelques choses de correct, mais je n'arrive pas bienCette formule ressemble un peu à ce qu'on trouve en théorie des distributions en mathematiques, ou on remplace la valeur d'une fonction
Merci d'avance.
Merci encore une fois, c'est très clair.
J'ai une autre question si ça vous ne derange pas :
Est ce que vous pouvez m'expliquer concrètement ce que signifie l'expression " valeur observée " dans le paragrpahe suivant :
La valeur observée pour une quantité physique ( Exemple : Energie potentielle ) pour un système décrit par
.
On peut presenter la fonction F(r,t) comme un produit scalaire:
F(x,t) = <x|F(t)>
Donc F(x,t) apparait comme la projection d'un vecteur [F(t)> sur la distribution au point |x> au point x.
|F(t)> est un vecteur d'un espace de Hilbert.
<F(t)| est le vecteur dual.
donc on écrira:
<v> = <F(t)|V|F(t)>
<v> est la valeur moyenne lorsque le système est dans l'état |F(t)>
V est l'opérateur potentiel.
Appelons I l'opérateur identité, on peut écrire:
<v> = <F(t)|I.V.I|F(t)>
J'ai injecté 2 fois l'opérateur I.
Je peux écrire l'opérateur identité:
I = Intégrale |x><x|.dx qui est une somme de projecteur
après injection
<v> = <F(t)||x><x|.dx.V.|x><x|dx|F(t)>
Je n'ai pas écrit les signes intégrales (pour me simplifier la vie)
Ce qui corrrespond à l'expression que tu as écrites précedement. cela veut dire que tu as écris l'énergie potentielle moyenne où les vecteurs étaient en representation|x> qui définit une base { |x>}
l'équation de Schrodinger s'écrit indépendamment de toutes représentations.
i.h.d/dt |F(t)> = H|F(t)>
Tu peux retrouver la présentation de l'équation de Schrodinger en représentation |x> en projetant les 2 membres sur |x> à gauche et injectant l'opérateur identité précedent et injectant la somme des projecteurs entre H et |F(t)>
Merci.
