Stabilité aimant en lévitation

[erff]

Bonjour,

Je suis confronté à un pb physique et je n'arrive pas à comprendre un point :

Un aimant de polarisation J est placé dans un champ H extérieur, on montre (et j'admets) que l'énergie d'interaction est donnée par :

On dit aussi que pour qu'un système soit stable, il faut que le laplacien de W soit négatif (ce qui se conçoit, on cherche des puits de potentiel, comme on le ferait en mécanique).

Or, on a l'air de dire que

et que "comme rot(B)=div(B)=0 alors ce laplacien est nul" : sous entendu, on rentre le laplacien dans l'intégrale et avec une formule d'analyse vectorielle et les équations de maxwell (div B = rot B = 0), on arrive à montrer le résultat (paragraphe 2.2)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...e_d%27Earnshaw

Ce que je ne comprend pas c'est que lorsqu'on veut calculer une raideur équivalente (dérivée seconde de l'énergie par rapport à une coordonnée, comme avc un ressort) à partir d'une énergie potentielle (ici l'énergie d'interaction), on dérive par rapport à une coordonnée spatiale de l'aimant (un déplacement, comme dans le cas d'un ressort) et non par rapport aux variable d'espaces qui "cartographient" le champ H, et du coup, si on entre le laplacien dans l'intégrale, on n'a pas le droit selon moi de dire que div(B)=0 et rot(B)=0 (on est dans le vide, en RP) puisqu'on dérive par rapport à un mouvement de l'aimant.

Est ce que qqun à une justification, car il est évident que mon intuition est mauvaise.

Merci à vous
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[erff]

Je me permet un remontage de sujet :

Je reformule autrement le pb :
Un aimant de polarisation pouvant se mouvoir selon x,y,z plongé dans un champ extérieur a pour énergie potentielle

Mon but est de montrer que sachant que les dérivées du Laplacien portent sur les déplacements possibles de l'aimant.

D'après une discussion
http://forums.futura-sciences.com/ph...l-vecteur.html
j'ai tenté d'appliquer des formules d'analyse vectorielle (la dernière):
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...lux-divergence
et je suis arrivé à :

Je rappelle qud meme que le gradient ainsi que le laplacien ne portent que sur des déplacements de l'aimant, non sur les variables qui cartographient le champ.

Bref, la question est la suivante : est ce que ce truc là a une raison d'etre nul ?

Merci

[invite5a685214]

Je ne pense pas avoir les compétences pour t'aider, mais je me pose quand même une question: de et , lequel dépend de la position de l'aimant?

[erff]

Bonjour,

J est une constante propre à l'aimant idéalisé : J=cte partout dans l'aimant et J=0 à l'exterieur (effectivement la distribution spatiale de J change si on bouge l'aimant).
A la base l'article décrit le comportement de 2 aimants mis face à face dont un est fixe ; donc en principe les 2 bougent (J à cause du déplacement et H parce qu'il dépend des positions relatives des 2 aimants).

Ta question me fait penser à un truc dans mon calcul : J ne peut pas etre considéré constant partout (chose que j'ai fait dans mon calcul) : son gradient est nul partout dans l'aimant et à l'exterieur (ce qui m'a induit en erreur) mais infini + ou - sur les bords de l'aimant (puisqu'on passe en un déplacement infinitésimal de J=cte à J=0 ou inversement)...va formaliser ça proprement.
Bref, calcul faux, et question toujours sans réponse.

[A voir en vidéo sur Futura]