Bonjour,
J'aimerais résoudre une question qui me gène depuis un bon moment.
dans cette forme du théorème on transforme une écriture surfassique en volumique. On trouve une divergence:
Alors qu'ici, pour la même chose on trouve un gradient:
On transforme un scalaire X en grad(X) ,
et un vecteur V en div de V?
Vecteur ->> div
scalaire ->> grad
c'est ça l'astuce?
Merci de votre aide.
Bah par définition un gradient s'applique à un scalaire et une divergence à un vecteur.
La divergence d'un scalaire ou le gradient d'un vecteur n'a pas de sens…
Envoyé par coussin
Bah par définition un gradient s'applique à un scalaire et une divergence à un vecteur.
La divergence d'un scalaire ou le gradient d'un vecteur n'a pas de sens…
Bonjour,
Effectivement la divergence d'un scalaire n'a aucun sens.
Par contre le gradient d'un vecteur a un sens. Le gradient d'un vecteur est couramment utilisé en physique et celui-ci se généralise aux systèmes de coordonnées curvilignes et s'appelle dérivée covariante.
bonjour,
au lieu de raisonner avec des scalaires et de vecteurs, on peut faire avec des tenseur, et là tout devient clair :
la divergence d'un tenseur d'ordre n donne un tenseur d'ordre n-1, un scalaire est un tenseur d'ordre 0, ça divergence n'existe donc pas
le gradient d'un tenseur d'ordre n donne un tenseur d'ordre n+1, un vecteur est un tenseur d'ordre 1, son gradient donne un tenseur d'ordre 2, un matrice, c'est rien d'abominable une matrice ?
La logique est une méthode systématique d’arriver en confiance à la mauvaise conclusion.
Je pense que ton problème provient juste d'un malentendu avec les notations nabla.
On a normalement :
et
Dans le premier cas, on "applique" le nabla à f (une fonction scalaire), dans le deuxième, on fait le produit scalaire entre nabla et F (une fonction vectorielle). On utilise cette notation nable car elle marche très bien avec les coordonnées cartésiennes (mais uniquement avec celle là !)
Donc pour le théorème, c'est bien F.ds qui va donner du div(F).dV
Dans ta seconde écriture, je pense qu'il manque le "." entre nable et g pour bien montrer qu'il s'agit d'une divergence et non d'un gradient !
Bonjour,
J'aimerais résoudre une question qui me gène depuis un bon moment.
dans cette forme du théorème on transforme une écriture surfassique en volumique. On trouve une divergence:
Alors qu'ici, pour la même chose on trouve un gradient:
On transforme un scalaire X en grad(X) ,
et un vecteur V en div de V?
Vecteur ->> div
scalaire ->> grad
c'est ça l'astuce?
Merci de votre aide.
J'ai pourtant pris ces équations sur wikipédia, et je ne les ai pas vues que sur ce site, elle sont également écrites comme celà dans mon cours et sur le net.
C'est donc bien un gradiant.
Pourtant g est un vecteur représentant la pesenteur, bien qu'ici g n'a pas de flèche pour l'identifier à un vecteur.
J'en ai donc déduit que c'était, dans cette écriture, un scalaire.
Merci pour l'astuce doul11, je n'avais jamais remarqué ça.
Vous confirmez donc que le théorème de G.O permet de transformer une écriture surfacique en une volumique de la manière suivante:
*L'intégrale surfacique d'un Vecteur donne l'intégrale Volumique de la divergence de ce Vecteur.
et
*L'intégrale surfacique d'un scalaire donne l'intégrale Volumique du gradiant de ce scalaire.
C'est ça, ou c'est plus compliqué que cette simple règle?
Merci à tous
Euh… Non, ça marche parfaitement dans n'importe quel système de coordonnées
Toujours "selon Wiki(in english cette fois)", c'est en appliquant le théorème de la divergence au produit de la fonction g par un vecteur constant. A toi de vérifier...
http://en.wikipedia.org/wiki/Diverge...em#Corollaries
La curiosité est un très beau défaut.
La curiosité est un très beau défaut.
Merci pour les liens je pense avoir saisi le principe
Merci à tous et bonne continuation !
Bah par définition un gradient s'applique à un scalaire et une divergence à un vecteur.
La divergence d'un scalaire ou le gradient d'un vecteur n'a pas de sens…
Juste pour information, la seconde formule du premier post de la discussion ne fait effectivement pas allusion à la divergence au sens classique même si on a la transformation d'une intégrale de surface en une intégrale de volume puisque ce qui est intégré, dans les membres de l'équation, ce sont des vecteurs et non des produits scalaires.
La curiosité est un très beau défaut.
Bonjour,Euh… Non, ça marche parfaitement dans n'importe quel système de coordonnées
Oui et non.
Les formules ont été construites pour un systèmes de coordonnées cartésiennes. Quand on passe à un système de coordonnées curvilignes il y a des choses qui changent et d'autre pas.
Ce qui ne change pas:
1- Grad.f
2- Rot.E
Ce qui change:
3- Grad.E ou l'expression Grad doit être remplacée par l'expression D qui est la dérivée covariante.
4- Div E où l'expression Div doit être remplacée par l'expression D qui est la dérivée covariante.
Ici f est un champ scalaire. E est un champ vectoriel.
C'est parfaitement exacte, mais cela suppose une formation préalable, car cela ne tombe pas sous le sens.
Petite remarque accessoire: il aurait utile d'écrire:
au lieu de raisonner avec des champs de scalaires et des champs de vecteurs, on peut faire avec des champs de tenseurs, et là tout devient clair :
absolument: Avec la réserve que si on utilise l'expression usuelle de la divergence on se restreigne aux systèmes de coordonnées cartésiennes.la divergence d'un tenseur d'ordre n donne un tenseur d'ordre n-1, un scalaire est un tenseur d'ordre 0, ça divergence n'existe donc pas
Absolument: valable quelque soit le système de coordonnées.le gradient d'un tenseur d'ordre n donne un tenseur d'ordre n+1, un vecteur est un tenseur d'ordre 1, son gradient donne un tenseur d'ordre 2, un matrice, c'est rien d'abominable une matrice ?
Non, y a rien qui change. Faut juste avoir la bonne expression pour Nabla (basé sur le vecteur de déplacement infinitésimal) et faire gaffe que, contrairement au système cartésien unique sur ce point, les vecteurs de base sont mobiles (donc dépendant instantanément de la position du point considéré).
Bonsoir,Non, y a rien qui change. Faut juste avoir la bonne expression pour Nabla (basé sur le vecteur de déplacement infinitésimal) et faire gaffe que, contrairement au système cartésien unique sur ce point, les vecteurs de base sont mobiles (donc dépendant instantanément de la position du point considéré).
Il me semble que tu confonds avec les problèmes de repères mobiles. Ici cela n'a rien à voir ne serait-ce qu'il n y a pas de notion de temps. Il s'agit simplement de champ et les dérivées en questions sont des dérivées spatiales et spatiales uniquement.
Quand on généralise des coordonnées cartésiennes aux coordonnées curvilignes il faut modifier l'expression de la divergence et du gradient de vecteurs pour assurer le caractère tensorielle des expressions. Cela renvoie à la notion de dérivée covariante qui remplace la dérivée ordinaire.
bonsoir,
effectivement j'y avais pensé en écrivant le message, mais je m'était dit, a tors sûrement, que c'était évident qu'il était question de champs.
au passage je prends bonne note de la restriction sur le systèmes de coordonnées pour la divergence, j'essayerais de me documenter un peut sur la dérivé covariante.
La logique est une méthode systématique d’arriver en confiance à la mauvaise conclusion.
Non, je ne confonds rien du tout
En sphériques par exemple, il suffit de réaliser que les vecteurs de basegrâce auxquels on repère un point sont eux-mêmes des fonction de
Une fois qu'on a compris ça, il suffit de savoir faire un produit scalaire et un produit vectoriel pour calculer des divergences et des rotationnels dans n'importe quel système de coordonnées.)
Dernière modification par coussin ; 27/10/2010 à 00h53.
Bonjour,Non, je ne confonds rien du tout
En sphériques par exemple, il suffit de réaliser que les vecteurs de base
Une fois qu'on a compris ça, il suffit de savoir faire un produit scalaire et un produit vectoriel pour calculer des divergences et des rotationnels dans n'importe quel système de coordonnées.
En quelle année universitaire font-on (enfin?) le lien entre tenseurs, produits vectoriels et scalaires, quaternions, dérivées covariantes?
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Salut,Non, je ne confonds rien du tout
En sphériques par exemple, il suffit de réaliser que les vecteurs de base
Une fois qu'on a compris ça, il suffit de savoir faire un produit scalaire et un produit vectoriel pour calculer des divergences et des rotationnels dans n'importe quel système de coordonnées.
Rien qu'en regardant ici, on voit que ta méthode ne marche pas (regarde la difference entre la composante radiale du gradient en cylindrique et la partie radiale de la divergence...ça n'a rien à voir).
Bah oui, normal…
J'y crois pas : j'ai l'impression que vous tombez tous des nues
Quand on dit qu'une divergence c'est « nabla scalaire votre champ vectoriel » bah ça veut dire ce que ça veut dire. C'est nabla scalaire votre champ vectoriel. Point. C'est une formule générale qui marche tout le temps sinon on le dirait
Après c'est à vous d'avoir la bonne expression pour nabla et à savoir faire un produit scalaire proprement.
Il semblerait qu'il faille te prendre par la main, qu'à cela ne tienne :Bah oui, normal…
J'y crois pas : j'ai l'impression que vous tombez tous des nues
Quand on dit qu'une divergence c'est « nabla scalaire votre champ vectoriel » bah ça veut dire ce que ça veut dire. C'est nabla scalaire votre champ vectoriel. Point. C'est une formule générale qui marche tout le temps sinon on le dirait
Après c'est à vous d'avoir la bonne expression pour nabla et à savoir faire un produit scalaire proprement.
Si on suit ta stratégie, alors en coordonnée cylindriques on devrait avoir d'après l'expression du gradient :
Si je fais le produit scalaire de ce vecteur (opérateur) avec un vecteur
je trouve forcément :
qui ne coincide pas avec l'expression de la divergence. Conclusion : ta méthode ne marche pas.
J'ai l'impression qu'il y a un gros quiproquo ici: il y en a un qui déclare que le rot et la div ne dépendent pas du système de coordonnées utilisé(ce qui n'est pas négligeable en physique) et l'autre qui justifie que l'écriture avec nabla n'est valable qu'en système de coordonnées cartésiennes. Où est la contradiction?Il semblerait qu'il faille te prendre par la main, qu'à cela ne tienne :
Si on suit ta stratégie, alors en coordonnée cylindriques on devrait avoir d'après l'expression du gradient :
Si je fais le produit scalaire de ce vecteur (opérateur) avec un vecteur
je trouve forcément :
qui ne coincide pas avec l'expression de la divergence. Conclusion : ta méthode ne marche pas.
La curiosité est un très beau défaut.
Ah oui, je vois que je parle dans le vide donc
J'ai dit que dans n'importe quel système autre que cartésien, les vecteurs de base sont locaux, dépendants de là où on est (chépa comment le dire autrement
Dans ton exemple en cylindriques, t'as
et
Ok j'ai compris, tu ne sais définitivement pas ce qu'est un produit scalaireAh oui, je vois que je parle dans le vide donc
J'ai dit que dans n'importe quel système autre que cartésien, les vecteurs de base sont locaux, dépendants de là où on est (chépa comment le dire autrement
Dans ton exemple en cylindriques, t'as
et
.
Comme je l'ai montré, ta méthode ne fonctionne pas avec un vrai produit scalaire. Dit de façon plus mathématique, c'est la raison pour laquelle les symboles de Christoffel dans la dérivée covariante dont parle mariposa ne sont pas des tenseurs.
Tu peux toujours essayer de t'en sortir avec des astuces mais au final ça reste de la cuisine. Pour être franc je ne comprends pas comment tu peux faire un calcul en écrivant des ignominies comme celles de ton message précédent.
Par exemple c'est quoi ce
Bonjour coussin,Ah oui, je vois que je parle dans le vide donc
J'ai dit que dans n'importe quel système autre que cartésien, les vecteurs de base sont locaux, dépendants de là où on est (chépa comment le dire autrement
Dans ton exemple en cylindriques, t'as
et
Tu as eu 3 interlocuteurs (Mariposa, doul11, gatsu) qui ont réagis dans la même direction:
En ce qui me concerne:
tu a écris:
Bah par définition un gradient s'applique à un scalaire et une divergence à un vecteur.
La divergence d'un scalaire ou le gradient d'un vecteur n'a pas de sens…
J'ai répondu:
doul11 t'a également réponduEffectivement la divergence d'un scalaire n'a aucun sens.
Par contre le gradient d'un vecteur a un sens. Le gradient d'un vecteur est couramment utilisé en physique et celui-ci se généralise aux systèmes de coordonnées curvilignes et s'appelle dérivée covariante.
Effectivement la divergence d'un scalaire n'a aucun sens.
Par contre le gradient d'un vecteur a un sens. Le gradient d'un vecteur est couramment utilisé en physique et celui-ci se généralise aux systèmes de coordonnées curvilignes et s'appelle dérivée covariante.
Maintenant Gatsu t'a expliqué en prenant tes exemples ce qui n'allait pas.
Tu as donc 3 contradicteurs qui disent la même chose. Cela devrait t'inciter, au minimun, à douter. Qu'en-penses-tu?
Personnellement si j'étais à ta place je reprendrais à zéro ce qu'est un tenseur dans un premier temps et un champ de tenseur dans un deuxième temps.
C'est la dérivée par rapport àPar exemple c'est quoi ce
Merci j'avais compris. Mais si tu l'utilises (je sais pas trop pourquoi ni comment) dans le calcul de la divergence, je ne vois pas pourquoi tu ne l'utilises pas lorsque tu écris le gradient d'une fonction f quelconque ce qui donnerait (juste avec ce terme là en plus) :C'est la dérivée par rapport à
ce qui n'est évidemment pas le cas pour le vrai gradient.
Ta technique a l'air sympa comme ça mais elle ne peut pas marcher de façon cohérente pour le gradient et pour la divergence. La seule façon de faire correctement les choses est d'utiliser la dérivée covariante comme le clame mariposa (pour une fois qu'on est d'accord) ce qui nécessite un peu plus de calculs que ce que tu avances et cela a surtout le mérite d'avoir un sens en mathématique.
Je vais quand même me fendre et le faire explicitement une fois parce que bon
nabla en cylindrique est
Appliqué à un champ scalaire
Appliqué à un champ vectoriel
Bonsoir,
Je pourrais te retourner la question car mes année d'études remontent au début des années 70. De mémoire à l'époque les choses que tu as citées faisait partie intégrante de l'Agreg de math (voir les livres de BASS qui étaient recommandés à l'époque).
Faudrait voir le contenu aujourd'hui du programme d'Agreg qui a du totalement changé.
Pour les physiciens les tenseurs sont souvent introduits, sous leurs formes cartésiennes, au coup par coup dans un cours de physique (par exemple l'électromagnétisme ou encore la mécanique des fluides) ce qui est bon et mauvais à la fois.
La compréhension des tenseurs entraine celle du produit vectoriel et du produit vectoriel.
Les quaternions, c'est autre chose. Soit on les présente comme une "généralisation" des nombres complexes et hypercomplexes par extension, soit comme une représentation du groupe O(3) voir SO(4). Le mélange des deux étant une bonne idée. Par contre dans un cours de physique, je ne sais pas qui introduit ces notions et à quel niveau.
Pour la dérivée covariante, les premiers intéressés me semblent être les relativistes, ainsi que les formations de physiciens des particules donc certainement du niveau BAC + 4
Si quelqu'un pouvait répondre à ce qui ce fait actuellement, cela m'intéresse beaucoup.
Ca c'est juste.:
Je vais quand même me fendre et le faire explicitement une fois parce que bon
nabla en cylindrique est
Appliqué à un champ scalaire
Là on ne peut pas trancher si tu ne montres pas le calcul explicite.
Pourrais-tu effectuer un morceau du développement en prenant un seul de terme de dérivation et seul terme sur lequel s'applique ta dérivation. Cela t'évitera d'écrire 9 termes alors que 1 seul suffit. C'est là que tout va se jouer.
