Densité d'états

[Antilope]

Bonjour à tous,

Je suis étudiant en magistère. Nous venons d'aborder en physique statistique un cours sur les densités d'états. Cette notion s'applique en mécanique classique et en mécanique quantique. Il s'agit du nombre d'état accessible à l'énergie E par unité d'énergie dE.

Dans le cas d'une corde vibrante sans dissipation la densité d'états s'écrit :



où les sont les énergies propres de ma corde. Cette formule est assez intuitive puisqu'il s'agit juste d'un comptage des différents modes. Le nombre total de mode s'écrit alors (on compte 1 à chaque fois qu'on passe par .

La prof nous a dit que lorsqu'on a de la dissipation, les énergies propres deviennent complexes de la forme et que par conséquent le delta de Dirac qui apparaît dans la formule de la densité d'états se transforme en une lorentzienne du type .

La prof n'a pas su nous expliquer pourquoi...est-ce-que quelqu'un peut m'expliquer cela ? Cela est pourtant souvent écrit dans les livres mais jamais il n'y a de démonstration dans le cas dissipatif !! Comment se fait le comptage des états dans le cas dissipatif ? et comment retrouver cette lorentzienne dans le cas où l'amplitude de la corde décroit en ?

Je vous remercie pour votre aide

A
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[invite1091d7f6]

Salut,

Pour un système dissipatif, comme tu le précises, la décroissance de l'intensité de la raie (ou l'intensité sonore) est une exponentielle décroissante (si ceci est problématique, fais le moi savoir).

Quand on a l'évolution dans le temps d'une onde (ie. la décroissance de l'intensité de la raie), il suffit alors de faire la transformée de Fourier de cette évolution (ici l'exponentielle décroissante) pour passer dans le domaine fréquentielle (ie. énergétique). Et à ton avis, quelle est la transformée de Fourier d'une exponentielle décroissante???

Pour comprendre plus physiquement, un système dissipatif ayant une fréquence définie pendant un certain temps (défini par l'exponentielle décroissante) ne peut être extrêmement bien défini en terme d'énergie (c'est la loi pour toutes les ondes!). Pour définir parfaitement l'énergie d'une onde, il faut qu'elle soit étendue infiniment dans le temps. Du coup, on a plus un dirac mais une lorentzienne (ie. son énergie est moins bien définie)

Enfin, l'énergie complexe que l'on met dans l'exponentielle complexe n'est qu'un artifice mathématique pour faire apparaître l'exponentielle décroissante. Mais ça, tu as l'air de l'avoir compris

Bon courage!

[invite1091d7f6]

Petite précision toutefois nécessaire:

Ici l'évolution de l'onde dans le temps correspond à une exponentielle complexe (ou une cosinus ou même un sinus) multiplié par une exponentielle décroissante.

La TF de tout ça, c'est le produit de convolution de la TF de l'exponentielle complexe et de la TF de l'exponentielle décroissante. La TF d'une exponentielle complexe, c'est un dirac et la TF de l'exponentielle décroissante c'est une lorentzienne. Enfin, la convolution d'un dirac et de la lorentzienne, c'est une lorentzienne à la position du dirac...

Bref, au final, on a bien une lorentzienne!