Pendule simple.

[invitea5ab8741]

Bonjour,

Soit un pendule simple de point d'attache O, de masse m et de longueur L.

Initialement, on l'écarte de sa position d'éqilibre stable de 90° et on le lâche en lui communiquant une vitesse initiale V(0) orthoradiale, vers le bas.

Je souhaite déterminer la vitesse minimale V(0) à communiquer au pendule pour qu'il fasse un tour complet lorsque le pendule est constitué de la masse m : fixée à une tige rigide sans masse.J'utilise les coordonnées polaires et je note s l'angle formé lorsque le pendule est écarté de sa position d'équilibre stable.
T est la tension de la tige.
J'utilise le principe fondamental de la dynamique et j'obtiens les équations suivant l'axe des L : -L (ds/dt)² m = -T + mg cos (s).
suivant l'axe des s : L (d²s/dt²) = -g sin (s).

J'intègre la deuxième équation en multipliant d'abord par (ds/dt).
J'obtiens : (1/2)L (ds/dt)² = g cos (s) + constante.
La constante est égale à - V(0) car j'ai pris maladroitement l'axe des s en sens contraire du vecteur vitesse.

Je remplace dans la première équation et j'ai : ml(ds/dt)² = 2mg cos(s) +2mV(0).
Pour faire un tour complet, il faut chercher T>0.

Donc j'obtiens l'inéquation : 2V(0) > 3g cos (s).

Dois-je remplacer s par 2Pi ?L'angle Pi/2 n'intervient pas et je trouve ça bizarre...

Je souhaite faire de même avec un fil inextensible sans masse mais je ne vois pas la différence avec le tige rigide.Pouvez-vous m'aider ?
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[LPFR]

Bonjour.
Au lieu d'écrire des équations différentielles, il suffit de dire qu'il faut lui donner assez d'énergie cinétique pour qui puisse monter d'une hauteur L (le rayon).

Mais si la tige n'est pas rigide, elle va se plier sous le poids de l'objet.
Il faut que le poids soit inférieur ou égal à l'accélération centripète à l'endroit critique: le sommet du cercle. De sorte que le fil soit toujours sous tension. Donc, la vitesse au sommet ne pourra pas être nulle et il faudra lui donner nettement plus de vitesse au départ.
Au revoir.

[philou21]

Bonsoir
je n'ai pas lu tout ce que tu as écrit mais des considérations énergétiques ne seraient-elles pas mieux adaptées à la solution de ce problème ?

edit : grillé...

[invitea5ab8741]

Avec le principe fondamental de la dynamique, je trouyve v(0) > (3/2)*g
Mais avec les énergies, je ne vois pas comment faire, dois-je supposé que 1/2mv²>0 lorsque la masse est à la verticale haute ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea5ab8741]

Avec les énergies je trouve : V(0)²> 2gL.
Mais avec le principe fondamental de la dynamique, je trouve d'après mon dernier post un résultat surement faux car il n'y a pas de L dans l'expression...

[philou21]

Avec les énergies je trouve : V(0)²> 2gL.

oui

Mais avec le principe fondamental de la dynamique, je trouve d'après mon dernier post un résultat surement faux car il n'y a pas de L dans l'expression...

oui......................

[invitea5ab8741]

Avec le principe fondamental de la dynamique, je trouve les équations:

suivant l'axe des L : -L (ds/dt)² m = -T + mg cos (s) (E1);
suivant l'axe des s : L (d²s/dt²) = -g sin (s) (E2).

Je multiplie (E2) par la dérivée de l'angle s et j'intègre.
J'obtiens : (1/2) L (ds/dt) = g cos(s) + costante.
Conditions initiales : s= Pi/2 et vitesse non nulle V(0).

Donc constante = V(0) /2.
Donc : v(t) = g cos(s) + V(0)/2.

Or on souhaite que v > 0 au sommet du cercle.

Donc : g cos (Pi) + V(0)/2 > 0 (Pi est l'angle formé par le pendule lorsqu'il est au sommet du cercle)
Donc : V(0) > 2g.

Je ne vois pas l'erreur...
Pouvez-vous m'aider ?

[philou21]

Ta constante d'intégration ne me parait pas exacte.
Ensuite (une fois corrigé...) tu as une équation pour la vitesse, il suffit de dire que pour -180° ds/dt=0 et ça doit le faire...

[philou21]

et d'ailleurs le premier membre est faux, tu devrais avoir une vitesse au carré.

[invitea5ab8741]

Oui, il fallait que je multiplie par 2L pour obtenir v².
Et ensuite je trouve le même résultat que celui obtenu par les énergies.

Merci !