Projection du spin 1/2 sur un axe

[DarK MaLaK]

Bonjour, je ne comprends pas bien comment on peut projeter le spin sur un axe de vecteur unitaire défini ainsi :



En définissant cette projection par l'équation :



Je me sens un peu bloqué car on mélange les opérateurs d'un espace de Hilbert et les vecteurs de l'espace réel pour faire une multiplication dont je ne connais pas vraiment la définition... Pour trouver le résultat, j'ai juste dit que :




Mais ça ne fait que déplacer le problème : je ne comprends pas comment ce produit est défini (dois-je le considérer simplement comme un produit matriciel classique, ce que j'ai fait, alors que j'ai l'impression qu'on mélange deux espaces ?). Et enfin, je ne vois pas vraiment l'utilité de définir ce nouvel opérateur. Vous aurez compris que mon problème n'est pas spécifique au spin mais pour moi c'était le plus flagrant, vu que c'est un nouveau degré de liberté pour les particules par rapport à la représentation classique. Et donc, je trouve un peu étrange de le projeter et je cherche à savoir comment ça fonctionne mathématiquement.

Merci à ceux qui pourront m'éclairer.
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[DarK MaLaK]

Peut-être que je n'ai pas été assez clair. Ma question est très générale en fait : je n'arrive pas vraiment à écrire le hamiltonien dans un champ magnétique par exemple. Pourquoi le terme de l'énergie cinétique disparaît-il ? Et pour le spin, est-ce qu'un produit tensoriel entre deux espaces de Hilbert suffit à justifier qu'on le projette sur des axes ou qu'on le multiplie par des observables telles que la position par exemple ?

[DarK MaLaK]

Personne n'a de réponse ?