projection sur un axe

[invite6243ff93]

bonjour
je souhaite projeter sur un axe (ox) de vecteur unitaire u une relation vectorielle, par exemple A=B
est ce que ça signifie que j'écris:
A.u = B.u donc que je fais un produire scalaire ?

merci
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[invite593dcd95]

Bonjour,

Tes deux vecteurs A et B sont égaux, donc ils ont même sens, même diréction et même norme. Si tu projettes A sur laxe (ox), la projection de B est identique, enfin je pense...

[invite6243ff93]

ok merci mais ce n'était pas trop le sens de ma question
en fait ce qui m'interesse c'est de savoir si une projection sur un axe est équivalent à faire un produit scalaire par le vecteur unitaire de l'axe pour chaque terme

[invite14e03d2a]

Salut!

ok merci mais ce n'était pas trop le sens de ma question
en fait ce qui m'interesse c'est de savoir si une projection sur un axe est équivalent à faire un produit scalaire par le vecteur unitaire de l'axe pour chaque terme

C'est quasiment juste! J'imagine que tu parles de projection ORTHOGONALE, sinon ça ne marche pas.

En fait, le projeté orthogonal du vecteur v sur la droite vectorielle D de vecteur directeur unitaire u est exactement le vecteur <v,u>u.

Pourquoi? C'est très simple: j'appelle H l'hyperplan orthogonal à D=Vect(u). Comme H et D sont supplémentaires, v s'écrit de manière unique sous la forme v=ku+h, où k est un scalaire et h un vecteur de H.
Le projeté de v est exactement ku (définition de la projection).
Reste à calculer h. En fait, on a <v,u>=k<u,u>+<h,u>=k car u est unitaire et h et u sont orthogonaux.

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6243ff93]

oui c'est bien une projection orthogonale

en fait je cherche a retrouver un resultat (j'avais déjà développé dans un post)
j'ai une relation dA/dt = B^A
je souhaite projeter cette relation dans un plan perpendiculaire à B
mon livre écrit une réponse que je ne comprends pas à savoir
dAp/dt = B^Ap où Ap est la composante de A selon ce plan vertical

si j'ai bien capté il suffit que je multiplie par le produit scalaire des 2 côtés
je suppose que u est un vecteur unitaire de mon axe de projection
dA/dt = B^A devient dA/dt .u= (B^A).u
je suis embété par le terme de droite car je ne sais pas comment le développer à cause de la présence d'un produit vectoriel et scalaire
j'ai regardé sur le net du coté du produit mixte mais je m'en sors pas

merci

[invite14e03d2a]

OK,

tout ce que tu as besoin est dans mon message précédent et dans ton autre post.

Posons u=B/||B|| (je suppose que B est non nul). Alors u est un vecteur unitaire directeur de la droite D engendrée par B. Notons aussi P le plan orthogonal à D.
Tout vecteur s'écrit de manière unique sous la forme v=k(v)u+vp, où k(v) est un scalaire et vp un élément de P et le projeté orthogonal de v sur P est alors vp.

I faut donc calculer les composantes (dA/dt)p et (B^A)p des vecteurs dA/dt et B^A. On a évidemment (dA/dt)p=(B^A)p (*).

Dans un message précédent, quelqu'un affirme (et justifie) que:
1) (dA/dt)p=d(Ap)/dt
2) (B^A)p=B^(Ap)
As-tu compris comment on obtenait ces résultats? Si non, qu'est-ce que tu n'as pas compris?

Alternativement (c'est surement ce qui est fait dans ton livre), on peut calculer k(dA/dt) et k(B^A), puisque vp=v-k(v)u.
Et pour calculer k(v), il faut utiliser mon message précédent qui explique que k(v)=<v,u>.

Cordialement.

[invite6243ff93]

je ne comprends pas tout tes développements mais je pense que je m'en sortirai si j'arrive à comprendre cela

(B^A)p=B^(Ap) ça je ne pige pas

[invite14e03d2a]

On a A=k(A)u+Ap.
Par bilinéarité du produit vectoriel, B^A=k(A)B^u+B^(Ap)
mais B et u sont colinéaires, donc leur produit vectoriel est nul.
D'où B^A=B^(Ap)

Mais B^(Ap) est orthogonal à B donc ce vecteur est dans le plan P.
Par conséquent, B^A est dans le plan P et donc (B^A)p=B^(Ap).