Représentation spectrale

[Brice88]

Bonjour à tous,
Je suis en train de réviser pour mes rattrapages de fin août des mathématiques dites "de Signal".
Dans un exercice (voir énoncé) il est proposé de calculer la transformée de Fourier de la fonction génératrice go(t) valant 1/o (o=> théta) entre o et 2o et 0 ailleurs. J'ai trouvé le résultat (question 3) par les 2 méthodes : normale puis avec les dérivées. (voir pièce jointe)
Seulement après il est demandé de représenter le spectre d'amplitude... Et là je coince, j'ai pensé tout d'abord à un sinus cardinal vu que la forme du signal fait penser à une porte décalée mais je n'arrive pas à faire sortir du résultat de la transformée un sinus cardinal (décalé). D'ailleurs la représentation spectrale d'un sinus cardinal décalé comment est-ce ?
Quelqu'un (ou + ) pourrait-il m'aider svp ?
Merci d'avance.
Brice
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[invite19431173]

Bonjour.

J'ai supprimé le document pdf que tu as mis. Lorsque tu scannes, merci de mettre au format jpg stp, sinon c'est lourd à manipuler !

Pour la modération.

[bratisla]

bonjour,

alors oui, c'est bien une porte décalée - déjà le repérer permet d'éviter des lourds calculs inutiles, c'est bien
ensuite, attention : je renvoie aux propriétés de base de la TF, qui dit qu'un signal décalé en temps va donner un signal déphasé en fréquence. Et que fait un déphasage sur l'amplitude/la norme/le module d'un signal ?

[Brice88]

Re-bonjour,

A benjy_star

Lorsque tu scannes, merci de mettre au format jpg stp, sinon c'est lourd à manipuler !

En effet j'ai essayé mais la taille du jpeg ou gif dépassait la taille maximale autorisée, je corrige ça.


Reprise de l'exercice

je renvoie aux propriétés de base de la TF, qui dit qu'un signal décalé en temps va donner un signal déphasé en fréquence

Euh, oui ! C'est vrai... Déphasé en fréquence voudrait dire que tout le spectre se verrait "glisser" vers les fréquences positives ou négatives selon le signe du déphasage ?

Et que fait un déphasage sur l'amplitude/la norme/le module d'un signal ?

=> ça va le "décaler fréquentiellement ? càd que tout le spectre se verra décalé et que le centre su sinus cardinal va se trouver en (3/2)*o (o=>théta, dsl je ne sais pas faire les lettres grecques sur ce forum) ? Je vous joins mes réflexions sur la question.
En ce qui concerne la moyenne de la fonction génératrice, elle vaut 1 je crois. Dans le spectre, elle sera une raie de hauteur 1 à f=0 ?
@+
Brice

[A voir en vidéo sur Futura]

[TounBreak]

Bonjour,

Tu peux en fait partir de la définition de la TF pour faire ton calcul, je m'explique.

Tu as repéré ton signal rectangulaire décalé (non-centré en 0). La formule de calcul devient donc :

(Nota: moi non plus je sais rien faire sur ce forum 0 représente theta)

intégrale entre 0 et 20 de 1/0 exp(-2*Pi*j*f*t) dt

de ce calcul tu vas trouver un truc qui va te sembler bizarre, en fait en factorisant par une exponentielle (dont l'argumetn est assez simple à trouver) tu remarqueras que tu as juste un sinus cardinale translaté par un exponentielle.

Le détail du claclul est en fait assez lourd vu que je ne sais pas servir des outils du forum pour le moment, mais si jamais tu bloques j'essairai d'être plus clair et de détaillé le calcul.

[Brice88]

Bonjour,
Je crois avoir trouvé le résultat du calcul dont tu me parles (voir message du 4/08/2009 à 17h51, message #4), il y a les détails du calcul dans la pièce jointe "Résolution-Fourier-q°3".
En gros j'ai 1/(2*j*Pi*f*O)*(exp(-2*j*Pi*f*O) - exp(-4*j*Pi*f*O))
De là il est possible de retrouver le sinus cardinal ?
J'ai mis aussi dans les pièces jointes du message #3 un autre truc "Réflexions", c'est en fait des "bidouillages" sur le sinus cardinal mais je pense que c'est faux Enfin j'en sais rien, regarde et dis-moi.
Je vais chercher à extraire ce sinusc. Je te tiens au courant.
@+
Brice

[Brice88]

En fait là je ne vois pas du tout comment retrouver un sinus cardinal rien qu'en factorisant par une exponentielle.
De ce résultat :

1/(2*j*Pi*f*O)*(exp(-2*j*Pi*f*O) - exp(-4*j*Pi*f*O))

(voir le message #4 pièce jointe "Résolution-Fourier-q°3") je ne vois pas comment retrouver ce fameux sinusc. Il y a bien un "2*j" ainsi qu'un "Pi*f*O" au dénominateur mais au numérateur ça se gâte, deux exp mais leurs arguments sont tous les 2 négatifs et ont une constante différente en trop (2 et 4) du coup pour les enlever je ne sais pas comment faire.
Aidez-moi svp !!!
Merci d'avance
@+
Brice

[TounBreak]

Bonjour,
Je crois avoir trouvé le résultat du calcul dont tu me parles (voir message du 4/08/2009 à 17h51, message #4), il y a les détails du calcul dans la pièce jointe "Résolution-Fourier-q°3".
En gros j'ai 1/(2*j*Pi*f*O)*(exp(-2*j*Pi*f*O) - exp(-4*j*Pi*f*O))
De là il est possible de retrouver le sinus cardinal ?

Exact, le travail est quasiment fini. En factorisant par l'angle moitié tu verras apparaître ton sinus cardinal.

[Brice88]

Tu veux dire qu'il faut factoriser le numérateur par exp(0,5*j*Pi*f*O) ?
Il va rester un problème avec exp(-4*j*Pi*f*O) non ?

[TounBreak]

Tu veux dire qu'il faut factoriser le numérateur par exp(0,5*j*Pi*f*O) ?
Il va rester un problème avec exp(-4*j*Pi*f*O) non ?

Et non, parce que tu ne factorise pas par la bonne exponentielle :

Fait apparaître dans ta formule exp(-3*j*Pi*f*O).
Tu verras donc (exp(j*Pi*f*O)-exp(-j*Pi*f*O)), ton sinus est bien présent.
En clair, tu as factorisé par l'angle moitié, soit la demi somme des arguments de chacune de tes exponentielles de bases : (-2*Pi*j*f*O -2*Pi*j*f*2O )/2 = -3*j*Pi*f*O => l'argument de ton exponentielle en facteur.

J'espère que c'est assez compréhensible.

[Brice88]

Oui !!!! Je comprends. Merci pour cette info !
Excuse cette apathie mais j'ai des difficultés en maths, je n'ai pas fait S ni prépa pour être dans cette école d'ingénieurs.
Une fois la factorisation trouvée, cela va donc faire, fréquentiellement parlant, un sinus cardinal dont le maximum est en 3O ?
@+
Brice

[TounBreak]

Oui !!!! Je comprends. Merci pour cette info !
Excuse cette apathie mais j'ai des difficultés en maths, je n'ai pas fait S ni prépa pour être dans cette école d'ingénieurs.
Une fois la factorisation trouvée, cela va donc faire, fréquentiellement parlant, un sinus cardinal dont le maximum est en 3O ?
@+
Brice

C'est vrai que c'est pas forcement évident à manipuler si tu ne l'a jamais fait.

Le maximum d'un sinus cardinal est en zéro.
Ensuite, tu sais d'apres ton cours que la translation est due à la convolution de la fonction par un Dirac noté delta(f-f₀).
Pour avoir un sinus cardinal centré en 3O au lieu de 0, il aurait fallu avoir une convolution par delta(f-3O) or nous avons une simple multiplication par exp(-j*Pi*f*3O), tu ne translates en aucun cas ton sinus cardinal sur l'axe des fréquences.

Le maximum de ton sinus cardinal n'est pas en 3O.

[Brice88]

Hmm, je suis allé un peu vite je crois.
Je trouve bien l'argument moitié à -3*j*Pi*f*O mais les arguments des exp de la parenthèse : (exp(-2*j*Pi*f*O) - exp(-4*j*Pi*f*O), que deviennent-ils ?

[Brice88]

La somme des arguments doit refaire -6*j*Pi*f*O.
Mais la somme des arguments de exp(-3*j*Pi*f*O)/(2*j*Pi*f*O)*[exp(j*Pi*f*O) - exp(-j*Pi*f*O)]
(le résultat à trouver ?), fait 0 (zéro) .
C'est ça ?

[TounBreak]

Hmm, je suis allé un peu vite je crois.
Je trouve bien l'argument moitié à -3*j*Pi*f*O mais les arguments des exp de la parenthèse : (exp(-2*j*Pi*f*O) - exp(-4*j*Pi*f*O), que deviennent-ils ?

Tu factorises par l'exponentielle angle moitié, tu as donc exp(-3*pi*j*O*f) *( exp X - exp -X) = exp(-2*j*pi*f*O) - exp(-4*j*pi*f*O).

Le but de l'angle moitié est de te faire apparaître une différence d'exponentielle d'argument opposé (un sinus en fait).

A toi de trouver X.

[Brice88]

Je fais ça et je te redis !

[Brice88]

J'ai trouvé ! :
exp(-3*j*Pi*f*O)/(2*j*Pi*f*O)*[exp(j*Pi*f*O) - exp(-j*Pi*f*O)].
Merci !

Le maximum d'un sinus cardinal est en zéro.
Ensuite, tu sais d'après ton cours que la translation est due à la convolution de la fonction par un Dirac noté delta(f-f0).
Pour avoir un sinus cardinal centré en 3O au lieu de 0, il aurait fallu avoir une convolution par delta(f-3O) or nous avons une simple multiplication par exp(-j*Pi*f*3O), tu ne translates en aucun cas ton sinus cardinal sur l'axe des fréquences.

Le maximum de ton sinus cardinal n'est pas en 3O.

C'est vrai, je m'étais précipité je crois .
En fait, comme tu l'as fait remarquer plus haut, le sinus cardinal (sinc(Pi*f*O)) va se trouver translaté par l'exponentielle en facteur (exp(-3*j*Pi*f*O)). Par contre je ne sais pas du tout, que ce soit dans le domaine temporel ou fréquentiel, représenter la "translation d'une fonction par une exponentielle" qui est complexe pour cette application.

[TounBreak]

J'ai trouvé ! :
exp(-3*j*Pi*f*O)/(2*j*Pi*f*O)*[exp(j*Pi*f*O) - exp(-j*Pi*f*O)].
Merci !

Je ne comprend pas pourquoi il te reste encore (2*j*Pi*f*O), il devrait disparaître ...

C'est vrai, je m'étais précipité je crois .
En fait, comme tu l'as fait remarquer plus haut, le sinus cardinal (sinc(Pi*f*O)) va se trouver translaté par l'exponentielle en facteur (exp(-3*j*Pi*f*O)). Par contre je ne sais pas du tout, que ce soit dans le domaine temporel ou fréquentiel, représenter la "translation d'une fonction par une exponentielle" qui est complexe pour cette application.

Non le sinc n'est pas translaté, le fait de multiplier le sinc par une exponentielle complexe ne translate pas la fonction.

Deuxième point important, on te demande le spectre d'amplitude de ton signal. Le spectre d'amplitude que l'on appelle par abus de langage le spectre, est en fait le module de G(f), |G(f)|.
L'écriture sous forme de sinus cardinal produit d'une exponentielle te permet de faire sortir simplement ton spectre comme la simple valeur absolue du sinsus cardinal. Voilà tout l'interêt du calcul précédent.

Enfin, la représentation t'est demandée sous forme temporelle, non fréquentielle.

A toi de jouer maintenant.

[Brice88]

Je ne comprend pas pourquoi il te reste encore (2*j*Pi*f*O), il devrait disparaître ...

En effet j'ai mal détaillé : je trouve
exp(-3*j*Pi*f*O)/(2*j*Pi*f*O)*[exp(j*Pi*f*O) - exp(-j*Pi*f*O)]
ce qui donne exp(-3*j*Pi*f*O)*sinc(Pi*f*O).

Le spectre d'amplitude que l'on appelle par abus de langage le spectre, est en fait le module de G(f), |G(f)|.
L'écriture sous forme de sinus cardinal produit d'une exponentielle te permet de faire sortir simplement ton spectre comme la simple valeur absolue du sinsus cardinal. Voilà tout l'interêt du calcul précédent.

Le spectre ne serait donc "qu'un" sinus cardinal de hauteur 1 en 0 (zéro) et de période 1/O (Théta ce coup-ci) ?

[TounBreak]

En effet j'ai mal détaillé : je trouve
exp(-3*j*Pi*f*O)/(2*j*Pi*f*O)*[exp(j*Pi*f*O) - exp(-j*Pi*f*O)]
ce qui donne exp(-3*j*Pi*f*O)*sinc(Pi*f*O).

Au temps pour moi, j'avais mal lu, la première partie est bonne.

Le spectre ne serait donc "qu'un" sinus cardinal de hauteur 1 en 0 (zéro) et de période 1/O (Théta ce coup-ci) ?

Ca m'en a tout l'air !

[Brice88]

Ok, merci !!!
Pour la fin (q°4 & 5), ils "périodisent" le signal.
La série de Fourier va donc se déduire à partir de la transformée trouvée précédemment et le "spectre d'amplitude" se construira avec les coefficients "Ck". Grosso modo, ce sera encore un sinus cardinal centré en zéro mais de valeur max différente.
Valides-tu ?
Merci beaucoup en tout cas, tu m'as permis de démystifier certaines choses !
@+
Brice

[TounBreak]

Ca semble correct j'ai pas poussé ma recherche plus loin.

Pour la derniere question, le peigne de Dirac, je pense qu'il faut le voir comme une suite de rectangle dont la largeur tend vers 0 (zéro), ce qui parait logique vu qu'il est demandé de périodiser la fonction rectangulaire, tu créés ainsi un peigne de Dirac.

A approfondir ...
Il ne faut pas tout faire la même journée, nous sommes quand même en vacance -enfin presque-

[Brice88]

Bonjour,

nous sommes quand même en vacance -enfin presque-

Tu as raison, c'est pourquoi hier je me suis pris une pause.
Ceci dit pour moi ce ne sont que des demi-vacances, je fais des maths en ce moment
car je révise pour mes rattrapages qui tombent fin août.
Je vais me pencher sur autre chose aujourd'hui.
Pourrais-je te re-solliciter en cas de pépin sur ces histoires de spectre ?
Merci encore pour hier en tout cas !
@+
Brice