Integrale de chemin avec des variables de Grassmann

[invite69d38f86]

Bonsoir

Quelqu'un aurait il le début d'une idée concernant les formules


concernant les variables de Grassmann?
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[invite4ff2f180]

Bonjour,
regardez la page sur wikipedia pour une introduction sommaire : http://en.wikipedia.org/wiki/Grassmann_number

[invite69d38f86]

J'avais lu cet article.
Je ne vois pas l'origine de ces deux formules ce qui n'est pas forcément tres grave. Mais je ne vois surtout pas leur nécessité. Pour être cohérent avec quoi?

[invite4ff2f180]

Bonjour,
puisque l'on introduit de nouveaux objets (variables grassmaniennes), il faut redéfinir les opérations qui agissent sur ces objets. Le premier opérateur que l'on définit est l'opérateur dérivation, en particulier on définit : (d/dtheta)theta = 1 (par analogie avec l'opérateur dérivation habituel). Ensuite on souhaite définir l'opérateur d'intégration, on demande à cet opérateur d'obéir aux règles habituelles des opérateurs de dérivation, à savoir : (1) linéarité, (2) invariance par translation et (3) le fait que la primitive de la dérivé est nulle (en tout cas en physique car on considère des fonctions qui décroissent suffisamment vite aux bornes, généralement prises en +/- infini).

l'invariance par translation implique la première de vos formules (en fait la propriété (3) aussi). Ensuite il reste à définir la deuxième intégrale. Par convention, on la normalise à l'unité. Il faut ensuite généraliser tous ces résultats à des fonctions à plusieurs variables.

Par cohérence, je veux dire qu'il faut vérifier que les opérations ainsi définies existent bien au niveau mathématique (et en particulier que l'opérateur est bien défini de manière unique). A priori, ce n'est pas évident, surtout pour les fonctions à plusieurs variables.

j'imagine que vous voulez utiliser ces variables en théorie des champs, ces explications devraient alors être suffisantes, si vraiment vous souhaitez approfondir ce domaine, vous pouvez consulter des cours de maths (intégration de Berezin).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d38f86]

Il va falloir effectivement que je regarde de près cette intégrale de Berezin.
l'intégration sur des variables réelles et des Grassmann mêle des propriétés de "vraie" intégration à des choses ayant des propriétés de dérivation et qu'on appelle qd meme integration.
C'est en çà que je cherchais une cohérence.
Meilleurs voeux

[invite4ff2f180]

Bonjour,
je ne comprends pas trop votre phrase, les opérateurs d'intégration/dérivation sont différents selon qu'ils s'appliquent sur des variables réelles ou sur des variables de Grassmann (ils n'agissent pas sur les même espaces). Mathématiquement, on définit les opérateurs de dérivation/intégration sur les variables de Grassmann se sorte qu'ils obéissent aux règles habituelles (c'est un peu la même méthode que l'on utilise pour définir les opérateurs de dérivée covariante dans un espace courbe : on lui demande de respecter certaines propriété : linéarité, règle de Leibniz ...). Il s'avère ensuite que dans le cas des variables de Grassmann ces deux opérateurs sont en fait "les même", ce qui est dû au caractère anti-commutant.
Meilleur voeux à vous aussi.

[invite4ff2f180]

Bonjour,
je ne comprends pas trop votre phrase, les opérateurs d'intégration/dérivation sont différents selon qu'ils s'appliquent sur des variables réelles ou sur des variables de Grassmann (ils n'agissent pas sur les même espaces). Mathématiquement, on définit les opérateurs de dérivation/intégration sur les variables de Grassmann se sorte qu'ils obéissent aux règles habituelles (c'est un peu la même méthode que l'on utilise pour définir les opérateurs de dérivée covariante dans un espace courbe : on lui demande de respecter certaines propriété : linéarité, règle de Leibniz ...). Il s'avère ensuite que dans le cas des variables de Grassmann ces deux opérateurs sont en fait "les même", ce qui est dû au caractère anti-commutant.
Meilleur voeux à vous aussi.