[Mécaflu] Expansion homogène d'une sphère

[thejoker]

Bonjour,
Je suis en train de faire un exercice de mécaflu d'un livre pour m'entraîner, malheureusement la correction n'est pas détaillée et je bute sur la première question.

On considère une sphère de rayon R(t), de masse constante M, dont le centre O est fixe dans le référentiel d'étude. On admet que lorsque R(t) évolue, cette sphère reste homogène et l'on désignera par µ(t) sa masse volumique.
Soit P un point fixe de l'espace repéré par r = OP = re_r et v(r,t) la vitesse de l'élément de fluide de la sphère qui, à l'instant t, occupe le point P.
On admettra que le mouvement du fluide est radial : v(r,t) = v(r,t)e_r.

La première question, sur laquelle je bloque déjà (ça promet pour le concours ), est :

Exprimer le champ des vitesses v(r,t) à l'aide de r, e_r, de la fonction R(t) et de sa dérivée par rapport au temps.

La réponse donnée à la fin du livre est : v(r,t) = r(R'/R)e_r
(Je note R' la grandeur "R point", ie. dR/dt).

Or, ce n'est pas ce que je trouve. Voici ce que j'aurais répondu :

Équation de continuité :
µ.div(v) + Dµ/Dt = 0

avec

• µ(t) = 3M/4πR³
• div v = 1/r² d(r²v_r)/dr = dv/dr + 2v/r
• Dµ/Dt = (v.grad)µ + dµ/dt = dµ/dt = -9M/4π R'/R⁴

3M/4πR³ (dv/dr + 2v/r) - 9M/4π R'/R⁴ = 0

dv/dr + 2v/r = 3R'/R

Solution de l'équadiff sans second membre :
v₁(r) = K/r²

Solution particulière v₀ sous forme d'une constante :
2v₀/r = 3R'/R
soit v₀ = (3/2)(R'/R)r

Solution totale :
v(r,t) = K/r² + (3/2)(R'/R)r

Détermination de la constante d'intégration K :
Vu la tête de la réponse attendue, il ne doit pas y avoir ce terme en 1/r², donc j'imagine qu'on dit que K=0 car sinon v tend vers l'infini en O...

Donc il me reste :
v(r,t) = (3/2)(R'/R)r e_r

J'ai donc un facteur 3/2 qui ne devrait pas être là, mais j'ai beau refaire mon calcul plusieurs fois, je ne vois pas ce qui ne va pas. Quelqu'un aurait-il repéré mon erreur ?

Merci beaucoup par avance !
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[invite520fd9da]

Bonjour,

tout d'abord d'après mes souvenirs de prépa, l'equation de conservation de la masse est plutot

div(µV)+d(µ)/dt=0
donc
µdiv(v)+d(µ)/dt=0 avec une dérivée ronde et non particulaire.

Ensuite j'aurais plutot utilisé la conservation du debit massique
µvS=conste sur une sphère de rayon r

v*r^2=R'*R^2 (en r=R)

il me semble difficile que la vitesse soit linéaire en r étant donné que la masse ejectée d'une sphère de rayon r doit être constant

Pour moi la réponse est fausse

et justement en r=0 la vitesse doit tendre vers l'infini mais le modèle n'est plus valable a cet endroit

Enfin dans ton calcul de la solution particulière celle que tu trouves est non constante dv/dr différent de 0

dans ce genre de problème utilise plutot conservation du débit

bonne chance pour tes concours

[thejoker]

tout d'abord d'après mes souvenirs de prépa, l'equation de conservation de la masse est plutot
div(µV)+d(µ)/dt=0
donc
µdiv(v)+d(µ)/dt=0 avec une dérivée ronde et non particulaire.

Les deux formules sont en fait équivalentes (d'après une formule d'analyse vectorielle sur div(S_calV_ect)). Bref, le problème n'est pas là, nous sommes d'accord sur ce point : µ.div(v) + dµ/dt = 0, puisque µ est uniforme à l'instant t.

Ensuite j'aurais plutot utilisé la conservation du debit massique
µvS=conste sur une sphère de rayon r
v*r^2=R'*R^2 (en r=R)

Là je ne suis pas d'accord : il n'y a conservation du débit massique que pour un écoulement stationnaire. Ce n'est pas un écoulement stationnaire ici ! (d/dt ≠ 0).

Pour moi la réponse est fausse

Pourtant dans les questions suivantes, les réponses se basent toujours sur cette expression de v(r,t), donc il y a peu de chance qu'il s'agisse d'une erreur de frappe...

Enfin dans ton calcul de la solution particulière celle que tu trouves est non constante dv/dr différent de 0

Ah oui en effet... Mais alors comment trouver la solution particulière de cette équadiff ??

bonne chance pour tes concours

Merci...

[thejoker]

Effectivement l'erreur vient de la solution particulière de l'équadiff.

Je viens de demander à ma calculatrice de résoudre l'équadiff

y'(x) + 2y(x)/x = 3A

et la réponse est y(x) = Cste/x² + Ax.

La solution particulière est donc Ax, et non pas (3/2)Ax, comme je l'avais trouvée à la main...
Mais alors comment trouver la solution particulière de cette équadiff (sans "tricher" avec une calculatrice) ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[thejoker]

Bon, en fait je pense qu'il faut avoir l'intuition de chercher la solution particulière sous la forme y(x) = Bx, avec B une constante, et on voit en l'injectant qu'il faut que B = A... Vive les maths...

(désolé pour les multiples messages à la suite, on n'a pas le droit d'éditer ses messages passées 5 minutes...)

[invite520fd9da]

ouh lala en effet la conservation du débit massique c'est n'importe quoi, du coup l'énoncé peut être bon il n'y a plus d'incohérence sur ce point.

pour l'équation différentielle, je suis pas sur qu'on puisse bien justifier la suppression de la solution générale mais admettons.

on a v(r,t)=A(t)r

donc conditions aux limites : v(R,t)=R'(t)=A(t)*R

on a donc A(t)=R'/R

bizarre comme première question ca vient de ou ?

[thejoker]

Dans le Faroux-Renault de mécaflu (il n'est plus édité)...