Electromagnétisme : distribution de charge surfacique dépendant de thêta

[DarK MaLaK]

Bonsoir, j'ai un problème pour démarrer un problème d'électromagnétisme. J'ai une sphère chargée de densité surfacique de charge :



Du coup, la sphère est chargée positivement d'un côté et négativement de l'autre, et l'étude des invariances et symétries n'a pas l'air très concluante pour utiliser le théorème de Gauss.

J'ai tenté de calculer directement la charge avec la densité surfacique mais je tombe sur un résultat improbable, à moins qu'il traduise l'antisymétrie... :



Voilà, je trouve zéro en intégrant ça et je ne suis pas plus avancé pour calculer le champ...

J'aimerais que quelqu'un me dise quelles méthodes peuvent être utilisées pour démarrer.

Merci.
-----

[LPFR]

Bonjour.
Le problème n'est pas assez symétrique pour pouvoir utiliser le Théorème de Gauss. Il faut calculer le champ ou le potentiel en intégrant les effets de chaque petit bout de charge sur la surface.
Ce que vous savez est que le champ doit avoir une symétrie axiale, comme la charge de la sphère.
Si vous intégrez la charge vous trouvez zéro. Réjouissez-vous! Ça veut dire que vous ne vous êtes pas trompé. La charge totale est bien nulle.
Ce qu'il intégrer c'est le champ ou le potentiel. (dq/εr²).
Mais, en tenant compte des directions. Heureusement, par symétrie, vous savez que le champ doit être contenu dans des plans contenant l'axe de symétrie. Ce qui vous permet de ne calculer que les composantes radiales et tangentielles.
J'imagine que vous avez des hypothèses simplificatrices. Du genre calcul à une distance très grande comparé au rayon de la sphère. Ou dans l'axe de symétrie.
Si vous ne les avez pas, bon courage. Car je ne suis pas sûr que les intégrales soient intégrables.
Au revoir.

[DarK MaLaK]

Bonjour, il n'y a aucune hypothèse simplificatrice mais le résultat est simple, apparemment. J'ai seulement les notes de cours de quelqu'un : la méthode présentée est un peu "étrange".

On assimile notre problème à celui du champ dans deux sphères de charges opposées légèrement décalées et de charges opposées. On note L la distance entre les deux. En partant du centre (qui a l'air d'être le barycentre entre O1 et O2, le milieu des deux centres des sphères sur la figure), on crée un triangle rectangle entre les deux sphères... (un point à l'intersection avec la première, un autre à l'intersection avec la seconde, et le dernier point est créé de sorte que la longueur de l'hypoténuse soit L).

On écrit donc :



Par identification (a est le rayon de la sphère, je ne sais plus si je l'ai précisé) :



De là on conclut que les deux modèles sont équivalents. Petite question : du moment qu'on trouve une relation de ce type en changeant de modèle, on peut conclure à l'équivalence des deux modèles ?

Et donc, là je crois qu'on utilise le principe de superposition pour trouver le champ à l'intérieur, au point P :



On conclut :



Et voilà pour ceux que ça intéresse. Si vous avez d'autres méthodes à proposer, des commentaires sur celle-ci, ou une réponse à ma question, n'hésitez pas à intervenir.

[LPFR]

Bonjour.
Oui, effectivement, je n'avais pensé à l'astuce de deux sphères décalées.
Si elles n'étaient pas décalées, la charge serait nulle partout. Avec un petit décalage, on au une épaisseur de charge variable suivant l'endroit de la surface. Au lieu d'une vraie charge de surface on a une charge de volume avec un volume qui a une forme de coquille d'épaisseur variable. Comme cette épaisseur est très petite partout, c'est l'équivalent d'une charge de surface.
On a "fabrique" une charge de surface similaire à celle de l'énoncé, même si elle n'est pas vraiment de surface.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[doul11]

Bonjour,

C'est un dipôle électrique, mais on ne peut faire ce calcul que si la distance entre les pôles est négligeable devant la distance on veut déterminer le champ, non ?

[LPFR]

Bonjour,

C'est un dipôle électrique, mais on ne peut faire ce calcul que si la distance entre les pôles est négligeable devant la distance on veut déterminer le champ, non ?

Bonjour.
Dans ce cas-ci, on peut choisir la distance aussi petite que l'on veut en augmentant la densité de charge volumique des sphères.
Au revoir.