Bonjour,
J'essaie en vain de trouver une démonstration de l'invariance dans le temps des équations de Newton, et cela, sans faire appel aux concepts d'énergie totale et d'énergie potentielle.
J'aimerais en fait montrer explicitement que les équations de Newton, en commençant par un système composé d'un seul point, sont indépendante du temps.
Quelqu'un pourrait-il m'aiguiller svp ?
Bonne journée !
Si on prend l'équation F = m a et que F ne contient pas explicitement le temps mais dépend du point considéré, alors le mouvement se reproduira à l'identique si on lâche le point du même endroit à la même vitesse, que cela se passe aujourd'hui ou demain.
C'est ça l'invariance dans le temps. Ce n'est pas toujours le cas car F peut dépendre du temps.
Il s'agit d'un problème tiré du livre "Mathematical Methods of Classical Mechanics" de V.I. Arnold chez Springer-Verlag.
Son énoncé est le suivant :
"Show that if a mechanical system consists of only one point, then its acceleration in an inertial coordinate system is equal to zero (Newton's first law)"
Je pensais montrer que l'équation de Newton est dans un premier temps indépendante du temps, puis dans un second temps indépendante des vecteurs position et vitesses, puis enfin montrer qu'elle est invariante par rotation dans l'espace euclidien.
Comment peut on montrer cela rigoureusement? des pistes ?
Plus généralement, comment montre-t-on que si une équation différentielle d²x/dt²=F(x, dx/dt, t) est invariante par une transformation des variables x ou t, alors est-elle indépendante de ces variables ?
Si un système n'est composé que d'un point, il ne peut interagir avec rien, donc la force qui s'exerce sur lui est nulle et son accélération aussi.
C'est un peu tordu comme approche, mais je n'en vois pas d'autre !
C'est facile de montrer que ma=0 est invariant par reparamétrisation du temps.
Si F n'est pas nulle, et si F ne dépend pas explicitement de t, je crois que tu arrive a ce que l'équation est invariante par un changement linéaire du genre : t--->t1=at+b
Pour le montrer proprement, je ne vois pas a part en passant par le lagrangien et l'action...
Bonjour,
Cela me fait penser à un raisonnement du Landau : l'homogénéité de l'espace-temps dans les référentiels galiléens implique l'invariance du lagrangien par translation dans l'espace et dans le temps, c'est-à-dire que le lagrangien est indépendant du temps et du vecteur position ; puis l'isotropie de l'espace implique que le lagrangien est invariant par rotation, c'est-à-dire qu'il ne dépend pas de la direction du vecteur vitesse, mais seulement de la norme, c'est-à-dire du carré du vecteur vitesse. On a donc le lagrangienIl s'agit d'un problème tiré du livre "Mathematical Methods of Classical Mechanics" de V.I. Arnold chez Springer-Verlag.
Son énoncé est le suivant :
"Show that if a mechanical system consists of only one point, then its acceleration in an inertial coordinate system is equal to zero (Newton's first law)"
Je pensais montrer que l'équation de Newton est dans un premier temps indépendante du temps, puis dans un second temps indépendante des vecteurs position et vitesses, puis enfin montrer qu'elle est invariante par rotation dans l'espace euclidien.. Comme
If your method does not solve the problem, change the problem.
Oui c'est ce genre de raisonnement que je souhaiterais faire pour résoudre ce problème :
Soit un point M en mouvement dans un espace euclidien de dimension 1 muni d'un système de coordonnées galiléen.
Soit x=x(t) avec x0=x(0) et v0=dx/dt(0) son mouvement.
L'équation qui détermine son mouvement est l'équation de Newton : d²x(t)/dt² = F(x, dx(t)/dt, t).
Je veux montrer les contraintes imposées par le principe de relativité galiléenne impose à F une certaine forme, et que cette forme est F(x, dx/dt, r)=0 pour une système mécanique composé d'un seul point.
Ainsi on doit avoir :
1) invariance par translation du temps => F(x, dx/dt, t)=F1(x, dx/dt)
2) invariance par translation => F1(x, dx/dt)=F2(0,0) (je crois ?)
3) invariance par rotation =>F2(0,0)=0
Donc d²x(t)/dt²=0.
J'aimerais bien éclaircir ce point qui est certes intuitif, mais pas rigoureux selon moi, et surtout dans le cas de l'équation de Newton, sans passer par un lagrangien.l'homogénéité de l'espace-temps dans les référentiels galiléens implique l'invariance du lagrangien par translation dans l'espace et dans le temps, c'est-à-dire que le lagrangien est indépendant du temps et du vecteur position
Peut être par la géométrie de l'espace et du temps c'est à dire par la notion de groupe. Une piste.Envoyé par The Artist
Patrick
Après deux jours de réflexion dans le bus et à la maison, je crois que j'ai trouvé une solution(enfin j'espère !) pour l'invariance par translation du temps :
(désolé de ne pas utiliser latex)
Invariance par translation du temps t->t+dt signifie que "les lois de la nature restent les mêmes", c'est-à-dire que si x=x(t) est une solution de l'équation de Newton, alors quelque soit dt, x=x(t+dt) est aussi une solution.
Ainsi on a F(x, x', t)=F(x, x', t+dt) ce qui revient à F(x,x',t+dt)-F(x,x',t)=0.
On divise par dt et on prend la limite quand dt->0 et on obtient :
dF(x,x',t)/dt=0
D'où la conclusion : x''=F(x,x')
Qu'en pensez vous ?
Bonjour,
je ne comprend pas d'où vient le "d'où la conclusion : x"=F(x,x')" ? (Et quel est le rapport avec l'exercice qui t'es donné dans ton livre ?)
Quant à ton problème initial, il faut faire attention. Il y a 2 choses : la question de ton livre, et la façon dont les lois de Newton ont été énoncées.
En général, on ne doit surtout pas utiliser la deuxième loi de Newton pour en déduire la première. La 1ère loi de Newton possède un sens plus profond qu'une simple conséquence de la 2nde, car c'est elle qui définie la notion de repères galiléens, repères où la 2nde loi pourra s'appliquer.
La question donne l'impression qu'il faut utiliser la 2nde loi alors que ce n'est pas le cas. Les mots importants dans la question sont "initertial coordinate system". Tout point matériel qui possède des coordonnées galiléennes, c'est-à-dire auquel il est possible d'attacher un repère galiléen(inertiel) suivra une trajectoire invariante par les transformations de Galilée, qui ne font qu'exprimer l'homogénéité, l'isotropie et l'invariance dans le temps de l'espace-temps classique
La définition mathématique d'une fonction dérivée comme limite du taux d'accroissement et l'application des théorèmes sur les limites imposent à F(x,x',t) la forme la plus générale G(x,x'). (pardon pour l'erreur de notation).je ne comprend pas d'où vient le "d'où la conclusion : x"=F(x,x')" ? (Et quel est le rapport avec l'exercice qui t'es donné dans ton livre ?)
En effet si df/dx = 0 alors f(x) =cte donc indépendante de x.
Le rapport avec l'exercice donné dans le livre est expliqué dans le post de 14h03, c'est l'étape 1) de mon raisonnement.
Je pense que l'auteur veut montrer à l'étudiant (c'est un livre sur les méthodes mathématiques de la mécanique classique) que les conséquences du principe de relativité galiléenne (principe plus fondamentale selon moi que la 1ere lois de Newton) imposent à la 2nde loi de Newton de respecter la 1ère loi dans le cas d'un seul point.
Schématiquement, on a :
principe de relativité => 1ere loi de Newton <-> 2ème loi de Newton
Un truc comme ça !
pour ça il n'y a pas de problème, je suis au courant ! Mais c'est évident que si tu pars du principe que F(t)=F(t+dt), alors tu trouves dF/dt=0. Tu n'as donc rien montrer.
Je pars, mon prémisse est un postulat, du principe de relativité galiléen :
Est ce le "c'est-à-dire" qui pose problème ? ou la proposition p ? ou q ?Invariance par translation du temps t->t+dt signifie que "les lois de la nature restent les mêmes"(=p), c'est-à-dire que si x=x(t) est une solution de l'équation de Newton, alors quelque soit dt, x=x(t+dt) est aussi une solution (=q).
Le principe de relativité de Galilée nous dit que les lois de la mécanique sont invariantes dans tous les repères inertiels(expérience du navire naviguant à vitesse constante). Ce principe, à priori, ne doit pas parler des lois de Newton, car justement Galilée ne les connaissait pas ! Le principe de relativité, que tu cites, est posé à posteriori des lois de Newton. Tu vois bien qu'on tourne en rond !
La question de ton livre stipule bien que tu dois déduire la 1ère loi de Newton.
Donc on dira que si un point matériel est immobile dans un repère inertiel R' (la résultante des forces extérieures qu'il subit est nulle), son accélération est manifestement nulle. En vertue du principe de relativité, R' se déplaçant à une vitesse V constante par rapport à un autre repère inertiel R, sont accélération dans R vaut également 0(m/s²). R' et R étant en translation rectiligne uniforme, les vecteurs forces que subit le point matériel dans R' sont inchangées dans R.
On en conclue qui si la somme vectorielle des forces agissant sur un point matériel dans un référentiel galiléen R est égale au vecteur nul, alors sa vitesse est constante(qu'elle soit nulle ou pas).
Une semaine plus tard. Je reste toujours sur ma faim.
Je pense que l'hypothèse "a mechanical system consists of only one point" est tout à fait essentielle à ce problème.
Autrement dit, si le système consiste en deux points ou plus, notre conclusion, la 1ère loi de Newton, ne pourra plus être démontrée avec cette hypothèse.
Cela dit, ton hypothèse :
n'est rien d'autre que ce que nous voulons démontrer.si un point matériel est immobile dans un repère inertiel R' (la résultante des forces extérieures qu'il subit est nulle), son accélération est manifestement nulle.
Vraisemblablement nous conjuguons le verbe tourner en rond.
Non, non je ne cherche pas la petite bête.
Par ailleurs, mon raisonnement mathématique est faux :
J'ai dit que F(x, x', t)=F(x, x', t+dt) or il s'agit de la relation : F(x, x', t)=F(x(t+dt), x'(t+dt), t+dt).
Du coup, je ne sais pas ce que donne la limite lorsque dt->0, du quotient mentionné dans mon précédent post.
Une idée?
En effet c'est essentiel, mais uniquement pour se placer dans le cadre de la mécanique du point. Si un système matériel se résume à un point matériel, d'une part il ne peut s'appliquer que des forces extérieures sur ce point et d'autre part, elles sont forcément concourentes. Cela n'est pas le cas dans le cadre de la mécanique du solide, où le notion de moment de force intervient(on utilise alors tout l'attirail des torseurs). Dernier point, il y a conservation de la masse au cours du mouvement.
Cette hypothèse est démontrée par le fait que l'on considère un point matériel justement ! Il est évident que si un objet est au repos(accélération manifestement nulle) dans un référentiel(en l'occurence, inertiel), la somme des forces extérieures qu'il subit est égale au vecteur nul, ces forces étant concourentes(pas de moment de force qui pourrait éventuellement faire tourner l'objet sur lui-même). Par contre ce qui est moins évident, c'est de montrer que même si l'objet est en mouvement rectiligne uniforme, alors la somme de ces forces est encore nulles, et c'est bien ce que j'ai montré dans mon message précédent.Cela dit, ton hypothèse :
n'est rien d'autre que ce que nous voulons démontrer.si un point matériel est immobile dans un repère inertiel R' (la résultante des forces extérieures qu'il subit est nulle), son accélération est manifestement nulle.
Donc, pour moi aucune ambiguïté. Le problème est résolue.
Il est également clair, qu'il n'y a pas besoin de vouloir démontrer l'invariance temporelle des forces, car on sait bien qu'un vecteur, ou même une somme de vecteurs, est invariant par transport parallèlle, ce qui est la cas notamment lors d'un mouvement rectiligne uniforme. Pas besoin donc d'équations mathématiques ici. Un simple raisonnement logique, basé sur le fait que le système soit un point matériel et en vertue du principe de relativité, permet de résoudre le problème.
L'invariance dans le temps de F=m.a signifie(me semble t-il) que si on applique une même force F à un objet de même masse m, l'accélération produite(principe de cause à effet) ne dépend pas de l'instant où on fait l'expérience ou, mathématiquement parlant, de l'origine temporelle choisie. Le fait d'utiliser des dérivées qui sont des opérations "locales" fait donc que par définition l'origine des temps choisie n'influe pas sur les grandeurs physiques(en dehors du temps lui-même): si a(t)=(x(t))'' alors a(t+T)=(x(t+T))''. Pour démontrer l'invariance dans le temps de cette formule, il n'est pas nécessaire d'aller plus loin. Par contre, l'utilisation d'intégrales(x=Int''(F/m)) conduit à la nécessité de connaitre les conditions initiales de l'expérience , par exemple x(t0) ou v(t0).
La curiosité est un très beau défaut.
