mecanique quantique : paquet gaussien

[invite3bd4c002]

bonjour,
je suis en train d'essayer de calculer la valeur moyenne de x pour un paquet gaussien et je n'arrive pas à trouver le résultat attendu (x0).
il s'agit à priori d'une bête intégration par partie mais je ne vois pas ou je fais une erreur :

psy(x) = C exp (-i p0 x/hbar) exp(-(x-x0)²/2a²)
où C=1/(pi a²)^(1/4)

avec ||psy||²=1

on veut calculer <x>, ie integrale (x.|psy|²dx)

par intégration par partie, cela donne
<x>=[x]-int(1dx)=0???

merci de votre aide, je ne vois pas du tout où je fais une erreur...
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[invite4ff2f180]

Bonjour,
le plus simple est de faire le changement de variable y = x-x0, tu obtiens alors deux termes : un en "y * gaussienne_centrée_en_0 * dy" qui donne 0 car la fonction est impaire et un terme en "x_0 * gaussienne_centrée_en_0 * dy" qui va te donner x_0.
Cordialement,

[invite69d38f86]

tu as des éléments de réponse ici

[invite3bd4c002]

merci beaucoup...

toutefois, si je comprend comment on fait le calcul, je ne comprends pas pourquoi on choisit ce changement de variables et pourquoi ça na "marche pas" sans.

je dois calculer par la suite <x²>, <p> et <p²>, et je me retrouve dans une situation similaire, puisque je ne vois pas comment on effectue le changement de variable...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3bd4c002]

alovesupreme : je te remercie, mais j'ai déjà fouillé sur internet (dont wikipedia) et ça ne m'a pas aidé. je ne suis pas familière avec ces notions et j'essaie de les apprivoiser par moi-même, du coup, j'ai pas mal de blocages...

[invite93279690]

merci beaucoup...
toutefois, si je comprend comment on fait le calcul, je ne comprends pas pourquoi on choisit ce changement de variables et pourquoi ça na "marche pas" sans.

Tout simplement parce qu'on sait que

et donc on se ramène à une situation qu'on connait...c'est ça le but d'un changement de variable .

[invite3bd4c002]

oui sans doute, mais je connais déjà la solution de int|psy|²dx qui vaut 1 par définition. donc dans mon calcul, je n'aurais pas besoin de changement de variables...

et de toute façon, 'en utilisant ce même cgt de variables, je ne peux pas trouver <x²>, <p> ou <p²>...

[invite4ff2f180]

Bonjour,
si avec le même changement de variables, tu peux calculer les autres ...
Bon effectivement il y a parfois deux lignes de calcul.

[invite3bd4c002]

je suis désolée, jeme sens vraiment stupide, mais je viens de reprendre le calcul un bonne 15aine de fois et pas moyen de trouver cette valeur (1/2a + x0²) puisque le a va toujours s'annuler avec la constante.

oui, j'imagine bien qu'il y a des lignes de calcul, et je me rend compte que je ne suis pas capable de les faire, même après plusieurs essais.

je me retrouve avec 3 termes dans l'intégrale :
y².C²exp+2y.x0.C²exp+C².x0².ex p

qui me donnent respectivement :

0,2x0² et x0²...

[invite3bd4c002]

et ça, c'était pour <x²>...

et pour <p>,je ne vois pas du tout comment on peut se retrouver avec une solution en p0, puis le seul facteur où se trouve p0 est dans l'exp complexe, et s'en va dans l'intégrale...

[invite4ff2f180]

- Le dernier terme donne bien xo^2 car vous avez xo^2 c^2 * exp, et que c^2 * exp donne 1 d'après la condition de normalisation.

- Le deuxième terme donne 0 car vous avez une intégrale de la forme ' y * exp' donc le produit d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

- Le premier terme est en 'y^2 * C^2 * exp'
vous pouvez écrire y^2 * exp= (-a^2*y/2) * ( -2x/a^2 * exp).
Le deuxième terme correspond a une dérivée exacte et vous pouvez faire une intégration par partie.
Finalement ce troisième terme donne a^2/2

Le résultat final est donx x0^2 + a^2 /2

P.S désolé de ne pas l'avoir fait en latex, je n'ai pas trop le temps là ...

[invite3bd4c002]

merci beaucoup!!
évidemment ça parait super simple, mais je n'avais pas du tout eu l'idée, j'essaiyais de faire une intégration par partie tout de suite...

bref, merci beaucoup pour ta réponse!