Pendule simple

[c_matthieu]

Bonjour à tous on me demande dans un problème de pendule simple d'expliquer en quoi consiste l'approximation linéaire alors je ne sais pas du tout ce que c'est alors si qulqu'un pouvait m'aider ?
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[Cassano]

L'approximation linéaire consiste a transformer une équation linéaire en équation non linéaire, ou plus précisément d'approximer les termes non linéaires par leur développement au premier ordre (linéarisation).

[c_matthieu]

Je ne comprends pas trop c'est à dire si j'ai l'équation suivante:
l téta(2 points)+ g sin (téta)=0
L'approximation linéaire est ?

[Rhodes77]

Bonjour,

Dans votre équation, il y a un terme en sinus. Or sinus n'est pas une fonction linéraire, il suffit d'en tracer la représentation graphique pour s'en convaincre.
Il faut linéariser, càd faire des approximations sur les angles pour que sin se comporte relativement comme une fonction linéaire, càd dans un domaine de définition où sin(x) varie, à un coeff près, comme x.
Retenez, en général, qu'une équation différentielle est linéaire si elle ne fait apparaitre des développements de x qu'avec des termes qui varient comme x puissance 0 ou x puissance 1 (ce qui n'est pas le cas du DL de sin).

[A voir en vidéo sur Futura]

[arrial]

Je ne comprends pas trop c'est à dire si j'ai l'équation suivante:
l téta(2 points)+ g sin (téta)=0
L'approximation linéaire est ?

Salut,


I.d²θ/dt& + g.sin θ

est une équation différentielle qui n'admet pas les fonctions harmoniques comme solutions.
Autrement dit, ça n'est pas l'équation différencielle d'un pendule harmonique [sinusoïdal, si tu préfères] ‼

En revanche, si l'angle [θ, ou x]est faible,
y = sin(x)= x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
se comporte comme la droite 'y = x' avec des termes correctifs qu'on peut négliger … à condition de savoir pourquoi ‼

De même, la mise en équation avec l'énergie mécanique peut utiliser le cosinus :
y = cos(x)= 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + x^8/8! -...
se comporte comme 'y = 1' en première approximation.


http://www.haypocalc.com/wiki/D%C3%A...nt_limit%C3%A9



@+

[Rhodes77]

Je rajoute pour préciser :

Soit f et g deux solutions quelconques d'une équation différentielle.
Cette équation est linéaire si et seulement si toute combinaison linéaire de f et de g est également solution, donc en particulier si (f+g) par exemple est solution.

Or sin(a+b) n'est pas égal à sin(a)+sin(b)...

Bonne continuation !

[arrial]

sin(a+b) n'est pas égal à sin(a)+sin(b)...

… si … si a = b = 0 [ou k.2π] …

[Rhodes77]

… si … si a = b = 0 [ou k.2π] …

Oui mais j'ai dit quelconque la solution ^^ huhu !