temps de remplissage d'un réservoir troué

[invited660e5b7]

Bonjour à tous!
Je viens chercher une aide précieuse après des heures et des heures et des jours de réflexion sans résultat correct ...
Comment exprimer l'élevation du niveau d'eau en fonction du temps (et donc connaitre le temps de remplissage) d'un réservoir en supposant que :
-Un débit constant Q1 arrive dans le réservoir (section S1, hauteur h)
-Un débit Q2(z) s'en échape par un trou au fond de section S2(<<S1). Ce débit sortant varie en fonction du temps selon la relation K.S2.racine(z), ou K=0.6*racine(2g) dans le cas d'un ajutage, mais gardons un coefficient K, mon problème ne se situe à priori pas là... Le débit sortant dépend en tout cas de la hauteur d'eau variable z dans le bassin.

J'ai écris l'équation suivante :

dz=(1/S1)*(Q1-Q2(z)).dt

dz=(1/S1)*(Q1-S2.K.racine(z)).dt

donc

dt=(S1/(Q1-S2.K.racine(z))dz

Et en intégrant il me semblait devoir trouver la relation souhaitée entre z et t. Il n'en est rien puisque la fonction trouvée en intégrant ne se stabilise pas dans le temps. La bonne relation devrait me donner un niveau d'eau qui se stabilise dans le temps (le niveau d'eau dans le réservoir venant compenser les pertes de charges) meme si ce niveau est supérieur à la hauteur de mon réservoir ...

Je retombe sur le même résultat en écrivant une innégalité de débits :
Q=Q1-Q2, ou Q est le "débit" passant dans une section du réservoir.

Ou est l'erreur, avez vous une autre idée ?
Merci d'avance.
Thomas
-----

[LPFR]

Bonjour.
Quand je fais les calculs je trouve bien une fonction qui se stabilise (asymptotiquement) dans le temps.
Donnez-nous ce que vous avez trouvé.
Au revoir.

[invited660e5b7]

Merci pour votre réponse, en intégrant avec la calculatrice TI89, j'obtiens la fonction suivante :

t=(-2.S1/(K.S2)²)(Q1.ln(K.S2.racine(z)-Q1)+K.S2.racine(z))

Et en traçant la courbe sur excel, h tend vers +infini en t infini.
Qu'avez vous trouvé ?

[LPFR]

Re.
Quelle fonction avez-vous intégré?
Moi, j'ai remplacé racine de 'z' par y, ce qui donne une fonction moins merdique et dont la primitive est simple.
Peut-être que ça revient au même, mais votre résultat est inhabitable.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited660e5b7]

J'ai intégré l'égalité :

dt=(S1/(Q1-S2.K.racine(z))dz

ce qui me donne t en fonction de z. (Ma réponse précédente)
Quelle expression trouvez vous ?

[LPFR]

Re.
Faites le remplacement et simplifiez, intégrez et vous verrez.
Vous trouverez un terme de ln(a - sqrt(z)) qui tend vers infini (le temps) quand a = sqrt(z).
A+

[invited660e5b7]

Je n'ai pas compris quelle intégrale vous avez calculé ?
Si on remplace racine(z) par y dans l'expression que j'ai utilisée on se retrouve avec du f(y).dz, alors comment pourrait-on intégrer sur z une expression en y?

[LPFR]

Re.
Vous faites ce que l'on appelle un "changement de variable". Vous dites que z = y² et vous remplacez 'dz' par le différentiel de 'y²'.
J'ai l'impression que vous n'avez pas suivi de cours d'intégration.
A+

[arrial]

Ou est l'erreur, avez vous une autre idée ?

… mais pourquoi diantre vouloir remplir un réservoir troué ? …

T'as essayé voir avec un violon ???

@+

[arrial]

Bonsoir,


♦ Débit de fuite :
V2 = 0,6S1√(2g.z)
♦ Conservation du volume :
-S1.dz/dt = S2.V2 – Qv1
▼
dz/dt + 0,6√(2g.z) = Qv1/S1

♦ Solution générale sans second membre :
http://subaru2.univ-lemans.fr/enseig...s/bernou1.html
z(t) = (-0,6√(g/2).t)² = 0,18 g.t²
♦ Solution particulière avec (pas de fuite) :
z(t) = (Qv1/S1)t
▬▬▬

► z(t) = 0,18 g.t² + (Qv1/S1)t


[sauf erreur(s) ]


@+

[arrial]

[sauf erreur(s) ]

Forcément une erreur de signe sur le terme en t² …

… et j'aimerais bien comprendre l'intégration ‼

@+

[arrial]

'soir,


J'ai peut-être un truc …

♦ Solution générale sans second membre :
dz = - 0,6√(2g).z^½.dt
z^-½.dz = - 0,6√(2g).dt
2z^½ = - 0,6√(2g).t
√z = √z○ - 0,3√(2g).t
√z étant décroissante, z l'est donc aussi.

Le souci est que le z○ de cette partie (vidage) et celui associé à un remplissage … ça va faire un chouïa désordre …
▼▼▼

z = z○ + [Q1/S1 - 0,6√(2g.z○)].t + 0,18g.t²

… si z○ = 0, alors z = 0,18g.t² + (Q1/S1).t …


@+

[invited660e5b7]

Merci bcp pour votre aide c'est sympa !
Quelque chose m'étonne dans la forme de la solution c'est que le diamètre du trou n'apparait pas ?

[invitec17b0872]

Bonjour !


J'ai retrouvé ça, je sais pas si ca sera utile !

[invited660e5b7]

Bonjour !


J'ai retrouvé ça, je sais pas si ca sera utile !

Extra !!! ohhh que oui ! je suis en pleine lecture merci !

[arrial]

Merci bcp pour votre aide c'est sympa !
Quelque chose m'étonne dans la forme de la solution c'est que le diamètre du trou n'apparait pas ?

…Exact : je confirme. Je suis spécialiste des erreurs bêtes. Je vais au plus vite comptant sur une relecture que j'ai tendance à oublier. Mais la correction est généralement facile à voir …

→ Remplacer 0,6 par 0,6S2 si je ne m'abuse …

Sinon, j'en profite pour remarquer que le 0,6 correspond à un module de perte de charge singulière important pour un simple trou ‼

z = K.V²/(2g) → V = (1/√K).√(2g.z)
→ K = 1/0,6^2 = 2,8
ce qui correspond à un déprimogène important en sortie …


@+


[je re-précise que j'ai toujours des doutes sur ma résolution, à cause du z○ en particulier]

[arrial]

[je re-précise que j'ai toujours des doutes sur ma résolution, à cause du z○ en particulier]

… je vois que le vieux problème de la baignoire qui fuit apporte une solution plus satisfaisante : je n'avais pas pensé au niveau stationnaire [Torricelli ?] …


@+

[invited660e5b7]

éhéh oui effectivement le problème de la baignoire a été bien traité là ! Avec une équa diff non linéaire ... C'est ça qui coinçait !
Cependant on remarque que la résolution mène à une égalité dans laquelle on injecte le hs, hauteur stabilisée, et donc c'est un paramètre à connaitre (facilement calculable) et non pas un résultat.

[invited660e5b7]

Et sinon que pensez vous de cette proposition : On calcule le débit moyen entre le niveau zéro et le niveau z :
Sachant que Q2(z)=K.S2.racine(z)
On peut dire que Q2,moyen=K.S2.(1/5).(racine(1z/5)+racine(2z/5)+racine(3z/5)+racine(4z/5)+racine(z))
Soit :
Q2,moyen=K.S2.(1/5).racine(z).(racine(1/5)+racine(2/5)+...)
Et en faisant tendre le nombre de termes de la moyenne vers l'infini on obtient:
Q2,moyen=K.S2.racine(z)*0.6666 667

Qu'en pensez vous ?