[électricité] Température/Puissance

[invite2313209787891133]

On peut déjà commencer par calculer l'énergie dissipée à la température finale.

• Pour la face du haut on dissipe 800W, avec un coefficient de 8.3W/m².°C (avec de l'alu poli).
• Pour les 2 cotés on dissipe 2x 860W, avec un coef de 6.9.
• Pour les faces avant et arrière on dissipe 2x930W; même coef
• Pour la face du dessous on dissipe 420W, avec un coef de 3.7.

Soit une puissance totale de 4800W; il s'agit de la puissance minimale (avec des faces polies) qu'il faut déployer pour arriver aux conditions que tu as fixées.
Pour calculer la puissance nécessaire pour y parvenir en 2 minutes ça se complique un peu car il y a plusieurs possibilités: il faut fixer une température maxi admissible pour la résistance. Cette température permettra de déterminer la taille minimale que doit faire la résistance (pour arriver à dissiper assez de chaleur sous forme de rayonnement et de convection) et fixera une limite dans le choix de la résistance.
A l'inverse on peut imaginer une résistance qui occupera tout le volume de la boite, et qui n'aura donc pas besoin de chauffer très haut.

Il faut savoir également si tu acceptes d'avoir des surfaces internes peintes en noir ou si le métal doit rester poli.
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[invitef7282756]

Je pense que les surfaces internes ne seront pas peintes, elles resteront telles quelles. Pour la résistance, nous ne savons pas encore quoi choisir, étant donné que nous voudrions voir quelle puissance approximative il nous faudrait.

Petite précision que je viens de comprendre tantôt, que l'on m'a expliqué plutôt. Il faut chauffer à l'intérieur, mais avoir 100 °C à l'extérieur de la boîte. Je sais ça change le calcul.

Evolution de la température à l'intérieur en fonction du temps :
t=0 T=20°C
t=1min T=123°C
t=2min T=227°C
t=3min T=330°C
t=4min T=434°C
t=5min T=538°C
t=6min T=571°C
t=7min T=604°C
t=8min T=638°C
t=9min T=671°C
t=10min T=704°C

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je l'ai l'impression que l'on vous raconte n'importe quoi.
Est-ce que la personne qui vous a donné ces valeurs connait la température de fusion de l'aluminium?
Au revoir.

[invitef7282756]

oui, mais le but n'est pas d'atteindre cette température maximale après 10 minutes, mais de chauffer selon cette courbe de température.

[invitef7282756]

Dudulle, pourrais tu me dire comment tu as calculé ou trouvé les coefficients stp?

[invite2313209787891133]

J'ai utilisé les correlations de Mac Adams pour la convection, et j'ai pris arbitrairement une emissivité de 0,1 pour l'alu afin de calculer la partie rayonnante.

[invitef7282756]

Est-ce que tes données sont toujours valables après mon rajout sur le déroulement exacte de l'expérience? c'est-à-dire qu'il faut chauffer à l'intérieur de la boîte suivant la courbe que j'ai donné et atteindre un température supérieure à 100°C à l'extérieur (voir même 200°C).

L'aluminium étant très bon conducteur, je me dis qu'une température max de 250-300°C suffira pour la résistance.

Serait-il mieux d'utiliser une résistance chauffante ou un réchauffeur d'air dans ce cas?

[invite2313209787891133]

Les valeurs que j'ai indiquées concernent la température que tu voulais atteindre uniquement; à l'instant précis où l'on a cette température.
Pour arriver à obtenir ce que tu demande une résistance couplée à un système de ventilation sera plus efficace, et permettra surtout d'avoir une température plus homogène.

[invitef7282756]

Aurais-tu une idée de la résistance à utiliser et quelle puissance devrais-je fournir?

[arrial]

Salut,



… tu as enfin consenti à nous cracher les détails inavouables mais nécessaires ‼ …


L’aluminium n’est probablement pas poli, et on ne connaît pas la vitesse d’air dans le local : on ne peut faire qu’une approche de la résolution du problème …

• D’abord, il faudra poser la boîte avec des pieds isolants de plusieurs cm.
L’aluminium étant très peu rayonnant, même s’il n’est pas poli , on peut considérer un coefficient de convection moyen de l’orde de 8 W/m²/K pour l’intérieur et l’extérieur.
• Ensuite, il faudra une résistance à ailettes ou insérée dans un radiateur, pour diminuer sa résistance de convection et donc son inertie au chauffage de l’air qui décalerait la loi horaire.

L’aluminium présentant une conductivité thermique d’environ 220W/m/K, on néglige sa résistance thermique.
Je vais négliger également son inertie devant celle de l'air, ce qui est nettement plus discutable …
La masse calorique de l’air dans la boîte va varier, car de la masse va sortir (et le cp va varier).
→ <m.c> = 3000 J/K


La formalisation la plus simple de l’équation de la chaleur s’écrit
m(air).cp(air). ∂T/ ∂t = P – K.(T-Ta)
K est la conductance globale de la boîte.
K =1/(2*8*2*(0,65*0,6 + 0,82*0,6 + 0,82*0,65)) = 0,022 W/K

∂(T-Ta)/ ∂t + [K/(m.c)].(T-Ta) = P/(m.c)
Z = T-Ta – P/K
→ ∂Z/∂t + Z/Θ = 0
→ Z = Zmax[1- exp(-t/ Θ)]

▼ ▼ ▼
T = Ta + P/K + (Tf – Ta – P/K)[1- exp(-t/Θ)]
temps caractéristique : Θ = m.c/K = 138 ks
▲ ▲ ▲

Les inconnues sont P et Tf.
Tu peux donc les entrer en paramètres dans le solveur d'Excel pour que cette équation concorde au mieux avec la loi horaire de l’évolution de la température à l'intérieur en fonction du temps que tu nous proposes …




@+


[sauf erreur(s), œuf corse … ]

[invitef7282756]

Merci pour ton développement Arrial, mais pourrais-tu me dire ce que représente P, Z et Tf?

[arrial]

pourrais-tu me dire ce que représente P, Z et Tf?

P : la puissance
Z : un changement de variable
Tf : la température finale

@+

[invitef7282756]

Merci encore pour tes explications Arrial, mais j'ai un souci, avec ton raisonnement, je trouve une puissance de l'ordre d'une dizaine de W seulement, ce que je ne trouve pas logique.

J'ai analysé ton développement, mais je ne vois pas où ça coince :s

[arrial]

je ne vois pas où ça coince :s

Effectivement : la condition limite à l'infini colle, mais pas à t=0.
Donc à revoir …

@+

[arrial]

… à revoir …

Vérification faite, la solution est
T - Ta = (Tf – Ta )[1 - exp(-t/Θ)]
soit la loi de charge d'un condensateur, indépendante de la puissance ‼ si ce n'est que Tf doit dépendre de P …

Je pense que la mise en équation est effectivement abusive au niveau de la paroi. Le problème doit donc comporter 2 équations différentielles couplées
- celle de l'air, entre source et paroi
- celle de la paroi, entre air et ambiance.
Tf va être obtenue comme température de paroi, quand la puissance P sera intégralement évacuée dans l'environnement, soit
P = h.S.(Tf - Ta)
h.S = 8*2*(0,65*0,6 + 0,82*0,6 + 0,82*0,65) = 22,64 W/K
→ Tf = Ta + P/(h.S)

Ça fait alors
T =Ta + [P/(h.S)][1 - exp(-t/Θ)]
mais ça ne peut marcher, car la température variable de paroi doit paraître dans la mise en équation …


… à revoir …

[arrial]

Vérification faite, ça donne P ~ 2,45.10⁸W, mais un comportement linéaire, donc une bonne droite de tendance ‼ …

La vérité est ailleurs …

[arrial]

La vérité est ailleurs …

Quitte à faire une différence entre les convections interne et externe ensuite si nécessaire, cela donne donc
m(air).cp(air). ∂T/∂t = P – h.S(T-T’)
m(alu).cp(alu). ∂T’/∂t = h.S(T-T’) – h.S(T’-Ta) = - h.S(2T’ – T – Ta)
s’il y a un mathématicien dans la salle …


∂T/∂t = C – D(T-T’)
∂T’/∂t = – D(2T-T-Ta)

[invite2313209787891133]

Aurais-tu une idée de la résistance à utiliser et quelle puissance devrais-je fournir?

Bonjour

En ce qui concerne la puissance je t'ai déjà donné une indication; elle sera proche de 4800W.

Pour le choix de la résistance il faudrait répondre à quelques questions: Est ce que ca poserai un problème si l'intérieur de la boite (l'air) était réchauffé un peu moins rapidement que la surface de l'aluminium ? Quel est le volume que la résistance peut occuper ? Est ce qu'il est envisageable de placer la résistance contre la paroi interne de la boite.

[arrial]

'Soir,


J’arrive, et ça ira pour aujourd’hui, à ça :
► {ma.ca}∂²T/∂t² + {h.S + 2(h.S)(ma.ca)/(m.c)}∂T/∂t + {(h.S)/(m.c)} T = {2(h.S)/(m.c)}P + [(h.S)²/(m.c)]Ta
ma.ca pour l’air, et m.c pour l’alu …
Je passerai ensuite aux valeurs numériques des constantes connues.

@+

[arrial]

Bonjour,


Je suis arrivé à quelque-chose de viable, en choisissant les paramètres pour faire concorder le comportement de T(t) avec les valeurs proposées, mais on peut faire bien mieux avec une courbe expérimentale plus précise …

Vérifie les calculs tout de même : avec les vacances, je n'ai personne pour me relire ‼

[1] air ► ma.ca. ∂T/∂t = P - h.S(T-T’)
[2] alu ► m.c. ∂T’/∂t = h.S(T-T’) – h.S(T’-Ta) = h.S(T – 2T’ + Ta)
▬▬▬
[1] ► ma.ca. ∂²T/∂t² = - h.S(∂T/∂t - ∂T’/t) = - h.S(∂T/∂t – [h.S/(m.c)](T – 2T’ + Ta)) [3]
[1] ► 2(ma.ca. ∂T/∂t – P)/(h.S) + 2T = 2T’ [4]
▬▬▬
[3][4] ► ma.ca. ∂²T/∂t² + h.S(∂T/∂t – [h.S/(m.c)](T – [2(ma.ca. ∂T/∂t – P)/(h.S) + 2T] + Ta)) = 0
→ ma.ca. ∂²T/∂t² + h.S.∂T/∂t - [(h.S)²/(m.c)](T + Ta) + [2(h.S)/(m.c)](ma.ca. ∂T/∂t – P) + [ (h.S)²/(m.c)]2T = 0
→ {ma.ca}∂²T/∂t² + {h.S + 2(h.S)(ma.ca)/(m.c)}∂T/∂t - { (h.S)²/(m.c) - 2 (h.S)²/(m.c) }T - {2(h.S)/(m.c) }P - { (h.S)²/(m.c) }Ta = 0
→ {ma.ca}∂²T/∂t² + h.S{1 + 2(ma.ca)/(m.c)}∂T/∂t + {(h.S)²/(m.c)}T - [(h.S)/(m.c)]{2P + (h.S)Ta } = 0
→ {ma.ca}∂²T/∂t² + {h.S + 2h.S(ma.ca)/(m.c)}∂T/∂t + {(h.S)²/(m.c) }[T - Ta - 2P/(h.S)] = 0
→ {ma.ca}∂²Z/∂t² + {h.S + 2h.S(ma.ca)/(m.c)}∂Z/∂t + {(h.S)²/(m.c) }Z = 0
▬▬▬
Z = [T - Ta - 2P/(h.S)]
Z = exp(X.t)
→ {ma.ca}X² + {h.S + 2h.S(ma.ca)/(m.c)}X + {(h.S)²/(m.c) } = 0 ↔ A.X² + B.X + C = 0
▬▬▬
ma.ca = 3000 J/K ; h = 8 W/m²/K ; S = 2,83 m² ; h.S = 22,64 W/K ; e = 3,5E-3 m
ρ = 2700 kg/m³ ; m = 26,7 kg ; c = 900 J/kg/K ; m.c = 24000 J/K
▬▬▬
A = 3000 J/K ; B = 28,3 J/K/s ; C = 0,0213 J/K/s²
Δ = B²-4A.C = 23,3²
X = (-B ± √Δ)/(2A)
X- = -0,0086
X+ = -0,000825
Z(t) = c1.exp(X-.t) + c2.exp(X+.t) = T - Ta - 2P/(h.S)
T(t) = c1.exp(-0,0086*t) + c2.exp(-0,000825*t) + 20 + 0,088*P
▬▬▬
T(0) = 20 → c1 + c2 + 0,088*P = 0 → c2 = -(c1+Tf)
T(∞) = Tf →Tf = 0,088*P
T(t) = C.exp(-0,0086*t) – (C+Tf).exp(-0,000825*t) + 20 + Tf
▬▬▬

Les résultats du tableur sont sur l'image jointe.



@+

[invitef7282756]

Est ce que ca poserai un problème si l'intérieur de la boite (l'air) était réchauffé un peu moins rapidement que la surface de l'aluminium ?

Aucun soucis, le but est de chauffer à l'intérieur.

Quel est le volume que la résistance peut occuper ? Est ce qu'il est envisageable de placer la résistance contre la paroi interne de la boite.

Aucune importance sur le volume à occuper. Pourquoi pas tant que l'intérieur est chauffé suivant la courbe.

[invitef7282756]

Waouwww Arrial, merci beaucoup pour ton second développement, qui donne un résultat plus logique niveau puissance
ça fait tout de même une sacré puissance à fournir arffff.

[invitee238e41e]

Bonjour,

Comme j'ai l'impression que le problème est résolu, je me permets de vous présenter le mien qui est je pense un peu du même acabis.

J'ai une boite (eh oui encore une boite...) en PA12 avec une surface d'échange de 0.2m² et une épaisseur de 3mm.
Cette boite a pour coefficient de conductivité thermique 0.7W/m.K
Cette boite sera chauffée pour atteindre la température de 37°C dans un environnement à 20°C sans air (donc pas de convection, on va faire au plus simple).

Ma première question est la suivante quelle serait la puissance en Watt pour maintenir la température de 37°C?
Deuxième question quelle devrait être l'épaisseur de la boite pour maintenir à température de 37°C avec une puissance de chauffe de 50W?

Merci beaucoup pour vos réponses

[invitef7282756]

Z(t) = c1.exp(X-.t) + c2.exp(X+.t) = T - Ta - 2P/(h.S)
T(t) = c1.exp(-0,0086*t) + c2.exp(-0,000825*t) + 20 + 0,088*P
▬▬▬
T(0) = 20 → c1 + c2 + 0,088*P = 0 → c2 = -(c1+Tf)
T(∞) = Tf →Tf = 0,088*P
T(t) = C.exp(-0,0086*t) – (C+Tf).exp(-0,000825*t) + 20 + Tf
▬▬▬

Une chose qui me chiffone, ton C dans la formule finale, tu le trouves comment, je veux dire, la valeur numérique comment la trouves-tu?

18MW c'est pas un peu énorme comme puissance? lol

(ce dosier me prend de plus en plus la tête ^^)

[arrial]

J'ai une boiteen PA12 avec une surface d'échange de 0.2m² et une épaisseur de 3mm.

'Soir,

Boîte d’arête moyenne 18 cm
→ il y a forcément convection, c’est-à-dire que l’air intérieur sera un peu plus chaud que la température Ti de paroi intérieure, et l’air extérieur un peu plus froid que la température Te de paroi extérieure.

couleur naturelle : gris-beige
1020 kg/m3
PA 12 (Nylon 12)
La température de service admissible en continu du PA 12 est de 80 °C, avec de brèves pointes de température pouvant aller jusqu'à 140 °C. La plage des températures acceptables pour son utilisation mécanique s'étale jusqu'à 50 °C.
Conductibilité thermique DIN 52612 0.3 W/(K.m)
[http://www.vink.com/Admin/Public/DWS...data-PA_12.pdf ]


On peut essayer un coefficient de convection moyen de h = 7 W/m²/K

R = 2Rs + R
Rs = 1/(h.S) : résistance de convection
R = e/(λ.S) : résistance de conduction
▬▬▬
Rs = 1/7/0,2 = 0,7 K/W
R = 0,003/0,3/0,2 = 0,05 K/W

Il n’est donc pas question de négliger la convection …

Rt = 1,45 K/W
ΔT = R.P
▬▬▬
•1► P = (37-20)/1,4 = 12 W
•2► si P = 50 W → ΔT = 50*1,45 = 75 °C en régime permanent.
Mais la différence de température entre les 2 faces sera bien moindre : ΔT’ = 50*0,05 = 2,5 °C



@+

[arrial]

C, la valeur numérique comment la trouves-tu?18MW c'est pas un peu énorme comme puissance ?lol

'Soir,

C et Tf [donc P] sont des résultats du solveur, avec pour consigne de coller au mieux à ta courbe : tout est rédigé.

Et P = 18 kW, pas 18 MW ‼

@+

[invite2313209787891133]

Waouwww Arrial, merci beaucoup pour ton second développement, qui donne un résultat plus logique niveau puissance
ça fait tout de même une sacré puissance à fournir arffff.

C'est surtout complétement faux...

[invite2313209787891133]

Bonjour,

Comme j'ai l'impression que le problème est résolu, je me permets de vous présenter le mien qui est je pense un peu du même acabis.

J'ai une boite (eh oui encore une boite...) en PA12 avec une surface d'échange de 0.2m² et une épaisseur de 3mm.
Cette boite a pour coefficient de conductivité thermique 0.7W/m.K
Cette boite sera chauffée pour atteindre la température de 37°C dans un environnement à 20°C sans air (donc pas de convection, on va faire au plus simple).

Ma première question est la suivante quelle serait la puissance en Watt pour maintenir la température de 37°C?
Deuxième question quelle devrait être l'épaisseur de la boite pour maintenir à température de 37°C avec une puissance de chauffe de 50W?

Merci beaucoup pour vos réponses

Si la boite n'est pas en contact avec quelque chose il faudra 34W pour y maintenir 37°C en la considérant cubique. Avec 50W il faudra faire des trous...

[invitef7282756]

Ah bon? peux-tu développer Dudulle stp?
Le raisonnement d'Arrial n'est pas bon selon toi?

[invitef7282756]

'Soir,

C et Tf [donc P] sont des résultats du solveur, avec pour consigne de coller au mieux à ta courbe : tout est rédigé.

Et P = 18 kW, pas 18 MW ‼

@+

Ah ok merci. Arffff lol dure journée(s) et soirée(s) depuis quelques temps, ma vue me joue des tours. Bon ok j'ai rien dit