Matrice d'inertie

[invite00c73359]

Bonjour,





etc ...

J'aimerais savoir en quel point la matrice I du solide S est calculée ? Au centre d'inertie de S ? Au centre d'un repère mais lequel ?

Merci d'avance.
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[invite2b505b01]

Bonjour,

A priori c'est tout simplement au point (0,0,0), origine de tes axes !
Tu le choisis où tu veux sur ton solide. Évidemment, mieux vaut le calculer au centre de gravité, mais pour des raisons purement calculatoires (équations de la dynamique). Il peut aussi être intéressant de la calculer sur un point fixe.

[invite00c73359]

Merci c'est bien ce qu'on a dans notre cours ! Seulement je comprends pas : on peut prendre l'origine des axes où l'on veut, donc si on le prend au point G dans ce cas on a directement la matrice d'inertie en G avec les formules données mais si on le prend ailleurs on doit utiliser le théorème de Huygens ( pour les termes diagonaux en tout cas ... ) pour passer en G mais du coup on trouve plus la même matrice ! J'avoue avoir un peu de mal avec ça ^^ Ce qui m'intéresse c'est la matrice de n'importe quel solide en G en fait c'est pour le torseur dynamique et cinétique.

[invite2b505b01]

Même si elle est calculée en un point, il s'agit bien de la matrice d'inertie d'un unique et même solide. Donc quelle que soit la méthode de calcul employée, il faut bien retomber sus ses pattes. Quel est le problème exactement ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite00c73359]

Si l'on prend un disque comme solide et que l'on choisit le centre du repère O en son centre ( on a O = G ) on a avec les formules que j'ai donné la matrice d'inertie en O et donc en G puisque O = G. Alors que si on décide de prendre O ailleurs ( pas au centre du disque ) avec les formules données on a la matrice d'inertie en O mais ce n'est pas la matrice d'inertie en G puisque O différent de G et donc il faut utiliser König ( ou quelque chose comme ça pour passer en G ) mais on ne trouve plus la même matrice ( on soustrait un terme qui est le produit d'inertie correspondant en O du point G affecté de toute la masse du solide ) ... En fait on a une matrice d'inertie unique en O avec les formules mais c'est nous qui décidons de la position de O puisque on place le repère où l'on veut ?

[invite2b505b01]

mais on ne trouve plus la même matrice ( on soustrait un terme qui est le produit d'inertie correspondant en O du point G affecté de toute la masse du solide ) ...

On ne trouve pas la même matrice ? Curieux. J'aurais tendance à dire le contraire.

En fait on a une matrice d'inertie unique en O avec les formules mais c'est nous qui décidons de la position de O puisque on place le repère où l'on veut ?

L'écriture de la matrice diffère selon le point où elle est calculée, mais la matrice elle même est physiquement unique.

[invite79d10163]

Oui la matrice est différente selon le point où on la calcule (valeurs propre et vecteurs propre sont différents). Le plus simple est de la calculer au centre d'inertie, puis on utilise le Théorème de Huygens pour l'avoir en n'importe quel point de l'espace.

[invite00c73359]

D'abord merci de vos réponses !

Pour Sexygillou je peux me tromper mais si on prend O = G on a tout de suite la matrice en G avec les formules mais si O différent de G on a la matrice en O avec les mêmes formules mais pour l'avoir en G il y a des termes à soustraire ( les produits d'inertie... ) et donc ce n'est pas la même matrice non ? Vous voyez ce que je veux dire ?

Pour skydancer je suis d'accord mais comment calculer une matrice d'inertie directement en G sans passer par O ?

[invite2b505b01]

Je crois que ce que tu n'as pas compris, c'est que le résultat des intégrales de base dépendent de la position du point O via les bornes d'intégration et la répartition dm(x,y,z). Tu peux toujours décaler l'origine de tes axes au point G (si je puis dire) directement, ou bien calculer en un point quelconque et le déplacer en utilisant le théorème de Huygens (qui découle des intégrales).

[invite00c73359]

Ah oui d'accord effectivement j'avais pas compris ça ^^

Si on calcule la matrice d'inertie en prenant O = G pour un disque on a et on intègre de à rayon du disque pour la variable d'intégration et de à pour la variable d'intégration . Mais je vois pas la différence si on prend O en G ou ailleurs par rapport aux bornes d'intégration et à

Merci encore !

[invite2b505b01]

Bonsoir, je te conseille de faire le calcul pour un cube :
En son centre et en un de ses coins, tu auras peut-être le petit déclic qui te fait défaut

[invite00c73359]

Oui merci ! Déjà pour une cylindre de hauteur si on est en G on intègre de à pour la variable d'intégration alors que en O ( si on prend O milieu de la base du cylindre ) il faut intégrer de à ... Je vais aussi le faire avec un cube ça ne peut pas me faire de mal !

Merci beaucoup !