Mécanique : Recherche de l'angle idéal lors d'un lancer du poids...

[gg2603]

Bonjour,

Je suis confronté à un problème et j'espère que quelqu'un sur le forum pourra m'aider à le résoudre.

Voici la situation pour le moins classique j'imagine à première vue:
Un lanceur de poids lance son poids avec une vitesse initiale V₀ et depuis une hauteur h
Le but est de déterminer l'angle alpha optimal (pour une vitesse initiale donnée) que doit faire le jet avec l'horizontal pour que la portée et donc la performance de l'athlète soient maximales.
************ image ***********


On part de l'équation de la trajectoire qui découle des équations horaires et de la seconde loi de Newton :
************ image ***********


Pour trouver la portée x_P, il suffit de résoudre y=0 en ne gardant que l'inconnu positive.
Cette résolution donne :
************ image ***********


A partir de là, il nous faut trouver le maximum de la courbe x_P en fonction de alpha.
Pour cela, on résout

************ image ***********

(Je remercie mon prof de physique pour ces calculs fastidieux dont je ne suis pas l'auteur.)
On voit ici que si la hauteur h était nulle les calculs auraient été beaucoup plus simples puisqu'on serait rapidement arrivé à un angle optimal toujours égal à 45° (cas étudié en Terminale)

Revenons à la dernière ligne de calcul : on peut dire que nous sommes assez embarrassés puisqu'il est impossible à première vue de dégager une expression de alpha à partir de ça...

C'est donc là que la situation se complique sévèrement (en tout cas pour moi...^^)

Etant incapable de le faire tout seul, j'ai donné cette équation à un logiciel de calcul formel.
Avec beaucoup de difficultés et en s'étant un peu embrouillé dans les résultats, il a pu me fournir une solution :

************ image ***********

Il est aussi possible de faire une résolution numérique via excel par exemple avec un calcul de la portée à l'aide de l'équation (2) (on peut ensuite mettre en évidence pour une vitesse initiale donnée l'angle optimale).

Vous pouvez jeter un coup d'oeil à cette "résolution numérique" en téléchargeant le fichier excel ici : https://docs.google.com/leaf?id=0B6h...thkey=CMfMwOYC

Il s'avère que cette simulation numérique conforte grandement l'expression de alpha trouvée avec le logiciel de calcul formel, comme vous pourrez le voir sur le fichier excel (la colonne bleue correspond au alpha calculé directement avec ma formule).

-------

Voilà donc mes interrogations :

-Je ne suis pas sûr à 100% de la formule de alpha (bien que celle ci paraissent assez viable au vue des valeurs numériques) ; Peut on en être sûr ? Qu'en pensez vous ?
-Le gros problème : comment démontrer correctement et rigoureusement cette formule ?
-Y aurait il éventuellement une autre méthode pour trouver cet angle idéal ?
-Mon raisonnement comporte t il des erreurs ?
-Cette formule ou une autre serait elle déjà connue et/ou démontrée ?
-L'expression de la solution serait elle impossible à trouver sans méthode numérique ?

---

Merci d'avance pour votre contribution.
Cordialement
Geoffrey
-----

[LPFR]

Bonjour.
Regardez wikipedia. Et surtout le paragraphe "Avantage de la citadelle".
Au revoir.

[chlorydrique]

posons tan(alpha) = x
et utilisons la formule 1+tan²(alpha)=1/cos²(alpha)

l'équation à résoudre est du type:

1+ax/[sqrt(x²+b(1+x²)]=0
<=>
ax=-sqrt[x²(1+b)+b]
<=>
a²x²=x²(1+b)+b
<=>
x²(a²-b-1)=b
<=>
x =racine[b/(a²-b-1]
<=>
alpha = arctan(sqrt([b/(a²-b-1)])

J'ai essayé avec des valeurs simples et ça colle avec la feuille de calcul que vous mentionnez, mais vérifiez qaund même ...

(je n'ai pas résolu de manière rigoureuse, par exemple A=sqrt(B) <=> A²=B et B>0)

[gg2603]

Bonjour.
Regardez wikipedia. Et surtout le paragraphe "Avantage de la citadelle".
Au revoir.

Bonjour, merci pour votre lien. La partie "avantage de la citadelle" me donne une formule de alpha :



(où h est la hauteur maximale atteinte par la parabole et donc 2h la portée maximale lorsque la hauteur initiale et nulle et que l'angle est de 45° ; a est la hauteur initiale)
Si je reprends mes notations, j'ai donc :



J'ai vérifié à l'aide de mon tableur, cette formule coïncide tout aussi bien que la première avec l'optimisation numérique.

Par contre je me demande toujours comment on peut la démontrer précisément (l'article ne fait que la citer)
En considérant P le point de retombée et A le point à la verticale de l'origine duquel le projectile est lancé : Si j'ai bien compris, cette expression de alpha est déduit trigonométriquement de l'expression de AP trouvée plutôt dans l'article :



déduit par Pythagore de l'expression de x_P :




---

Si j'interprète bien l'expression de alpha donnée dans cet article wikipedia :

on a :


Mais comment arriver à cette expression ???
Pourriez vous m'éclairer SVP ?

Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg2603]

posons tan(alpha) = x
et utilisons la formule 1+tan²(alpha)=1/cos²(alpha)

l'équation à résoudre est du type:

1+ax/[sqrt(x²+b(1+x²)]=0
<=>
ax=-sqrt[x²(1+b)+b]
<=>
a²x²=x²(1+b)+b
<=>
x²(a²-b-1)=b
<=>
x =racine[b/(a²-b-1]
<=>
alpha = arctan(sqrt([b/(a²-b-1)])

J'ai essayé avec des valeurs simples et ça colle avec la feuille de calcul que vous mentionnez, mais vérifiez qaund même ...

(je n'ai pas résolu de manière rigoureuse, par exemple A=sqrt(B) <=> A²=B et B>0)

Merci pour votre réponse.
J'ai également vérifié votre formule avec mon tableur et plusieurs valeurs : elle fonctionne parfaitement !
elle peut d'ailleurs s'écrire, si on remplace a et b de cette façon :



Je comprends votre résolution de l'équation.
J'aurai juste besoin d'une explication :
Pourquoi dites vous :

l'équation à résoudre est du type:
1+ax/[sqrt(x²+b(1+x²)]=0

alors que selon mon premier poste, l'équation à résoudre est bien :
1+ax/[sqrt(x²+b(1+x²)] ÉGALE A NON PAS 0 MAIS :


J'ai bien l'impression que quelque chose m'échappe et que ce quelque chose est une confusion grosse comme une maison mais je ne vois pas quoi.
Pourriez vous me le dire SVP ?

Merci d'avance.

[LPFR]

Re.

...
Pourriez vous m'éclairer SVP ?
...

Non. Désolé, je suis moins dans le coup que vous.
Regardez néanmoins dans la discussion de l'article. On trouve souvent des choses intéressantes.
A+

[gg2603]

Re.

Non. Désolé, je suis moins dans le coup que vous.
Regardez néanmoins dans la discussion de l'article. On trouve souvent des choses intéressantes.
A+

Ce n'est pas grave. Vous m'avez déjà grandement débloqué la situation avec votre lien wikipedia.
Je ne connaissais pas l'onglet "discussion" sur wikipedia : je vais y jeter un coup d'oeil, merci !
Sinon, pour cette démonstration, je devrais trouver en cherchant un peu. Je me dis que si la page ne le mentionne pas c'est peut être que c'est assez "immédiat".

[gg2603]

Je suis toujours à la recherche d'éventuelles explications pour la formule du post#4 (j'ai beaucoup cherché... mais en vain).
Si je résume les formules que l'on a pour l'instant :

1) La formule trouvée par le logiciel de calcul formel un peu "tombé du ciel" :



2) la formule d'origine supposée "trigono-pythagorienne" :



3) La formule issue de la résolution de l'équation différentielle du premier post :



---
Voilà, pour l'instant, même si ça avance, je ne sais démontrer aucune de ces formules (les 3 modèles sont néanmoins validés avec quasi certitude par une simulation numérique).

Si vous trouvez également la possibilité de passer de l'une à l'autre... je ne sais pas ?

Merci encore

[Sexygillou]

Salut,

Tu peux calculer la différence entre les formules sur ton logiciel de calcul formel (voire l'application numérique si les simplify ne fonctionnent pas), pour au moins vérifier que ce sont les mêmes.

[gg2603]

Salut,

Tu peux calculer la différence entre les formules sur ton logiciel de calcul formel (voire l'application numérique si les simplify ne fonctionnent pas), pour au moins vérifier que ce sont les mêmes.

en fait, j'utilise une calculatrice dotée du calcul formel (nspire CAS).
Je viens d'essayer les 3 différences sans succès malheureusement (en fait, le résultat ne change pas).
Je pourrais essayer avec la ti89 mais sachant que c'est le même type de logiciel, je pense que c'est inutile.
Je vais essayer avec xcas.
Auriez vous un autre logiciel à me proposer (gratuit) ?

[gg2603]

XCAS ne me trouve pas non plus de différence nulle...

[arrial]

… plus tu le lances loin, plus t'auras de travail à faire pour aller le récupérer. Alors, laisse béton …

[vaincent]

Je suis toujours à la recherche d'éventuelles explications pour la formule du post#4 (j'ai beaucoup cherché... mais en vain).
Si je résume les formules que l'on a pour l'instant :

1) La formule trouvée par le logiciel de calcul formel un peu "tombé du ciel" :



2) la formule d'origine supposée "trigono-pythagorienne" :



3) La formule issue de la résolution de l'équation différentielle du premier post :



---
Voilà, pour l'instant, même si ça avance, je ne sais démontrer aucune de ces formules (les 3 modèles sont néanmoins validés avec quasi certitude par une simulation numérique).

Si vous trouvez également la possibilité de passer de l'une à l'autre... je ne sais pas ?

Merci encore

Bonjour,

pour démontrer la 3ème formule, il faut partir de l'équation (on a l'expression de cette dérivée dans la 4ième image de ton 1er post)

On a donc à résoudre :



On transforme d'abord l'argument de la racine en utilisant le fait que :



On met l'ensemble au même dénominateur et l'on multiplie le tout par la racine pour obtenir :



Pour supprimer la racine, on passe le terme en de l'autre côté de l'égalité et on met au carré :



On met alors en facteur à droite, et on écrit l'équation dans l'autre sens :



En simplifiant dans les crochets et en divisant par , il reste :


ainsi :



donc :



et enfin :

[obi76]

Bonjour GG2603,

pour information, l'hébergement d'image sur des hébergeurs externe type imagehacks etc son interdits sur ce forum. De plus, celui-ci étant pourvu du latex, merci de ne pas héberger des images avec des formules, écrivez-les directement.

Merci d'avance.

pour la modération,

[gg2603]

Bonjour,

pour démontrer la 3ème formule, il faut partir de l'équation (on a l'expression de cette dérivée dans la 4ième image de ton 1er post)

On a donc à résoudre :



On transforme d'abord l'argument de la racine en utilisant le fait que :



On met l'ensemble au même dénominateur et l'on multiplie le tout par la racine pour obtenir :



Pour supprimer la racine, on passe le terme en de l'autre côté de l'égalité et on met au carré :



On met alors en facteur à droite, et on écrit l'équation dans l'autre sens :



En simplifiant dans les crochets et en divisant par , il reste :


ainsi :



donc :



et enfin :

Merci de vous être donné la peine et pour la clarté de vos explications.
Je suis d'accord qu'il faut partir de l'équation
Mais mon problème est que nous n'avons pas cette expression de (en tout cas j'ai l'impression)

Nous savons (d'après la dernière ligne de l'image 4) que :

UN AUTRE TRUC (mais absolument pas 0 !)

Je suis désemparé car je vois bien que c'est cette solution numériquement mais la démarche ne colle pas à mon niveau.
En fait je comprends votre explication, mais je ne suis pas d'accord avec le point de départ.
A moins que l'on considère que pour que les deux membres soient égaux, il faut que chacun vale 0 (dans ce cas quel argument apporter pour affirmer cela ?)

Merci d'avance (et désolé d'être aussi "chiant")

… plus tu le lances loin, plus t'auras de travail à faire pour aller le récupérer. Alors, laisse béton …

^^
D'un autre côté, avec ce genre de raisonnement, on fait plus rien.

mise à jour du fichier de résolution numérique avec la comparaison avec les trois formules :
https://docs.google.com/leaf?id=0B6h...thkey=CMHYj5gK

Bonjour GG2603,

pour information, l'hébergement d'image sur des hébergeurs externe type imagehacks etc son interdits sur ce forum. De plus, celui-ci étant pourvu du latex, merci de ne pas héberger des images avec des formules, écrivez-les directement.

Merci d'avance.

pour la modération,

Désolé je ne savais pas.
J'écrirai uniquement en LaTeX à présent donc !

[vaincent]

Je suis désemparé car je vois bien que c'est cette solution numériquement mais la démarche ne colle pas à mon niveau.
En fait je comprends votre explication, mais je ne suis pas d'accord avec le point de départ.
A moins que l'on considère que pour que les deux membres soient égaux, il faut que chacun vale 0 (dans ce cas quel argument apporter pour affirmer cela ?)

Merci d'avance (et désolé d'être aussi "chiant")!

Lorsque l'on cherche les extrema d'une fonction, ici en l'occurence , on cherche quelles sont les solutions de l'équation . Ce fait est vu en 1ère. Cela vient du fait que puisque la dérivée est par construction le coefficient directeur des tangentes de notre fonction, et qu'en un extrema, la tangente est horizontale (et donc de coefficient directeur nul), alors forcément la dérivée doit-être nulle. Ni plus ni moins.

Ceci dit il est vrai que cela n'est pas tout le temps vrai, comme par exemple pour la fonction , mais il suffit de tracer la fonction pour vérifier qu'il existe bien de vrais extrema.

[gg2603]

Bonjour, la recherche de l'extremum ne me pose aucun soucis de compréhension (je le sais depuis la première comme vous le dites...).


Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi on prend comme expression de la dérivée :


... alors que dans la 4e image du premier post, on ne nous dit pas que la dérivée vaut mais on nous dit simplement que :
= UNE AUTRE EXPRESSION !



J'espère que vous voyez cette fois où réside mon incompréhension.
Merci d'avance.

[zyket]

Bonjour,

Je suis confronté à un problème et j'espère que quelqu'un sur le forum pourra m'aider à le résoudre.

Voici la situation pour le moins classique j'imagine à première vue:
Un lanceur de poids lance son poids avec une vitesse initiale V₀ et depuis une hauteur h
Le but est de déterminer l'angle alpha optimal (pour une vitesse initiale donnée) que doit faire le jet avec l'horizontal pour que la portée et donc la performance de l'athlète soient maximales....

Bonjour,

en pièce jointe ma tentative de résolution de ce problème. C'est une démonstration pour h=0 et l'on trouve bien sûr alpha_0=45°, mais en utilisant la même méthode, je pense qu'on pourrait prouver que x'_p est maximal pour alpha_0=45° et ne dépend pas de h.

Cordialement

PS
Ma terminale S est loin derrière moi, un matheux-physicien serait le bien venu pour vérifier cette démonstration. Je crains la grosse bourde.

[vaincent]

J'espère que vous voyez cette fois où réside mon incompréhension.
Merci d'avance.

Oui en effet tu as raison, je pensais que c'était le résultat de la dérivée. Comme quoi il vaut mieux tout faire soi-même ! Je suis en train de reprendre le calcul, je te tiens au courant dès que j'ai quelque chose.

[gg2603]

Oui en effet tu as raison, je pensais que c'était le résultat de la dérivée. Comme quoi il vaut mieux tout faire soi-même ! Je suis en train de reprendre le calcul, je te tiens au courant dès que j'ai quelque chose.

Ok.
Comme je l'ai dis dans le premier message ces trois lignes de calcul (image 4) ne sont pas de moi à l'origine, mais de mon prof de physique. Je l'ai repris plusieurs fois (même à la main) pour me rendre compte que nous n'avions pas CETTE expression de la dérivée. De plus je pense que si nous avions eu un truc de ce genre, il aurait réussi à résoudre cette équation et le problème ne se serait pas posé très longtemps.

Cette histoire est assez embêtante puisque, si on regarde la simulation numérique mise à jour, cette formule colle parfaitement (la quinzaine au moins de chiffres significatifs d'excel pour les trois formules et pour l'optimisation coïncident exactement). Comment alors expliquer qu'une démarche fausse amène à une formule apparemment bonne... ? Une autre erreur qui compense derrière ? Une approximation commise lors de la résolution de l'equa diff qui ne se verrait même pas dans les résultats numériques car négligeable... ? Cela me laisse perplexe

Comme je l'ai évoqué dans un précédent message, l'astuce consiste peut être à dire les deux membres de l'égalité sont égaux si et seulement si chacun vaut 0. Auquel cas, on retomberait bien sur notre formule en définitive. Mais comment pourrait on affirmer cela sans baguette magique ?

[gg2603]

Bonjour,

en pièce jointe ma tentative de résolution de ce problème. C'est une démonstration pour h=0 et l'on trouve bien sûr alpha_0=45°, mais en utilisant la même méthode, je pense qu'on pourrait prouver que x'_p est maximal pour alpha_0=45° et ne dépend pas de h.

Cordialement

PS
Ma terminale S est loin derrière moi, un matheux-physicien serait le bien venu pour vérifier cette démonstration. Je crains la grosse bourde.

Salut,
Merci pour ton document,

Malheureusement, (sauf grosse erreur de ma part pour le coup...), je crains que la hauteur initiale ait bien une influence :
-déjà, la recherche d'une expression de x_P montre clairement que cette portée dépend de la hauteur initiale h₀
-avec les chiffres, on voit bien qu'une variation de h₀ entraine une variation de la portée (pour et V₀ fixes) et donc une variation de l'angle de lancer optimal pour une vitesse initiale donnée.
Pour preuve, tu peux télécharger ce tableur :
https://docs.google.com/leaf?id=0B6h...thkey=CMHYj5gK

[vaincent]

Comme je l'ai évoqué dans un précédent message, l'astuce consiste peut être à dire les deux membres de l'égalité sont égaux si et seulement si chacun vaut 0. Auquel cas, on retomberait bien sur notre formule en définitive. Mais comment pourrait on affirmer cela sans baguette magique ?

Dire que les 2 membres de l'égalité sont égaux à 0 amène à une contradiction avec la formule de ton prof, ce qui montre bien qu'elle est fausse. En simplifiant l'expression de x_P en faisant apparaitre le moins possible alpha, j'obtiens une dérivée plus simple que celle de ton prof, mais je reste bloqué actuellement à ce niveau :



avec et

[gg2603]

Dire que les 2 membres de l'égalité sont égaux à 0 amène à une contradiction avec la formule de ton prof, ce qui montre bien qu'elle est fausse.

D'accord, qu'est ce qui est faux par contre ? :
-la formule (3) du post #8 ?
-la dernière étape de calcul de l'image 4 du premier post ?
-les 2 ?

Dans le deuxième cas, je ne vois pas où il y a une erreur... ?

En simplifiant l'expression de x_P en faisant apparaitre le moins possible alpha, j'obtiens une dérivée plus simple que celle de ton prof, mais je reste bloqué actuellement à ce niveau :



avec et

Êtes vous sûr de l'avoir bien écrite sur le forum ?
car quand je prends V₀=3 ; h₀=2 et alpha=40°

...j'obtiens :
0.03 environ
2.69 environ

[vaincent]

Êtes vous sûr de l'avoir bien écrite sur le forum ?
car quand je prends V₀=3 ; h₀=2 et alpha=40°

...j'obtiens :
0.03 environ
2.69 environ

oui il y a une erreur en effet !

Il semble qu'il n'y ait pas de solution analytique au problème, tant pis !

Si tu veux savoir où sont les éventuelles erreurs de ton prof, un seul moyen : refaire tous les calculs depuis le début soi-même !

bon dimanche !

[gg2603]

oui il y a une erreur en effet !

Il semble qu'il n'y ait pas de solution analytique au problème, tant pis !

Si tu veux savoir où sont les éventuelles erreurs de ton prof, un seul moyen : refaire tous les calculs depuis le début soi-même !

bon dimanche !

D'accord, je vais le refaire à nouveau même si je l'ai déjà fait.
une question : la formule (3) est t elle catégoriquement fausse selon vous ou pas ? Auquel cas, comment est il possible qu'elle coïncide autant avec les résultats numériques ?

Autre solution plus géométrique :
Auriez vous une idée pour démontrer la formule (2) ? :


Ou bien la géométrie n'est pas votre truc ?

[vaincent]

D'accord, je vais le refaire à nouveau même si je l'ai déjà fait.
une question : la formule (3) est t elle catégoriquement fausse selon vous ou pas ? Auquel cas, comment est il possible qu'elle coïncide autant avec les résultats numériques ?

Autre solution plus géométrique :
Auriez vous une idée pour démontrer la formule (2) ? :


Ou bien la géométrie n'est pas votre truc ?

Bon j'ai trouvé comment résoudre ce problème !

C'est vrai que les calculs du wiki sont beaucoup plus simples que ceux de ton prof. Plutôt que de résoudre une équation du 2nd degré en x, il vaut mieux la résoudre en pour x et z fixés.

Pour se faire la main, on commence par chercher l'angle de tir optimum lorsque a = 0 (j'adopte les notations du wiki). L'équation de la trajectoire étant , on doit résoudre l'équation pour (x,z)=(x₀, z₀) :



Puisque l'on ne cherche qu'une solution pour alpha, on pose que le discrimant doit-être nul, ce qui amène à l'équation de la parabole de sureté. La portée maximale sera atteinte pour , c'est-à-dire .
Maintenant la solution est :



or , donc , ce qui donne = 45° comme attendue.

A présent le tir se fait à une altitude 'a' différente de 0. L'équation à résoudre est alors :



de la même façon que précédemment on obtient d'abord . La portée maximale pour sera donc . La solution a toujours la même forme :



mais a changé et donc :



et ainsi :



avec les notations adoptées ici.

On obtient donc bien la même solution que celle j'avais calculé avec la formule de ton prof mais en croyant avoir fait une erreur. SAUF QUE, on a toujours le droit de dire que pour qu'une somme soit nulle(avant dernière formule du calcul de ), il faut que chaque terme de cette somme soit nulle. D'où le même résultat. C'est la seule explication qui me semble à peu près pertinente.

Pour finir il faut faire un lien entre le résultat précédent et l'expression de l'angle donné par wiki. Là c'est purement des maths. Je n'ai pas encore trouvé le lien entre les 2 expressions mais je pense que c'est gràce à ce genre de formules :

[gg2603]

Bon j'ai trouvé comment résoudre ce problème !

C'est vrai que les calculs du wiki sont beaucoup plus simples que ceux de ton prof. Plutôt que de résoudre une équation du 2nd degré en x, il vaut mieux la résoudre en pour x et z fixés.

[...]

Pour finir il faut faire un lien entre le résultat précédent et l'expression de l'angle donné par wiki. Là c'est purement des maths. Je n'ai pas encore trouvé le lien entre les 2 expressions mais je pense que c'est gràce à ce genre de formules :

Merci.
J'ai plusieurs questions :
1) comment trouvez vous ? :

(j'ai essayé en posant b²-4ac=0 mais je n'obtiens pas ça.)

2) Pourquoi peut on affirmer ? :


Disons que c'est rassurant de retomber sur la même formule qu'avec la résolution analytique. Avec l'histoire de la somme nulle, si on voulait bien faire le boulot, il faudrait donc aussi trouver l'expression de alpha en posant L'AUTRE MEMBRE = 0 ???

Peut être que l'on pourrait contacter l'auteur de l'article wikipedia qui pourrait nous en dire plus... savez vous comment faire ?

[gg2603]

Finalement c'est bon pour la deuxième question :
c'est plutôt :

du coup, ça fonctionne...

[vaincent]

Finalement c'est bon pour la deuxième question :
c'est plutôt :

du coup, ça fonctionne...

oui c'est ça j'ai oublié un h.

Sinon pour ta 1ère question, cela vient simplement du fait que lorsque le discrimant d'une équation du 2nd degré est nul, la racine de l'équation vaut -b/2a.

[gg2603]

oui c'est ça j'ai oublié un h.

Sinon pour ta 1ère question, cela vient simplement du fait que lorsque le discrimant d'une équation du 2nd degré est nul, la racine de l'équation vaut -b/2a.

D'accord, je vois.
Merci pour tout.