Mécanique : Recherche de l'angle idéal lors d'un lancer du poids...

[zyket]

Bonsoir,

j'ai trouvé une formule permettant, en connaissant quatre paramètres : l'angle de tir , la norme de la vitesse initiale , l'accélération et la hauteur algébrique dans le repère O point de départ du jet, de calculer l'abscisse du point d'impact du projectile.

cf image pièce jointe (je ne sais pas écrire des formules dans l'éditeur de texte de ffs)

Les étapes de la recherche sont dans le fichier pdf

Une intuition : pour que x'_p, l'abscisse du point d'impact, soit maximum, ne faudrait-il pas qu'au point de l'impact, la tangente à la trajectoire soit égale à -1 ?

Cordialement
-----

[vaincent]

Pour finir il faut faire un lien entre le résultat précédent et l'expression de l'angle donné par wiki. Là c'est purement des maths. Je n'ai pas encore trouvé le lien entre les 2 expressions mais je pense que c'est gràce à ce genre de formules :

Pour en finir justement, j'ai trouvé un moyen de démontrer la formule du wiki. En utilisant la formule ci-dessus on obtient déjà :



On cherche à écrire sous la forme , afin de voir de quelle façon l'altitude influe sur l'angle de tir optimum. Malheureusement les calculs n'aboutissent pas à une forme simple de beta, mais on apprend tout de même que le calcul serait très simplifié si on posait plutôt .

On a donc , et ainsi, en utilisant les formules d'additions du sinus et du cosinus :



et donc :



, enfin :

[gg2603]

Pour en finir justement, j'ai trouvé un moyen de démontrer la formule du wiki. En utilisant la formule ci-dessus on obtient déjà :



On cherche à écrire sous la forme , afin de voir de quelle façon l'altitude influe sur l'angle de tir optimum. Malheureusement les calculs n'aboutissent pas à une forme simple de beta, mais on apprend tout de même que le calcul serait très simplifié si on posait plutôt .

On a donc , et ainsi, en utilisant les formules d'additions du sinus et du cosinus :



et donc :



, enfin :

Et bien... Bravo !
Je voudrais juste rebondir par rapport à ce que vous avez dit tout à l'heure car c'est une notion importante je trouve :
"SAUF QUE, on a toujours le droit de dire que pour qu'une somme soit nulle, il faut que chaque terme de cette somme soit nulle."
Ici, si on veut utiliser ça, il faut bien s'assurer également que l'autre terme de la somme est nul quelque soit alpha ??? (sinon ça ne fonctionne pas...)

J'ai essayer de résoudre l'équation DEUXIEME TERME = 0
J'arrive par plusieurs moyens à
Du coup, je sais pas trop ce que cela signifie. D'un côté, ceci étant, la valeur de ce terme ne dépend pas de alpha mais d'un autre côté, il est impossible que
Qu'est ce que cela signifie alors ?

[vaincent]

Bonsoir,

j'ai trouvé une formule permettant, en connaissant quatre paramètres : l'angle de tir , la norme de la vitesse initiale , l'accélération et la hauteur algébrique dans le repère O point de départ du jet, de calculer l'abscisse du point d'impact du projectile.

cf image pièce jointe (je ne sais pas écrire des formules dans l'éditeur de texte de ffs)

Les étapes de la recherche sont dans le fichier pdf

Une intuition : pour que x'_p, l'abscisse du point d'impact, soit maximum, ne faudrait-il pas qu'au point de l'impact, la tangente à la trajectoire soit égale à -1 ?

Cordialement

Bonsoir,

oui en effet ce que tu nous présentes est la résolution de l'équation du 2nd degré(en x) de la trajectoire. C'est la même méthode qu'employée par le prof de gg2603. Après avoir obtenue l'expression de la portée en fonction de l'angle de tir on résoud l'équation . Malheureusement il est juste dit à la fin du pdf qu'il existe une solution dans l'intervalle , sans préciser celle-ci. Normal à la fois car il semble ne pas exister de solution analytique obtenable de façon rigoureuse à cette équation !

Pourquoi ?

A cause d'une erreur de lecture(ou gràce à ?) je calcul dans le post #13 de ce fil la solution de l'équation "membre de droite" = 0, où le "membre de droite" est celui de la dernière équation de ce calcul fait par le prof de gg2603. On sait maintenant à posteriori que ce calcul donne la bonne solution ! Mais si le membre de doite vaut 0 alors il doit en être de même pour le "membre de gauche". Or cela donne un résultat étonnant, obtenue par gg2603 :



qui n'est possible que si h=0(la cas où tendrait vers l'infini étant absurde physiquement). Or si h=0 dans ce membre, on doit également le poser pour le membre de droite et l'on revient au cas trivial où °. Il se peut très bien qu'il y ai une erreur dans le calcul de .

Ceci étant dit, il s'avère que cette méthode est TRRRRèS compliqué, c'est le moins qu'on puisse dire, et semble amener, soit à une contradiction, soit à l'impossibilité d'un calcul analytique.

Heureusement, LPFR a trouvé ce lien où une autre méthode beaucoup plus simple et sans ambiguïté est présentée. Le principe est le suivant : au lieu de résoudre l'équation de la trajectoire (= à 0) en x, on la résoud en , pour x et z fixée. Cela permet d'obtenir la portée maximale avant l'angle de tir, qui lui s'obtient très simplement, comme cela est montré au post #26.
Gràce à cette méthode on peut même obtenir sous la forme (cf. post #32), ce qui permet d'évaluer l'influence de l'altitude sur cet angle de tir optimum, par rapport au cas trivial où le tir(ou le lancer) est fait à partir du sol.

[gg2603]

Or cela donne un résultat étonnant, obtenue par gg2603 :



qui n'est possible que si h=0(la cas où tendrait vers l'infini étant absurde physiquement). Or si h=0 dans ce membre, on doit également le poser pour le membre de droite et l'on revient au cas trivial où °. Il se peut très bien qu'il y ai une erreur dans le calcul de .

Bonjour,
avez vous revérifié ce résultat ? (on ne sait jamais que je me sois trompé...)
Merci d'avance

[vaincent]

Bonjour,
avez vous revérifié ce résultat ? (on ne sait jamais que je me sois trompé...)
Merci d'avance

Oui, on arrive bien à ça

[gg2603]

Oui, on arrive bien à ça

OK
-----

Si l'on résume ce que l'on a pu mettre en évidence pour l'instant, voici nos trois formules de calcul de qui mènent toutes trois aux mêmes valeurs numériques :

La formule déduite de l'article wikipedia "parabole de sureté" ou bien de la résolution analytique de (mais pour le coup, on ne sais plus vraiment par quel "artifice"...)

(3)

La formule déduite de la formule (3) par des formules trigonométriques :

(2)


La formule trouvée par le logiciel de calcul formel et sans lien démontré avec les autres pour le moment:

(1)

---

Merci à tous pour votre aide et en particulier à Vaincent pour ses posts-fleuves en Latex et sa pédagogie.

[vaincent]

La formule trouvée par le logiciel de calcul formel et sans lien démontré avec les autres pour le moment:

(1)

---

On peut facilement démontrer cette dernière formule en utilisant le fait que , à partir de (3).

[gg2603]

On peut facilement démontrer cette dernière formule en utilisant le fait que , à partir de (3).

exact !
... assez facilement même (pour une fois)

[gg2603]

Réédition donc :

La formule déduite de l'article wikipedia "parabole de sureté" ou bien de la résolution analytique de (mais pour le coup, on ne sais plus vraiment par quel "artifice"...)

(3)

2 Autres formules déduites de la précédente à l'aide de l'égalité :

(2)

(1)

[vaincent]

2 Autres formules déduites de la précédente à l'aide de l'égalité :

Histoire de pinailler, il faudrait aussi être capable de savoir comment démontrer cette identité... afin de pouvoir faire tout le calcul du début à la fin ! Petit indice : il faut partir du fait que , exprimer uniquement en fonction de , et inverser l'expression obtenue.

Bonne nuit !

[Su fungi]

Bonjour,
Le lien pour le fichier excel ne marche plus...

[Black Jack 2]

Bonjour,
Le lien pour le fichier excel ne marche plus...

Bonjour,

Ce topic date de 11 ans, mais soit ...

J'ai calculé que alpha devait être solution de l'équation :



... dont il est très difficile de tirer la valeur de

Par contre j'ai mis cette relation dans un tableur et tracé la courbe de f(alpha) en entrant des valeurs pour Vo, g et h ... il est alors facile de vérifier si une des 3 formules du message #8 est correcte.

Les 3 donnent des valeurs proches de la valeur exacte, mais la 3ème donne la valeur exacte.

Par exemple avec g = 9,81 (m/s²), h = 1,6 (m) et Vo = 10 m/s,

Mon équation donne comme solution : (soit 42,82031°)

La 1ere formule de message #8 donne : 0,734100969 rad
La 2ème formule de message #8 donne : 0,72581046 rad
La 3ème formule de message #8 donne : 0,7173554 rad ... donc exactement la bonne valeur.

Si on modifie les valeurs de h et de Vo ... il y a toujpours une parfaite concordance entre la réponse de la formule 3 du message #8 et la valeur trouvée à partir de mon équation (qui est correcte)
*****

C'est bien, mais de toutes manières, ces calculs ne tiennent pas compte des forces de frottement entre l'objet lancé et l'air et donc ...