Volt^2

[invite4f80dcbf]

Je pense avoir trouvé quelque chose d'intéressant...

http://en.wikipedia.org/wiki/Spectra...ectral_density

An often more useful alternative is the power spectral density (PSD), which describes how the power of a signal or time series is distributed with frequency. Here power can be the actual physical power, or more often, for convenience with abstract signals, can be defined as the squared value of the signal, that is, as the actual power dissipated in a load if the signal were a voltage applied to it.

Et http://www.vmecritical.com/articles/id/?827

Décortiquons...
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[invite6dffde4c]

Je pense avoir trouvé quelque chose d'intéressant...

http://en.wikipedia.org/wiki/Spectra...ectral_density

An often more useful alternative is the power spectral density (PSD), which describes how the power of a signal or time series is distributed with frequency. Here power can be the actual physical power, or more often, for convenience with abstract signals, can be defined as the squared value of the signal, that is, as the actual power dissipated in a load if the signal were a voltage applied to it.

Et http://www.vmecritical.com/articles/id/?827

Décortiquons...

Re.
C'est ça qu'on est en train de vous dire depuis la première réponse d'Obi76.
Que c'est la puissance si on branchait le signal sur une résistance.
A+

[invitef17c7c8d]

La condition sine qua non pour représenter ton signal sous forme de DSP (Density Power Spectrum/ Densité spectrale de puissance) est que ton signal soit aléatoire.

Si tu me dis que c'est le cas, je t'explique un peu plus.

[obi76]

La condition sine qua non pour représenter ton signal sous forme de DSP (Density Power Spectrum/ Densité spectrale de puissance) est que ton signal soit aléatoire.

[invite4f80dcbf]

La condition sine qua non pour représenter ton signal sous forme de DSP (Density Power Spectrum/ Densité spectrale de puissance) est que ton signal soit aléatoire.

Si tu me dis que c'est le cas, je t'explique un peu plus.

Il s'agit d'un signal EEG sans doute en grande partie aléatoire (après, bien sûr, on cherche à corréler tels signaux (telle augmentation de connectivité, telle augmentation des "puissances spectrales") à tel ou tel état).

[invitef17c7c8d]

Il s'agit d'un signal EEG sans doute en grande partie aléatoire (après, bien sûr, on cherche à corréler tels signaux (telle augmentation de connectivité, telle augmentation des "puissances spectrales") à tel ou tel état).

Allez, on y va!

Bon,tout d'abord il faut traduire en langage mathématique ce que signifie : aléatoire.

Le signal est supposé aléatoire s'il est à la fois stationnaire et ergodique. (Ca va en jetter lors de ta présentation )


le signal est stationnaire s'il y a invariance par translation dans le temps (cà s'était la phrase qui en jette). En gros, ça veut dire que si ton signal tu le regardes maintenant ou un peu plus tard, il n'aura pas changé. En fait si, il aura changé, mais ses propriétés seront conservées. Comment cela se traduit-il mathématiquement :
La fonction d'autocorrélation
du signal X est uniquement fonction de la différence de temps :

E[] étant l'espérance.
et donc

Un processus est dit ergodique si l'on peut remplacer une moyenne d'ensemble E[] par une moyenne temporelle. Donc



Bon dis moi si tu comprends jusque là, je vais manger et je te finie la démonstration après.

[obi76]

Et quel rapport entre le fait que la densité de puissance spectrale soit représentative d'un signal uniquement si celui-ci est aléatoire ?

[invitef17c7c8d]

Et quel rapport entre le fait que la densité de puissance spectrale soit représentative d'un signal uniquement si celui-ci est aléatoire ?

Très bonne question. C'est justement pour cela que j'ai arrété l'explication en cours de route (en plus d'aller casser la croute).

Je vais expliciter, mais on peut dire que le D et le S de DSP (Densité Spectrale de Puissance) sont la conséquence de l'hypothèse de signal aléatoire.

Donc, on a vu qu'un signal aléatoire ne pouvait être définit qu'en moyenne (plus précisemment en valeur quadratique moyenne): C'est la fonction d'autocorrélation.

Classiquement, la DSP est la transformée de Fourier de
.


L'utilisation de le TF pose des problèmes de convergence et necessite des fonctions de carré intégrable. Pratiquement, cela incite donc à une nouvelle définition de la DSP.

L'égalité de Parseval dit que



La puissance du signal dans l'intervalle [-T,+T] est alors



Donc est la DSP de X dans l'intervalle [-T,+T].

Il faut considérer ce dernier terme comme le résultat d'une épreuve, la DSP s'obtenant alors en faisant une moyenne d'ensemble sur une infinité d'épreuves.

Juste en passant, bien voir que la DSP exclue le terme de phase: on a acces qu'à une information de puissance au sens de

[invite4f80dcbf]

Bonsoir,

Merci beaucoup pour tes indications.
Elles me dépassent malheureusement en partie pour le moment.

Pourrais-tu s'il te plaît m'indiquer en termes simples quelle type de transformée de Fourier a été appliquée pour que l'on aboutisse, depuis des Volt en fonction du temps, à des Volt² en fonction des fréquences du schéma initial ?
Peut-on parler indifféremment ici de "décomposition spectrale" et de "transformée de Fourier" ?

Merci

PS : lors de l'application du théorème de Parseval, puis-je te demander pour quelle raison tu n'a pas écrit l'intégrale devant ? (http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89g...A9_de_Parseval)

[invitef17c7c8d]

Bonsoir,

Merci beaucoup pour tes indications.
Elles me dépassent malheureusement en partie pour le moment.

Pourrais-tu s'il te plaît m'indiquer en termes simples quelle type de transformée de Fourier a été appliquée pour que l'on aboutisse, depuis des Volt en fonction du temps, à des Volt² en fonction des fréquences du schéma initial ?
Peut-on parler indifféremment ici de "décomposition spectrale" et de "transformée de Fourier" ?

Merci

PS : lors de l'application du théorème de Parseval, puis-je te demander pour quelle raison tu n'a pas écrit l'intégrale devant ? (http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89g...A9_de_Parseval)

Oui, bien vu j'avais oublié d'écrire l'intégrale.

Bon, maintenant on peut essayer de comprendre physiquement.
Un signal déterministe se suffit à lui même : C'est à dire que toute l'information qu'on peut avoir sur lui est donnée par son amplitude et sa phase. Le connaissant à une instant suffit pour le connaitre à tous les autres instants.

Un signal aléatoire ne se suffit pas à lui même. On ne peut rien dire sur un signal aléatoire à un instant t. On ne peut le définir qu'en le regardant entre deux instants différents, et ceci plusieurs fois.
Par exemple, on regarde le signal à deux instants espacés de 0,1 s.
Au temps , le signal a une certaine amplitude
Au temps , le signal a une certaine amplitude
on calcule alors
on recommence une infinité de fois la même opération et on fait la moyenne.

Le résultat qu'on obtient est la DSP du signal aléatoire à 10Hz

[obi76]

Autant passer par une transformée en ondelettes dans ce cas

En fait ce qui me dérange dans ce que vous dites c'est : comment définissez-vous un "signal aléatoire" ? Si je prend un signal Brownien, il est partout définit et nulle part dérivable, difficile de sortir une TF de ça... Et en plus la DSP divergera...

Donc je réitère ma question : comment définissez-vous un "signal aléatoire" ?

[invite4f80dcbf]

Eh, merci

Simple question de sémantique : pour pouvoir indiquer les "puissances" en fonction des fréquences, il a bien fallu décomposer le signal initial en ces composantes sinusoïdales. Cette opération correspond me semble-t-il à la "décomposition spectrale".
Fait-elle partie intégrante d'une "transformée de Fourier", ou la transformée de Fourier désigne-t-elle autre chose ?

Merci!

[phuphus]

Bonjour à tous,

et en particulier à lionelod pour ses interventions, je manipule de manière pratique la transformée de Fourier discrète depuis quelques temps déjà, et là j'ai appris pas mal de trucs sur la théorie, qui m'ont paru clairs et cohérents dans les propos de lionelod.

Il y a quand même quelques petites choses qui me chiffonnent. Il y a fort à parier que l'acquisition du signal se fait en numérique sur un temps fini, et l'estimation du spectre de même. Donc :

1 - Même si le processus mesuré était déterministe, comme on ne peut pas le savoir avant de l'avoir mesuré, ce n'est pas du tout dérangeant de faire une DSP dans ce cas, et il y a bien de l'information à tirer de cette mesure.
2 - L'acquisition se fait sur un temps fini, donc peu importe que le signal ne soit pas par nature de carré sommable, sur un temps fini l'énergie ne peut pas être infinie et donc la DSP a un sens. @ lionelod : vous évoquez cela implicitement quand vous parlez de "résultat d'une épreuve", êtes-vous alors d'accord pour parler dans le cas qui intéresse babaz d'estimation ? Je ne voudrais pas que babaz s'imagine que sa mesure ne représente rien...
3 - Du coup, l'estimation de cette DSP devient simple grâce à une "bête" transformée de Fourier discrète, pourquoi pas réalisée sur plusieurs épreuves avec moyennage. C'est ce que font tous les analyseurs FFT du commerce.

@ babaz : une transformée de Fourier est un moyen de réaliser une décomposition spectrale (ou tout du moins une estimation du spectre, en fonction des contraintes), mais ce n'est pas le seul. Obi76 évoque les ondelettes, on peut aussi mentionner Wigner-Ville ou même les premiers analyseurs électroniques intégrant un filtre analogique glissant. On pourrait même remonter à Helmholtz, et son analyseur de spectre basé sur une batterie de résonateurs accordés alimentés par du gaz de ville.

Pour en revenir à la question initiale, j'ai toujours entendu dire que calculer l'énergie d'un signal en l'élevant au carré et en l'intégrant (ou bien la puissance en divisant ensuite par un temps) s'entendait implicitement pour une charge de 1 ohm, réponse donnée dès le début par Obi76. Voir par exemple le paragraphe sur la densité spectrale d'énergie ici :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Densit%C3%A9_spectrale

Il est bien précisé dans ce paragraphe que dans le cas de l'hypothèse simplificatrice d'une charge de 1 ohm, la puissance instantanée du signal pourra être exprimée en unit². Pour une DSP, il manque un .s ou un Hz-1 quelque part.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je veux prévenir Babaz contre l'affirmation que le signal d'un EEC est un signal aléatoire. Une telle affirmation risque de mal passer auprès des neurologues ou de physiciens.
Le spectre des EEG présente des pics pour des fréquences visibles à l'œil nu sur les enregistrements. Tout le monde a entendu parler des ondes alpha ou bêta.
Au revoir.

[invite4f80dcbf]

Bonsoir,

Pour revenir aux premières lignes de la démonstration de lionelod () :

La fonction d'autocorrélation
du signal X est uniquement fonction de la différence de temps :


et donc

Sur quoi repose le "et donc" ?

Sinon, sans grand rapport, savez-vous comment fonctionnent les électrodes EEG (ou bien ECG ou bien équivalent) pour détecter des différences de potentiel sans passage de courant ?

Merci encore...