[exo] ascenseur spatial

['Jey]

Bonsoir,

La Terre de centre O, de masse M tourne autour de son axe à la vitesse angulaire w. En un point A de l'équateur est posée une "tour" verticale cylindrique, homogène de masse volumique u, de section S et de hauteur H>Rg où Rg est le rayon de l'orbite géostationnaire.

Je dois montrer que la tension T dans le cable vérifie: dT/dr = GMu(1/r² - r/Rg).

Et je n'y arrive pas.

J'écris que la résultante des forces agissant sur l'élément de longueur dr de cable, à la distance r de O, est nulle, en prenant en compte les forces d'inertie, les forces de tension du cable en r et r+dr, et l'attraction gravitationnelle de la terre.

Je projette suivant er (je me suis placé dans le référentiel cylindrique (O,er,etheta,ez), je divise par S.dr et je dis que la tension T est la force surfacique dans le cable.

Mais ensuite plusieurs problèmes:

-> quand je projette les forces d'inertie, j'obtiens -3.u.S.dr.w.r². Apparemment, quand je projette la force de Coriolis je devrais trouver 2u.S.dr.w.r² (enfin je pense) et non -2u.S.dr.w.r², et je ne comprends pas pourquoi.

-> je pense qu'il faut utiliser la 3e loi de Kepler pour exprimer la vitesse de rotation w en fonction des données, mais je ne comprends pas comment l'utiliser et pourquoi elle serait valable.

Voilà, une petite aide serait fortement appréciée !

Merci !
-----

[LPFR]

Bonjour.
Vous n'avez rien à projeter et encore moins à utiliser des coordonnées cylindriques.
Comme il n'y a pas de mouvement (en dehors de la rotation de la terre), vous pouvez laisser M. Coriolis reposer en paix.
Il n'y a pas d'autres forces d'inertie que la force centrifuge.
Calculez les forces qui agissent sur chaque longueur 'dr' du câble. Il n'y a que le poids et la force centrifuge.
Chaque endroit du câble en dessous de l'orbite stationnaire supporte la somme des forces de tous les morceaux de câble situés plus bas que lui. Il faut donc, intégrer les 'dF' calculés précédemment.

Les lois de Kepler on été expliqués et remplacés par les lois de Newton. Même si dans l'enseignement secondaire français on essaie actuellement d'effacer le nom de Newton.
Avec les lois de Kepler on ne fait pas de la physique. Elles ne s'appliquent qu'aux trajectoires des planètes et elles n'expliquent même pas l'orbite de la Lune ni les marées ni l'aplatissement de la terre aux pôles.
Cette "mode" des "directives ministérielles" (ce n'est jamais la faute des enseignants) de vouloir remplacer les lois de Newton par les lois de Kepler et de donner d'autres noms aux choses qui contenaient le nom de Newton depuis 300 ans, c'est d'une connerie absolue.
Les lois de Kepler, comme le modèle de Bohr, ont leur importance dans l'histoire de la physique. Mais ce ne sont pas de choses dont les physiciens s'en servent de nos depuis des décennies ou de siècles.
Au revoir.

['Jey]

Oui enfin on se place dans le référentiel tournant non ? Alors oui il n'y pas pas de mouvement donc pas de Coriolis, voilà déjà une erreur.

Ensuite je ne comprends pas très bien vos explications.

Chaque endroit du câble en dessous de l'orbite stationnaire supporte la somme des forces de tous les morceaux de câble situés plus bas que lui

Pourquoi seulement les endroits du câble EN DESSOUS de l'orbite stationnaire ? Et pourquoi ils supportent la somme des morceaux plus bas que lui ?

Et puis de toutes façons pour mon exercice, il ne faut pas que j'intègre si ? Il faut juste que j'exprime la différentielle de la tension à la hauteur r, donc je ne m'intéresse pas tout de suite à l'expression de T(r).

Et puis les lois de Kepler, moi je ne demande qu'à ne pas les utiliser. =D Comment faire alors, à partir des lois de Newton pour exprimer w ?
(Parce que en disant que w².Rg³=GM, j'aboutis finalement à la relation recherchée mais je ne vois pas comment trouver ce résultat)

Merci !

[LPFR]

Re.
Kepler ne connait pas l'attraction universelle et ne peut pas donner le rayon d'une orbite pour une période donné.
La troisième loi de Kepler ne dit que R³/T² = Constante (pour les planètes uniquement. Pas pour les satellites). Mais ne donne pas la valeur de la constante. C'est Newton qui démontra, à partir de ses lois quelle était la valeur de la constante. Prétendre que Kepler donne k en fonction de GM est faire preuve d'une ignorance totale des lois de Kepler ou d'une malhonnêteté intellectuelle.
Les "directives ministérielles" sont vraiment crétines.

Pour trouver le rayon pour une période donnée, il faut utiliser les lois de Newton. Pour une orbite circulaire, vue de la terre, qui est un repère accéléré, vous écrivez que l'attraction gravitationnelle (loi d'attraction universelle de Newton) est compensée par la force centrifuge w²/r. Vu d'un repère inertiel, la force d'attraction est la force centripète qui est égal à w²/r. Qu'est que l'on a à faire avec Kepler?


Effectivement, si c'est uniquement le différentiel de tension qu'il vous faut, vous n'avez pas besoin d'intégrer.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]