valeurs propres et mode propres

[Abu Maria.]

slt
"le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante..." wikipedia.
on ecrit :
:valeur propre.
le spectre de l'application A est l'ensemble des valeurs propres...
j'aimerai faire la pratique de ces définitions dans la physique (mode propre de propagation des ondes )
ou est cette dilatation de ces vecteurs dans les modes de propagation?
merci beaucoup
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[coussin]

C'est du langage mathématique… J'ai pas d'exemples concrets qui me viennent qui illustrerait ça dans le monde physique.

[invitef17c7c8d]

j'aimerai faire la pratique de ces définitions dans la physique (mode propre de propagation des ondes )
ou est cette dilatation de ces vecteurs dans les modes de propagation?
merci beaucoup

Oula, mode et propagation ne font pas bon ménage, comme le vin et l'eau, il ne faut surtout pas les mélanger.

En physique, l'étude du comportement vibratoire des structures est tout simplement "amazing".
Pourquoi. A certaines fréquences particulières, on voit la structure se mettre à vibrer fortement alors qu'on augmente pas le niveau d'excitation. C'est déjà une première surprise en soi.
Mais le plus extraordinaire, et que je ne m'explique toujours pas c'est l'orthonalité des modes!
Tu te places à deux fréquences particulières et à chaque fois, tu regardes la forme de la vibration. Eh bien en réalité c'est deux formes ne sont pas du tout indépedantes l'une de l'autre. Elles sont telles que si tu les multiplies entre elles, elles s'annulent parfaitement.

Comment la notion de base orthogonale et tout son cortège, qui en découle, se retrouvent ici dans la vibration de n'importe quelle structure? Mystère...

[invitedc31994f]

En mécanique c'est très utile. Ces notion apparaissent dans la recherche des modes propres et des fréquences propres. Il faut faire intervenir une matrice de masse M , une matrice de raideur K. On construit alors la matrice dynamique, qui est le produit le D=M^-1*K. La recherche des valeurs propres de cette matrice D donne les pulsations propres (après avoir pris la racine carré). Les vecteurs propres associés à ces valeurs propres s'appelent les modes propres de la structure. Ensuite beaucoup de notions se greffent autour (méthode modale, méthode directe...). Les modes propres ont un véritable sens physique, ils permettent de prédire le mouvement de la structure à une excitation particulière.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef17c7c8d]

Il y a des tas de manières d'imager ces notions.
Par exemple, imaginons que vous vouliez prendre en photo la tour de Pise. Mais comme vous êtes un peu maniaque, l'inclinaison de la tour vous dérange. Donc vous tournez un peu l'appareil photo de sorte que sur la photo, la tour semble parfaitement verticale.
Supposons aussi que sur la photo, il y ait un système de graduation. Si la longueur de la tour fait 3 graduations, alors .

En vibration, c'est la même chose sauf qu'on compte différemment. Au lieu de compter le nombre de graduations, on compte le nombre d'oscillations par seconde.

Que ces deux applications, tellement différentes à priori, puissent être corrélées par le formalisme de l'algèbre linéaire, montre une fois de plus toute la puissance et l'utilité des mathématiques pour "appréhender" la nature qui nous entoure.

Nos sens nous font dire qu'entre un tableau et un piano, il n'y a pas de liens.
Notre sensibilité nous fait dire, malgré tout, via le plaisir que l'on ressent, qu'il peut y avoir un premier lien entre les deux.

Les mathématiques nous font dire du lien profond entre les deux, et ceci est prouvé magistralement par application de l'algèbre linéaire.

[Abu Maria.]

merci beaucoup tout le monde
l'aspect mathématique je le vois , et son intérêt est indiscutable ,mais SVP je ne vois pas encore l’application physique par exemple dans les cavités et les guides d'ondes
on a
dans les guides d'ondes par exemple on a propagation que pour certaines "dimensions" du guide , même cas pour les cavités
donc j'aimerai voir dans ce cas la
l’opérateur (par exemple opérateur de réflexion) , et le vecteur dont il agit sur lui , et la valeur propre , et la base (qui est constituée de vecteurs propres)
merci beaucoup

[Abu Maria.]

par ex : on prend l’opérateur de réflexion
cet opérateur qui assure le lien entre les ondes réfléchies et incidentes dans le domaine spectrale , mais j'aimerai savoir ces valeur propres , et son écriture spectrale en fonction des vecteur propres , est ce que vous pouvez m’éclaircir ?
merci

[stefjm]

C'est du langage mathématique… J'ai pas d'exemples concrets qui me viennent qui illustrerait ça dans le monde physique.

De manière très générale, les systèmes physiques linéaires répondent en exponentielles qui sont les vecteurs propres de l'application linéaire associée.

On peut tout ramener à
y'=T.y

et y=k.e^(t/T)

Maths et physique sont très liées...

Cordialement.

[inviteaaa8c01c]

Quelqu'une peut-il m'aider ?

- Expliquer pour quelles raisons les modes propres d’une structure constituent une base, appelée
modale, utile pour le calcul de la réponse dynamique de la structure.

- Pourquoi un mode propre d’une structure représente un état de déformation dynamique potentiellement dangereux pour la structure ?

[JPL]

Ça ressemble beaucoup à un devoir. Je t'invite donc à lire http://forums.futura-sciences.com/ph...ces-forum.html

[inviteaaa8c01c]

Bonjour,

Ce n'est pas un devoir, enfin, je suis en école d'ingénieurs et je révise mes exam. Il y a ces questions dans d'anciens exams et j'aimerais savoir comment y répondre le plus juste possible.

Merci.

[Abu Maria.]

Quelqu'une peut-il m'aider ?

- Expliquer pour quelles raisons les modes propres d’une structure constituent une base, appelée
modale, utile pour le calcul de la réponse dynamique de la structure.

très bonne question , je pense que sa demande une démonstration algébrique (algèbre linéaire) , tout ce que je sais est que:
l'ensemble des N vecteurs propres associés a N valeurs propres , forment une famille libre (une base)