RG et énergie cinétique

[invite10421055]

Bonjour,

Je voulais savoir si l'énergie cinétique affectait également le tenseur
énergie-impulsion ? (Je suppose que oui)
Peut-on assimiler la notion d'impulsion à celle d'énergie cinétique ?

Cordialement,
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[mach3]

Sans aller dans la RG, en RR l'énergie cinétique est :



C'est naturellement la différence entre l'énergie totale et l'énergie au repos

Le lien avec l'impulsion n'est en revanche pas trivial. J'essaie :




je compare avec :







On doit pouvoir trouver plus joli comme expression, mais en voila déjà une, a priori. Je te laisse imaginé le m**dier avec une métrique non Minkowskienne...

m@ch3

[Deedee81]

Salut,

Je voulais savoir si l'énergie cinétique affectait également le tenseur
énergie-impulsion ? (Je suppose que oui)

Oui.

Et la relation est "simple".

suppose un corps au repos. Sa vitesse est v = 0 et son énergie cinétique 0.

Maintenant, choisi un autre repère se déplaçant à vitesse V. Dans ce repère, après une transformation de Lorentz, la vitesse de ce corps sera V et son énergie cinétique non nulle.

De même, si tu as le tenseur énergie-impulsion d'un corps au repos, en appliquant une transformation de Lorentz tu as alors le tenseur énergie-impulsion pour un corps en mouvement. Le coefficient T_00 = énergie propre (mc²) + énergie cinétique. Et évidemment, les autres coefficients, en particulier T_ii = impulsion, changent aussi de valeur.

Dans le cas d'un espace-temps courbe, c'est le même principe puisque localement on peut toujours travailler avec une transformation de Lorentz. Si tu considères toutefois un espace-temps plus vaste qu'un simple voisinage infinitésimal, alors les transformations font intervenir g_uv et ça devient tout de suite nettement plus compliqué.

Peut-on assimiler la notion d'impulsion à celle d'énergie cinétique ?

La relation n'est pas triviale, voir le message de mach.

[invite10421055]

Bonjour ,

Merci Deedee81 et Mach3 pour ces éclaircissements !

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[vaincent]

Bonjour,

De même, si tu as le tenseur énergie-impulsion d'un corps au repos, en appliquant une transformation de Lorentz tu as alors le tenseur énergie-impulsion pour un corps en mouvement. Le coefficient T_00 = énergie propre (mc²) + énergie cinétique. Et évidemment, les autres coefficients, en particulier T_ii = impulsion, changent aussi de valeur.

je ne sais pas si tu as voulu vulgariser, mais il faut faire attention car ce que tu dis est tout de même assez faux. De façon tout à fait générale, le tenseur impulsion-énergie contient la densité d'énergie(), la densité d'impulsion(), le flux d'énergie(, et le flux d'impulsion().
La nuance est de taille car sinon l'impulsion ne serait pas conservée s'il on adoptait pas cette définition ! Plus concrètement on a, par exemple, la relation :



ce qui montre bien la notion de densité ici.

Dans le cas d'un espace-temps courbe, c'est le même principe puisque localement on peut toujours travailler avec une transformation de Lorentz. Si tu considères toutefois un espace-temps plus vaste qu'un simple voisinage infinitésimal, alors les transformations font intervenir g_uv et ça devient tout de suite nettement plus compliqué.

Les transformations de Lorentz font intervenir ??? De quelle façon précisément ?(avec des équations j'entend)

[Amanuensis]

Peut-on assimiler la notion d'impulsion à celle d'énergie cinétique ?

Non, l'un est un vecteur l'autre un scalaire.

Ce serait comme assimiler une force et une puissance, ou une vitesse et un nombre.

[Deedee81]

Salut,

la densité d'impulsion()

Ouiouiue... oui, T_i0 pas T_ii, gros bêta.

Merci,

La nuance est de taille car sinon l'impulsion ne serait pas conservée s'il on adoptait pas cette définition !
[...]

Ou même pire : avec ce que j'avais donné, même la trace aurait été non invariante Ce qui est une absurdité. Ca, franchement, j'aurais dû le voir

Voilà ce qui arrive quand on rédige trop vite.

Hé oui, j'aurais dû aussi préciser qu'il s'agit d'une densité. Ce n'était pas capital pour la réponse, mais c'est pas plus mal de le rappeller.

Les transformations de Lorentz font intervenir ??? De quelle façon précisément ?(avec des équations j'entend)

Là, j'ai dû mal m'exprimer, car ce n'est pas les TL qui font intervenir g_uv. C'est les transformations générales dans un espace-temps non plat (donc plus de TL là). Les équations en RG font intervenir le tenseur métrique dans tous les coins.
EDIT rectification après m'avoir relu. Je n'ai pas du mal m'exprimer. Je me SUIS mal exprimé.

En plus, même comme ça ce n'était pas clair puisque si on effectue un changement général, par exemple une transformation des coordonnées, le tenseur métrique change.

C'est pas la grande forme

Merci d'avoir rectifié ces boudres inexcusables (je n'ai même pas l'excuse de dire "c'est vendredi" et je ne vais pas dire non plus que je suis pas le roi des pédagogues, même si c'est vrai, car là je me suis vraiment emmellé les pinceaux). En aussi peu de ligne, doit au moins y avoir un prix pour ça

[Deedee81]

Les transformations de Lorentz font intervenir ??? De quelle façon précisément ?(avec des équations j'entend)

Au fait, juste pour rire, ça c'est facile. Tu utilises g_uv au lieu de n_uv dans les TL puis tu ajoutes : "étant entendu qu'ici g_uv = n_uv" Je l'ai déjà vu écrit comme ça en plus (je ne sais plus où)

[vaincent]

C'est naturellement la différence entre l'énergie totale et l'énergie au repos

Le lien avec l'impulsion n'est en revanche pas trivial

Je crois qu'au contraire le lien est quasiment direct :

(1)





Pour retrouver l'énergie cinétique classique avec , il faut revenir à son expression initiale (1) et faire un développement limité par rapport à (v/c) en 0 au premier ordre(faibles vitesses devant c).

[Amanuensis]

Vous persistez à confondre impulsion et module de l'impulsion.

Pas un cadeau que vous faites aux lecteurs.

On ne peut pas déduire l'impulsion de l'énergie et de la masse.

[vaincent]

Vous persistez à confondre impulsion et module de l'impulsion.

Pas un cadeau que vous faites aux lecteurs.

On ne peut pas déduire l'impulsion de l'énergie et de la masse.

Il est clair que est la norme de la partie spatiale du quadri-vecteur impulsion.
Votre remarque concernant le fait que l'impulsion est un vecteur et l'énergie cinétique un scalaire, n'a aucun intérêt puisque il est très facile de construire un scalaire avec un vecteur : sa norme. Et donc il existe un lien entre norme de l'impulsion et énergie cinétique.
C'est donc vous qui fermez des portes aux lecteurs en étant trop catégorique et sans dire toute la vérité.

[Floris]

Bonjour,

Si le tenseur énergie-impulsion change avec le référentiel, es ce que le champ gravitationnel est plus important? Je ne suis pas sur d'avoir compris.

[Deedee81]

Salut,

Ne nous énervons pas. Après tout, le fait que ce soit le vecteur impulsion, le quadrivecteur ou sa norme n'était pas clair au départ (et les notations n'aident pas toujours).

En matière de confusion j'ai fait pire ci-dessus.

Si le tenseur énergie-impulsion change avec le référentiel, es ce que le champ gravitationnel est plus important? Je ne suis pas sur d'avoir compris.

Pour être plus précis, le tenseur énergie-impulsion ne change pas avec le référentiel. Ce sont ses composantes qui changent (à nouveau j'avais manqué de clarté).

Changer de référentiel, c'est juste "changer de point de vue". Ca ne modifie pas l'objet observé (représenté par le tenseur énergie-impulsion).

Un exemple très simple avec la vitesse dans le plan. Supposons que j'ai un référentiel R avec deux axes de coordonnées x et y. Je mesure la vitesse d'un objet comme étant le vecteur V de composante (1, 0) (c'est-à-dire que l'objet se dirige le long de l'axe x). Maintenant, je change de référentiel pour un choisir un autre, R', immobile par rapport à R mais où on a échangé les axes x et y. Par rapport à cette nouvelle référence, la vitesse n'a pas changé, c'est toujours le même objet avec le même vecteur vitesses, mais ses composantes valent (0, 1).

Dans le cas relativiste, c'est un peu plus général car on travail avec des quadrivecteurs, invariants sous les transformations de Lorentz, donc même avec des référentiels en mouvement.

Le tenseur énergie-impulsion se note généralement T (à ne pas confondre avec le temps !!!) et ses composantes Tuv (ou plutôt avec deux indices puisque c'est un tenseur du second ordre).

Par contre, le tenseur énergie-impulsion est une densité (cette fois je n'oublie pas de le dire ). C'est-à-dire qu'il donne la densité d'énergie-impulsion en un point. Et donc, sa valeur peut être différente en deux points différents.

Bon, j'espère ne pas avoir été brouillon cette fois. Allez, une petite prévisualisation avant d'envoyer