Moment d'inertie de torsion

[Titiou64]

Bonjour,

J'ai un problème de mécanique. Je ne sais pas comment faire pour calculer un moment d'inertie de torsion pour des sections de profilés standard (rectangle, tube, ...). J'en ai besoin pour calculer un moment de déversement sur des éléments fléchis.
J'ai trouvé ce site http://www.mecatools.free.fr/generale/mtorsion.html mais il ne donne que les résultats et pas les formules utilisées.
Il y'a bien la formule J=bh^3/3 mais je ne suis pas sur que ça soit celle à utiliser.

Merci d'avance pour vos réponses
-----

[invite6dffde4c]

Bonjour.
La formule est:

Où dS est une petite surface (par exemple dx.dy en cartésiennes). 'r' est la distance de la petite surface à l'axe de rotation.
Et l'intégrale est une intégrale sur toute la surface, souvent une intégrale double.
Au revoir.

[Titiou64]

bonjour LPFR,

Merci pour votre réponse mais malheureusement ce n'est pas cette formule que je recherche. En effet, cette formule est utilisée pou calculer I0=Ix+Iy.

J'ai un tableau dans lequel les valeurs de It (inertie de torsion) sont données pour des poutres en I et ce n'est pas la valeur I0.
Par exemple, pour un IPE100 It=1.21cm4 (Iy=80.1cm4 et Iz=8.5cm4).

De plus, cette formule n'est pas compatible avec les résultats trouvés dans le lien que j'ai donné dans mon premier message.
Mais je continue de chercher...

[Jaunin]

Bonjour, Tiitou64,
Je n'arrive pas à retrouver les mêmes valeurs que vous dans la table des IPE 100,
si vous aviez la possibilité de mettre le lien.
Cordialement.
Jaunin__

[A voir en vidéo sur Futura]

[sitalgo]

B'jour,

La formule de base ne sert que pour les section circulaires. Pour les autres ce sont des formules empiriques à coefficient de forme et autres finesses.
Bizarrement le tau max se trouve sur la médiane la plus courte et non comme on pourrait le penser sur une diagonale ou encore sur la médiane la plus longue. J'ai un truc là-dessus.
Mais pour la déformation je n'ai pas de formule sous la main.

[invite9c7554e3]

Bonjour.
La formule est:

Où dS est une petite surface (par exemple dx.dy en cartésiennes). 'r' est la distance de la petite surface à l'axe de rotation.
Et l'intégrale est une intégrale sur toute la surface, souvent une intégrale double.
Au revoir.

ceci devrait fonctionner dans le cas général non? donc pour quelque chose de carré tu dois arriver à trouver avec cette intégrale?

[Titiou64]

Bonjour Jaunin,

Je n'arrive pas à retrouver les mêmes valeurs que vous dans la table des IPE 100

http://www.arcelormittal.com/section...ctions/IPE.pdf à la deuxième page.

En fait, je me suis trompé de ligne en recopiant les inerties
L'inertie de torsion est celle de l'IPE 100 mais les Iy et Iz sont celles de l'IPE 80.
Mais fondamentalement, ça ne change pas grand chose au problème..

@ 21did21 : non justement cette formule ne marche pas.. C'est bien ça le problème (cf pour les IPE)

[invite6dffde4c]

ceci devrait fonctionner dans le cas général non? donc pour quelque chose de carré tu dois arriver à trouver avec cette intégrale?

Bonjour 21did21.
Il faut croire que le "moment d'inertie de torsion" est quelque chose de différent du "moment d'inertie de surface" que l'on utilise pour calculer les déformations élastiques.
Comme c'est la première fois que j'entends utiliser cette expression je déduisis que je m'étais trompé et que n'était pas la même chose.
Peut-être que Jaunin ou Sitalgo (que je salue) pourront nous dire quelle est la différence.
Au revoir.

[invite9c7554e3]

merci LPFR pour la réponse.

en fait il y a deux termes à utiliser selon moi :
- le moment quadratique qui est ce dont tu parles
- le moment d'inertie qui est ce que l'on utilise dans le PFD pour les solides

moi non plus je n'ai pas compris duquel on parle car si c'est le premier alors ton expression est correct LPFR et on devrait arriver à calculer cette inertie à partir de ceci (ou au moins l'estimer...)

[invite6dffde4c]

merci LPFR pour la réponse.

en fait il y a deux termes à utiliser selon moi :
- le moment quadratique qui est ce dont tu parles
- le moment d'inertie qui est ce que l'on utilise dans le PFD pour les solides

moi non plus je n'ai pas compris duquel on parle car si c'est le premier alors ton expression est correct LPFR et on devrait arriver à calculer cette inertie à partir de ceci (ou au moins l'estimer...)

Re.
Je le pense aussi, d'autant plus qu'on ne trouve rien dans Google à propos du "moment d'inertie de torsion". Ce doit être un nouveau nom pour des choses anciennes. Mais attendons Jaunin ou Sitalgo. Ils dominent le sujet.
A+

[invite9c7554e3]

je viens de regarder le lien donné dans le premier message et l'unité du moment de torsion est [mm4].
On parle donc bien d'un moment quadratique

la forumule que LPFR à donné est donc à utiliser.
=> on peut décomposer l'intégrale de LPFR en deux termes
on a donc:


le premier donne:

et le deuxieme:


donc le moment quadratique de torsion est la somme de ces deux termes

[invite6dffde4c]

...
la forumule que LPFR à donné est donc à utiliser.
=> on peut décomposer l'intégrale de LPFR en deux termes
on a donc:

...

Re.
Ça c'est dans le cas où 'r' est la distance à un point de la surface. C'est à dire, l'axe de rotation est perpendiculaire à la surface.
Par contre, si l'axe de rotation se trouve sur la surface 'r' est 'x' ou 'y'.
Et c'est toujours la même formule.
A+

[invite9c7554e3]

je n'ai pas bien compris ce que tu voulais dire LPFR.

=> ce que j'ai dis plus haut c dans le cas où l'axe de rotation est Z et qu'il est centré sur le milieu du carré.
=> si il est excentré alors on utilise le theoreme de Huygens (qui se demontre facilement je pense à partir de l'equation generale)

par contre si l'axe de rotation est pas perpendiculaire à la surface ça se complique....

[invite6dffde4c]

Re.
De toute façon nous sommes d'accord. Le moment quadratique est toujours celui de la formule que j'ai donné plus haut. Et 'r' est la distance à l'axe de rotation qui peut être perpendiculaire à la surface ou parallèle à la surface.
S'il est perpendiculaire à la surface on calcule le moment quadratique utilisé pour calculer des couples dans une torsion (comme dans un tournevis). Et r² = x² + y², par exemple.

Si l'axe est parallèle à la surface, on l'utilise pour calculer le fléchissement des poutres. Et r = x ou r = y, par exemple.
A+

[invite9c7554e3]

oui, on est bien d'accord
A+

[Jaunin]

Bonjour, LPFR,
Je viens de regarder dans la Bible de S. TIMOSHENKO, Théorie de l'Élasticité (introuvable, jamais rééditée) et je n'ai rien trouvé de plus spécifique.
Je vais encore regarder quelques ouvrages et si je trouve d'autres informations, je ne manquerais pas de vous le faire savoir sur le forum.
Cordialement.
Jaunin__

[invite6dffde4c]

Bonjour, LPFR,
Je viens de regarder dans la Bible de S. TIMOSHENKO, Théorie de l'Élasticité (introuvable, jamais rééditée) et je n'ai rien trouvé de plus spécifique.
Je vais encore regarder quelques ouvrages et si je trouve d'autres informations, je ne manquerais pas de vous le faire savoir sur le forum.
Cordialement.
Jaunin__

Bonjour Jaunin.
Merci.
Dois-je comprendre que, pour vous aussi, il s'agit ici du moment quadratique habituel?
Cordialement,

[Jaunin]

Re-bonjour, LPFR,
Par rapport au livre de S. TIMOSHENKO, nouveau tirage 1948, dans le livre ci-dessous, Résistance des matériaux, 3em édition 2007, ils utilisent un nouveau terme, en tout cas pour moi.
Le Moment d'Inertie, Le Moment d'Inertie Polaire, sont devenus, second moment, second moment polaire.
Cordialement.
Jaunin__


http://books.google.ch/books?id=eYB6...olaire&f=false

Page 140

page 676

Pour information :

https://cours.etsmtl.ca/TCH006/Notes...emaine%205.pdf

https://cours.etsmtl.ca/TCH098/TCH09...0cours/rdm.pdf

http://books.google.ch/books?id=RFOZ...moment&f=false

[invite9c7554e3]

au fait je viens de penser à un truc:
=> en dynamique du solide, si je me rappel bien, si on veut prendre en compte tout les cas de figure lors de la rotation alors il faut calculer une matrice d'inertie qui prend en compte des termes diagonaux (sur les axes x,y,z) et des termes extra diagonaux. Ceci permet d'avoir l'inertie pour n'importe quelle rotation
=> pour le moment quadratique une chose equivalente doit exister...

ps: sinon il faut prendre des formules de MMC et tout ce régle et deviens faisable

mais je suis quand meme intéressé par l'idée d'une matrice quadratique... je n'ai pas vu, ou en tout cas je ne m'en souvient pas...

[sitalgo]

On peut aussi dire constante de torsion, ce qui est plus approprié vu que ça n'est pas trop quadratique pur jus. Ca reste quand même en dimension L⁴. Ca tient au fait que la matière fait ce qu'elle veut.

Pour les profils rectangulaires pleins on a J= k.a.b³.
k dépend du rapport a/b, b étant la petite dimension. Au delà de 10 k=1/3.
Normalement on peu calculer un I, H, U en faisant la somme des J. Je ne suis pas arrivé à retrouver les valeur (et beaucoup s'en faut) des IPE du catalogue, qui est normalement fiable.

Pour les profils fermés (tubes) on a la formule générale
qui donne pour simplifier :
et pour un tube cylindrique, en remplaçant A et S :
Omega et A sont la surface délimitée par le milieu de paroi, c'est dans un même document, sans doute pour être moins clair et paraître plus savant.
t et e sont l'épaisseur, toujours dans le même document.
S comme le symbole l'indique est le périmètre moyen.

Finalement J'ai aussi pour la déformation, suffisait de sortir la page et regarder derrière.

[Jaunin]

Bonjour,
On peut trouver quelque information sur ce lien.
Cordialement.
Jaunin__

http://forums.futura-sciences.com/te...irculaire.html

[invite6dffde4c]

On peut aussi dire constante de torsion, ce qui est plus approprié vu que ça n'est pas trop quadratique pur jus. ...

Bonjour Sitalgo.
La dénomination de "quadratique" ne vient pas des dimensions finales, mais de la puissance à laquelle on met la distance à l'axe de rotation.

est le moment de premier ordre et

est le moment d'ordre 'n'.
J'ai écrit 'dm", mais dans le cas de l'élasticité c'est un différentiel de surface. Mais c'est la similarité avec le moment d'inertie en mécanique qui a fait que le nom "traditionnel" était "moment d'inertie de surface".
Cordialement,

[sitalgo]

Bonjour LPFR,

La dénomination de "quadratique" ne vient pas des dimensions finales, mais de la puissance à laquelle on met la distance à l'axe de rotation.

J'avais bien compris, je voulais dire que ce n'était pas quadratique car les démonstration (pour les profils fermés) ne font pas appel à une distance au carré comme le quadratique "normal". Le résultat devant aussi être en L⁴ pour l'homogénéité.
Pour les sections rectangulaire je n'ai pas trouvé de démonstration mais le terme en b³h au lieu de bh³ indiquerait que la démarche est aussi différente.

[invite6dffde4c]

...
Pour les sections rectangulaire je n'ai pas trouvé de démonstration mais le terme en b³h au lieu de bh³ indiquerait que la démarche est aussi différente.

Re-bonjour.
Je pense que le b³h est le moment autour d'un axe perpendiculaire à la direction de 'b' et que le bh³ et le moment autour d'un axe perpendiculaire à la direction de 'h'.
Et dans les deux cas, les axes sur le plan qui contient 'b' et 'h'.
Cordialement,

[sitalgo]

Je pense que le b³h est le moment autour d'un axe perpendiculaire à la direction de 'b' et que le bh³ et le moment autour d'un axe perpendiculaire à la direction de 'h'.

Certes, c'est ce qui vient tout de suite à l'esprit mais c'est pour le moins contre-intuitif, pour moi en tout cas. C'est pour ça que j'aimerais bien voir la démonstration.

[invite6dffde4c]

Certes, c'est ce qui vient tout de suite à l'esprit mais c'est pour le moins contre-intuitif, pour moi en tout cas. C'est pour ça que j'aimerais bien voir la démonstration.

Re.
Pourquoi contre-intuitif?
Je trouve très logique que le moment d'inertie augmente avec le carré des dimensions perpendiculaires à l'axe de rotation. Si vous tournez une tige autour d'un axe perpendiculaire à la tige le moment d'inertie est plus grand que si vous la tournez autour d'un axe parallèle à la tige.
Pour un axe parallèle à 'h' le moment est proportionnel à b²S (où S = bh).
Et si on parle de rigidité, il est logique qu'il soit plus facile de tordre une latte dans le sens étroit que dans le sens large.
J'avoue que je ne comprends pas votre problème.
Cordialement,

[sitalgo]

Je trouve très logique que le moment d'inertie augmente avec le carré des dimensions perpendiculaires à l'axe de rotation.

Justement, ce n'est pas le cas, on n'a pas comme pour l'inertie quadratique polaire bh³+hb³ mais seulement hb³. Ce qui indique que quand on a un rectangle, on a intérêt à ajouter de la surface de façon à se rapprocher d'un carré plutôt que d'allonger la forme, soit le contraire de l'inertie polaire.

[invite9c7554e3]

je comprends pas quel est le probleme....?

=> la réponse que j'ai donné précédemment est sur à 100% et la démonstration est aisée: il suffit de faire l'intégrale double


=> ainsi on voit que l'on a bien bh^3 qui apparait et hb^3 dans l'autre direction...

EDIT:
j'ai regardé les formules que tu as marqué ci dessus et elles me paraissent bizarres... tu es sur que tu ne parle pas d'autre chose?
ou je n'ai pas compris le sujet de la discussion ci présente...

[invite9c7554e3]

d'accord, je crois que j'ai compris..

en fait vous ne traité plus le cas d'un rectangle mais d'une poutre de section quelconque...

[sitalgo]

j'ai regardé les formules que tu as marqué ci dessus et elles me paraissent bizarres... tu es sur que tu ne parle pas d'autre chose?

Nous parlons de l'inertie à prendre en compte pour la torsion. La formule "classique" ne fonctionne que pour les sections circulaires, pleines ou creuses.