théorème de non clonage

[invite6c250b59]

Bonjour,

Le Nielsen & Chang présente le théorème de non clonage à peu près ainsi:

Supposons qu'on ait une photocopieuse à état quantique, c'est-à-dire un opérateur U qui, à partir d'un état |A> à cloner et d'une page blanche |x>, soit capable de produire |A>|A> en sortie.

On pourrait alors cloner deux états quelconques |A> et |B>
U(|A>|x>) => |A>|A>
U(|B>|x>) => |B>|B>

ce qui impliquerait <A|B> = (<A|B>)^2, c'est-à-dire que A et B ne peuvent être quelconque, donc le clonage d'état arbitraire est interdit.

Ma question est: est-ce qu'il y a une démonstration pas trop compliquée qui contredit l'existence de l'opérateur ci-dessous pour deux états arbitraires?

U(|A>|x>|x>) => |A>|A>|y>
U(|B>|x>|x>) => |B>|B>|z>
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[invite8915d466]

attention la forme de départ est déjà très restrictive : en général deux sous systèmes différents ne sont pas corrélés et en plus ne sont pas dans des états quantiques purs, on ne part donc pas de quelque chose comme lA>|x> , il faut un système intriqué genre q-bits pour le réaliser.
Après si je me m'abuse, aucune de tes opérations de clonage proposées ne vérifie la linéarité, par exemple meme pour la première
U(|a>|x> +|b>|x>) = U((|a>+|b>)|x>) = (|a>+|b>)(|a>+|b>) ??

ou bien =U(|a>|x> )+U(|b>|x>) =|a>|a>+|b>|b> ????

[invite6c250b59]

attention la forme de départ est déjà très restrictive : en général deux sous systèmes différents ne sont pas corrélés et en plus ne sont pas dans des états quantiques purs, on ne part donc pas de quelque chose comme lA>|x> , il faut un système intriqué genre q-bits pour le réaliser.

Je ne vois pas en quoi. Conceptuellement c'est plus simple de les considérer purs, mais qu'est-ce qui empêche de les considérer comme des états quelconques, et pourquoi dis-tu que |A>|x> est intriqué?

Après si je me m'abuse, aucune de tes opérations de clonage proposées ne vérifie la linéarité, par exemple meme pour la première
U(|a>|x> +|b>|x>) = U((|a>+|b>)|x>) = (|a>+|b>)(|a>+|b>) ??

ou bien =U(|a>|x> )+U(|b>|x>) =|a>|a>+|b>|b> ????

Il est normal qu'elles soient invalides -le but est de démontrer pourquoi. Démontrer la non linéarité répondrait parfaitement, mais je ne comprends pas comment tes deux dernières lignes le démontrent.

[invite6c250b59]

je ne comprends pas comment tes deux dernières lignes le démontrent.

Mais oui je suis bête: tu utilises la propriété de linéarité selon laquelle
U(|x>)+U(|y>)=U(|x>+|y>)

donc si on a U tel que U(|A>|x>)=|A>|A>, avec disons |A>=|a>+|b> alors

U(|A>|x>)=|A>|A>
<=> U(|a>|x> )+U(|b>|x>)=(|a>+|b>)(|a>+|b>)
<=>|a>|a>+|b>|b> = |a>|a>+|b>|b>+|ab>+|ba>
<=>|ab>+|ba> = 0

Ce qui implique que l'opérateur postulé n'existe pas dans le cas général, CQFD.

Par contre, on en revient à ma question de départ: est-ce qu'il y a une contradiction pour un opérateur U(|A>|x>|x>)=|A>|A>|y> ?

Si on essait la même technique que précédemment...

U(|A>|x>|x>)=|A>|A>|y1>
<=> U(|a>|x>|x> )+U(|b>|x>|x>)=(|a>+|b>)(|a>+| b>)|y1>
<=>|a>|a>|y2>+|b>|b>|y3> = |a>|a>|y1>+|b>|b>|y1>+|ab>|y1> +|ba>|y1>

...à part une inflation des termes, je ne vois toujours pas de contradiction évidente ici, les y1, y2 y3 semblant pouvoir donner la liberté nécessaire pour autoriser des états quelconques pour les a et b.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6c250b59]

je ne vois toujours pas de contradiction évidente ici

|ab> et |ba> sont dans le cas général des observables à droite mais pas à gauche, CQFD. Heu et bien merci Gilles