théorème de Gauss

[mc222]

Bonjour tout le monde,

Je vous contact pour savoir une bonne fois pour toute comment utiliser le théorème de Gauss dans le cas de la gravitation.

On m'a dit que pour une distribution de masse de symétrie sphérique de centre o, (masse volumique ne dépendant que du rayon et non des différents angles), l'intensité du champs de pesenteur ressentie à une distance du centre était donnée par :



Avec la masse comprise à l'intérieur de la sphère de rayon soit :

Le problème est que si ma distribution de masse est, en plus d'etre indépendante des angles, est indépendante du rayon, j'ai la même masse volumique en tout point de l'espace, je vais trouver une valeur non nulle du g. Pourtant, si la masse est répartie dans tout l'espace également, il n'y a aucune raison que g soit plus orienté vers le centre o que vers ailleurs, ( la somme vectorielle de tout les g doit s'annuler).

Merci a+
-----

[calculair]

Bonjour,

Je ne comprends pas ou tu veux en venir....

Le théorème de Gauss nous dit que le flux du champ de gravitation au travers d' une surface fermée est proportionnelle a la somme des masse intérieures.

[phys4]

La formule nous donne la gravitation produite dans la sphère d'intégration que l'on considère.
S'il existe d'autres masses à l'extérieur, leur champ s'ajoutera à celui trouvé.

Si le problème a bien une symétrie sphérique, il est normal que g soit orienté vers le centre.

[albanxiii]

Bonjour,

mc22, vous parlez d'une répartition de masse homogène dans tous l'espace... Que modélisez-vous de la sorte ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[mc222]

Bonjour et merci d'avoir répondu si vite.

Enfait j'aimerai savoir comment l'utiliser ce théorème. Si la répartition est à symétrie sphérique, est ce qu'on tien compte de la masse à l'extérieur de la sphère ?

Quand on cherche le champs de gravité à une certaine profondeur sous la Terre, la masse présente au dessus du niveau considéré n'intérvient pas dans le calcul il me semble, non ?

C'est assez compliqué à expliquer^^

pour albanxiii, c'est juste un expérience de pensé, moi non plus je ne vois pas bien comment ce serai possible.

[phys4]

Bonjour et merci d'avoir répondu si vite.

Enfait j'aimerai savoir comment l'utiliser ce théorème. Si la répartition est à symétrie sphérique, est ce qu'on tien compte de la masse à l'extérieur de la sphère ?

Quand on cherche le champs de gravité à une certaine profondeur sous la Terre, la masse présente au dessus du niveau considéré n'intérvient pas dans le calcul il me semble, non ?

C'est assez compliqué à expliquer

Mais non, c'est très simple. L'intégrale ne tient compte que de la partie calculée donc l'intérieur de la sphère, c'est bien pour cela que le résultat respecte la symétrie sphérique.
Newton a démontré (c'était nécessaire pour que sa théorie soit cohérente) qu'à l'intérieur d'une sphère les champs s'annulent et qu'à l'extérieur le champ est celui donné par la masse ramenée au centre.
Les masses extérieures n'interviennent pas, si elles sont à symétrie sphérique également. Sinon elles interviennent.

[albanxiii]

Re,

Et pardon d'avoir coupé votre nickname mc222

pour albanxiii, c'est juste un expérience de pensé, moi non plus je ne vois pas bien comment ce serai possible.

Bon, admettons, de toute façon, cela n'existe pas plus que des plans chargés infinis qu'on utilise pour modéliser certains situations en électrostatique par exemple. Il suffit que les distances d'oberservation soient petites devant la taille de votre volume de matière.

On peut considérer par exemple une région de l'univers contenant un "gaz" de galaxies.

Dans ce cas, là, en supposant une symétrie sphérique de votre région remplie de masse (sous forme de gaz dans l'exemple ci-dessus), vous pouvez appliquer le théorème de Gauss puisque le champ de gravitation aura une symétrie sphérique. Je ne vous met pas les calculs, et en vous souvenant des explications de phys4, je pense que cela ne vous posera pas de problème.

[mc222]

Ok, en effet, je connaissait cette vision.

Mais d'après ce que vous me dites, tous, la valeur de g donnée par la formule est valable pour la symétrie sphérique. Or si comme je le disais, la masse volumique est constante dans le rayon, elle ne marche plus puisqu'elle devrai donner 0 (isotropie de la réparatition de la masse).

Donc comment utilise t'on cette forumle dans ce cas ?

Merci

[kalish]

Le théorème de Gauss est surtout un théorème portant sur des champs de vecteurs, il dit que si on a alors , et c'est à peu près tout. Dans le cas de la gravitation, analogue à l'électromagnétisme on a , donc on peut relier la divergence du vecteur à la densité de masse, et par le théorème de gauss on peut relier le champ directement à la masse, encore faut il bien voir qu'IL Y A UN PRODUIT SCALAIRE: , et donc dans le cas d'un système à symétrie sphérique, on peut se passer de ce produit scalaire puisque le champ est forcément orienté radialement. Et justement ce que vous ne saisissez pas apparemment c'est qu'il soit forcément orienté radialement. Ca n'est pas très compliqué, dans votre expression de g vous avez peut être oublié que c'était un vecteur. Si j'ai deux masses séparées d'une distance a alors le premier champ créé par la première masse vaut:
où
est le vecteur partant de r se dirigeant vers l'observateur. Si on additionne le deuxième champ créé par la deuxième masse et qu'on se place dans l'axe d'aligement, et "à l'extérieur" du système, on obtient: donc ils s'additionnent, si on se place exactement entre les deux, alors les champs se soustraient.
Dans un cas à symétrie sphérique seuls les champs intérieurs s'additionnent, les champs produit par des sources situées à l'extérieur de la boule s'annulent

[kalish]

problème de doublon en rechargeant page, merci de supprimer

[mc222]

Ok, j'ai compris ce que vous dites, aucun problème je crois.

Mais si j'applique ce théorème dans le cas d'une masse volumique indépendante du rayon et des angles, j'obtiens un résultat abhérant ( g non nul). Donc comment expliquez-vous cela ?

Merci

[kalish]

Je ne comprends pas votre problème en fait. Le fait que la densité ne dépende pas du rayon ne change rien au probleme. C'est juste comme si dans l'exemple à deux corps donné plus haut on avait M1=M2. Pouvez vous préciser ce que vous entendez par densité indépendante du rayon et de l'angle? On parle de la masse à l'intérieur du volume, peut importe que la densité dépende du rayon puisque il sragit de la masse TOTALE à l'intérieur d'une sphère qui entoure cette masse. DE PLUS l'indépendance par rapport aux angles est justement totalement identique à dire "à symétrie sphérique", donc wat is ze problem?

[mc222]

Le problème est que dans ce cas, la masse totale dans la sphère est non nulle et que pourtant, la valeur du champs à la surface de la sphère doit nécessairement être nulle.

Je n'arriverai pas à faire plus claire je pense^^.

[kalish]

mhh c'est une histoire d'infini, je ne sais pas si on peut appliquer ça tel quel, mais j'ai une solution pour un système analogue. J'ai une densité de masse uniforme dans tous l'espace avec un trou (sphérique) à un endroit, j'applique le théorème de gauss autour de ce trou, si je prends une petite calotte massive autour de ce trou, alors je doit être attiré par la région du trou alors qu'il n'y a moins de masse qu'ailleurs...bizarre, oui mais non, si on parle d'infini il va être difficile d'obtenir un centre autour duquel tourner et donc avoir une symétrie sphérique, si ce centre n'est pas au point même où on se situe. En gros c'est un problème de bordures. En prenant une sphère creuse, pour respecter le théorème de gauss et la simplification faite par symétrie sphérique, il faut que la calotte entourant la sphère ait la même épaisseur partout, même si cette épaisseur tend vers l'infini, puisque l'important EST d'avoir une symétrie, qui permet de simplifier le produit scalaire. En choisissant un centre au centre de la sphère creuse, et des infinis qui sont des infini qui partent de nous, on créé une asymétrie. En gros le soucis conceptuel c'est que l'infini + a = l'infini, dès lors pour définir la symétrie sphérique ça devient dur puisqu'il nous faut des bords.

A mon avis dans ton cas c'est identique, l'exemple de la calotte vide permet juste de visualiser une situation absurde, être attiré par une densité plus faible.

Je ne sais pas si c'est assez clair.

[phys4]

Ok, en effet, je connaissait cette vision.

Mais d'après ce que vous me dites, tous, la valeur de g donnée par la formule est valable pour la symétrie sphérique. Or si comme je le disais, la masse volumique est constante dans le rayon, elle ne marche plus puisqu'elle devrai donner 0 (isotropie de la réparatition de la masse).

Donc comment utilise t'on cette forumle dans ce cas ?

Merci

Je cherchais à comprendre pourquoi vous vouliez trouver zéro. Vous prenez un volume infini à densité uniforme.
Ce problème a perturbé quelques générations d'astronomes, car le calcul ne donne jamais une gravitation nulle.
Einstein, qui croyait au départ à un univers stable homogène, pensait résoudre le problème avec la RG, et s'est aperçu que cela ne collait pas non plus.
En même temps Hubble trouvait un univers en expansion.

Vous avez simplement redécouvert un ancien problème, il n'y a pas de solution pour un univers statique homogène. Etait ce bien cela votre question de base ?